गणिताच्या निमित्ताने - भाग २

गणिताच्या निमित्ताने - भाग २

बालमोहन लिमये

(प्रा. बालमोहन लिमये यांच्या साप्ताहिक सदराचा दुसरा भाग. मागील भाग इथे.)

एक गणिती रहस्य

रॉचेस्टरला गणित विभागात शिकत असताना सेमेस्टर अखेरच्या परीक्षा संपल्या की बरेच जण कुठेतरी सहलीला जात, त्यात प्राध्यापक, पीएच्. डी. करणारे विद्यार्थी आणि ऑफिसमधील सेक्रेटरीसुद्धा असत. खाण्यापिण्याखेरीज लहानसे खेळही खेळत. त्याकाळी प्लॅस्टीकची एक तबकडी (frisbee) गर्रकन एकाकडून दुसऱ्याकडे लांबवर पाठवायचा खेळ खूप जणांना आवडायचा. आमच्या विभागातले जगप्रसिद्ध प्राध्यापक लिओपोल्डो नाखबिनही ह्या खेळात हिरिरीने भाग घ्यायचे. ते सहा महिने रॉचेस्टर विद्यापीठात व सहा महिने ब्राझिलमधील साओ पाउलो (Sao Paulo) विद्यापीठात असायचे. त्यामुळे ते वर्षातून एकदाच सहलीला यायचे. एका वर्षी फ्रिसबीचा खेळ संपून विश्रांति घेत असताना त्यांनी सगळ्यांना वहीचे एकेक पान दिले आणि एक लहानशी पेन्सिलही. आम्ही तीस एक जण होतो. ते म्हणाले की त्यांनी येताना डॉलरच्या काही नोटा वाटायला आणल्या आहेत. पण कुणाला किती द्यायच्या हे ठरवण्यासाठी थोडी आकडेमोड करायची आहे.

Leopoldo Nachbin

प्राध्यापक नाखबिन गणित शिकवताना

प्रत्येकाने प्रथम आपल्या कागदावर आपले नाव लिहायचे आणि कुठलाही एक आकडा लिहायचा. त्यानंतरचा आकडा लिहिण्याच्या आधी एक हिशेब करायचा. एखाद्या संख्येला 2 ने भाग जात असेल तर तिला आपण ‘सम’ संख्या म्हणू या, नाहीतर तिला ‘विषम’ संख्या म्हणू या. तुम्ही सुरुवातीला लिहिलेला आकडा सम आहे का विषम आहे? जर तो सम असेल तर त्याला दोनने भागायचे, व विषम असेल तर त्याला 3 ने गुणून 1 मिळवायचा आणि मग 2 ने भागायचे. उदाहरणार्थ, जर पहिला आकडा 14 असेल तर दुसरा 14 ÷ 2 = 7 होईल, पण जर पहिला आकडा 13 असेल तर दुसरा आकडा (13 x 3 + 1) ÷ 2 = (39 + 1) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 होईल. याच प्रकारे दुसऱ्या आकड्यावरून तिसरा आकडा मिळवायचा; म्हणजे जर दुसरा आकडा 7 असेल तर तिसरा (7 x 3 + 1) ÷ 2 = (21 + 1) ÷ 2 = 11 होईल, पण जर दुसरा आकडा 20 असेल तर तिसरा 20 ÷ 2 = 10 होईल. ह्या पद्धतीने प्रत्येकाने आपापला बारावा आकडा शोधून काढायचा. असे सगळे आकडे दिलेल्या कागदावर स्वच्छपणे बिनचूक लिहायचे. प्रत्येकाला त्याच्या बाराव्या आकड्याइतके डॉलर्स बक्षीस मिळतील!

प्राध्यापक नाखबिन हा उदार माणूस होता. पण आम्हाला वाटले की तो आज फारच उदार झालेला दिसतोय. आमच्या बरोबरच्या प्राध्यापकांपैकी दोघा-तिघांच्या चेहऱ्यावर मात्र स्मित हास्य होते. आम्हाला कळले नाही त्यांना कशाच्या गुदगुल्या होत आहेत ते. तेवढ्यात नाखबिन सरांनी खेळाचे नियम सांगितले. ‘सुरू’ म्हटले की सगळे कामाला लागतील व तीन मिनिटांनी ‘थांबा’ म्हटले की काम बंद. पहिला आकडा तुमच्या मनाला वाटेल तो, पण नंतरचे 11 आकडे मी सांगितलेल्या सूत्राप्रमाणे बरोबर असले पाहिजेत. कुणाची एकही चूक झाली की तो भिडू बाद. नंतर साळसूदपणे ते असेही म्हणाले ‘तीन मिनिटात इतके गुणाकार-भागाकार सहज करता यावेत आणि मलाही तपासायला सोपे जावे म्हणून तुम्ही आपला पहिला आकडा 20 ते 30 च्या दरम्यानचाच निवडा.’

फुकटात डॉलर्स मिळणार आणि तेही आमच्या एका उत्तम शिक्षकाकडून म्हणून आम्ही सरसावलो. या हिशोबात 2 ने भागल्यावर आकडा लहान होणार असला तरी 3 ने गुणल्यावर तो मोठाही होणार होता. ठरलेली वेळ संपल्यावर आम्ही सगळ्यांनी आपापले कागद नाखबिन यांच्याकडे सुपूर्द केले. 20 ते 30 पैकी कुठल्याही आकड्याने सुरुवात केली तर बारावा आकडा कोणता यायला पाहिजे ते त्यांनी अगोदरच लिहून आणले होते. त्यामुळे चटकन कुणाला किती डॉलर्स मिळणार ते स्पष्ट झाले. ज्यांचा पहिला आकडा 20, 21, किंवा 26 होता त्यांना फक्त 1 डॉलर मिळाला, ज्यांचा तो 22, 23, 24, 28, 29 किंवा 30 होता त्यांना 2 डॉलर्स मिळाले. फक्त एकानेच 25 या आकड्याने सुरुवात केली होती, त्याला 5 डॉलर्स मिळाले. नाखबिनच्या सुदैवाने आणि आमच्या दुर्दैवाने कुणीच 27 या आकड्याने सुरुवात केली नव्हती; 27 या आकड्याने कोणी सुरुवात करता तर त्याचा बारावा आकडा 137 आला असता; म्हणजे त्याला 137 डॉलर्सची प्राप्ती झाली असती!

खूप डॉलर्स मिळवायची आमची संधी चुकली होती. नंतर प्राध्यापक नाखबिन यांनी त्या दिवशीच्या खेळामागचे रहस्य सांगितले. आपण एक आकडा निवडू आणि त्याला ‘n’ असे संबोधू. तो 20 ते 30 दरम्यान असला पाहिजे असे मुळीच नाही. खेळाच्या नियमाप्रमाणे जर n हा आकडा सम असेल तर दुसरा आकडा n÷2, आणि जर n विषम असेल तर दुसरा आकडा (3n+1) ÷ 2 असा होतो. लक्षात घ्या की n विषम असेल तर n+1 सम असतो, आणि म्हणून 2n व (n+1) या दोन सम आकड्यांची बेरीज म्हणजे 3n+1 हा आकडासुद्धा सम असतो. आता दुसऱ्या आकड्यापासून तिसरा आकडा मिळवण्यासाठी तोच हिशोब पुन्हा करायचा. आपण अशा पुनरावृत्ति (iteration) करत गेलो तर नेहमी प्रथम 2 आणि नंतर 1 या आकड्यापर्यंत येऊन पोहोचतो. मग 1 चा 2 आणि पुन्हा 2 चा 1 असा वळसा (loop) तयार होतो. हा सार्वत्रिक अनुभव आहे. कधी थोड्याच पुनरावृत्ति पुरतात तर कधी खूपच वेळा पुनरावृत्ति करावी लागते. त्याचा काही नेम नाही. उदाहरणार्थ, 20 पासून सुरुवात केली तर 1 पर्यंत पोचायला सहाच पुनरावृत्ति पुरतात, पण 25 पासून सुरुवात केली तर सोळा पुनरावृत्ति लागतात, व 27 पासून सुरुवात केली तर चक्क सत्तर वेळा पुनरावृत्ती करावी लागते. ही गोष्ट 1950 पासून लोकांच्या लक्षात आलेली आहे. पण गणितज्ञांना नुसते अशा प्रकारचे निरीक्षण पुरेसे नसते. नेहमी आपण 1 पर्यंत का पोचतो यातील गोम त्यांना ओळखायची असते. नाहीतर कुणी तरी केव्हा तरी असा आकडा शोधेलही की ज्याने सुरुवात केली तर आपण 1 पर्यंत कधीच पोचणार नाही. अजून याची उकल कोणाला सुचलेली नाही, आणि म्हणून हे रहस्यच राहिले आहे. ‘(3n+1)चा प्रश्न’ किंवा ‘कोलाट्झचे अनुमान (Collatz Conjecture)’ या नावाने ते ओळखले जाते. गणितातील ‘सांगायला सोप्या पण सोडवायला आवाक्याबाहेर’ अशा काही थोड्या प्रश्नांपैकी हा एक आहे. या प्रश्नाचा इतिहास ज्यांना आधीच माहीत होता त्या दोन-तीन प्राध्यापकांना गुदगुल्या झाल्या होत्या, नाखबिन यांची ‘दानशूरता’ पाहून. पॉल एर्डिश (Paul Erdós) या प्रसिद्ध अंकशास्त्रज्ञाने म्हटले आहे की आजचे गणित (3n+1)च्या प्रश्नासाठी अजून सज्ज नाहीये. तरीही जर कुणी हा प्रश्न सोडवला असता तर त्याला 500 डॉलर्स बक्षीस त्यांनी जाहीर केले होते. पॉल एर्डिश अशीच बक्षिसे जाहीर करायचे, न सुटणाऱ्या प्रश्नांसाठी. प्रश्न किती कठीण यावर बक्षिसाची रक्कम अवलंबून असायची, 25 डॉलर्सपासून 5000 डॉलर्सपर्यंत. त्यांच्या सहीचा 25 डॉलर्सचा चेकही लोक फ्रेम करून दिवाणखान्यात लावत. 1996 साली ते मृत्यु पावल्यावरही त्यांचे प्रस्ताव प्राध्यापक रोनाल्ड ग्रॅहॅम पुरे करत आले आहेत. (3n+1)च्या उत्तरासाठी एर्डिशनी देऊ केलेले 500 डॉलर्स लाखमोलाचे होते. पण हे 500 डॉलर्सचे बक्षीस अजूनही कोणी पटकावले नाही. (3n+1)चे रहस्य अजून कोणी उकलले नाही. अलीकडे म्हणजे 2019च्या सप्टेंबर महिन्यात टेरेन्स टाओ (Terence Tao) या गणितज्ञाने असे दाखवले आहे की सुरुवातीची संख्या ‘जवळजवळ’ कोणतीही असली तरी आपण 1च्या ‘जवळपास’च पोचतो. येथे वापरलेले ‘जवळजवळ’ व ‘जवळपास’ हे शब्दप्रयोग मोघम असले तरी त्याने त्यांचे नेमके अर्थ सांगितले आहेत. टेरेन्स टाओची ही निष्पत्ति कोलाट्झचे अनुमान सिद्ध करण्यातली मोठी प्रगति मानली जात आहे. मात्र होतकरू गणिती ते अनुमान सिद्ध करण्यापासून लांबच राहतात, कारण एकदा त्याचा नाद लागला की उभे व्यावसायिक आयुष्य पणाला लावल्यासारखे होते. जेफ्री लॅगॅरिअस (Jeffrey Lagarius) या मिशिगन विद्यापीठातील प्राध्यापकांनी The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem हे पुस्तक 2011 साली संपादित केले. 2017 मध्ये कोलाट्झच्या अनुमानाची सत्यता n = 1020 पर्यंत तपासून झाली होती!

कोणत्या प्रकारचे गणित?

अमेरिकन विद्यापीठांत एखाद्या विषयात पीएच. डी. करण्यासाठी प्रवेश घेतल्यावर त्या विषयाच्या वेगवेगळ्या उपशाखांतील कोर्सेस करावे लागत आणि त्यात चांगल्या प्रकारे पास व्हावे लागे. पण तेवढ्याने भागत नसे. सर्वसमावेशक परीक्षा (comprehensive examination) पास करून आपली संशोधनाबाबतची पात्रता (qualifying standard) सिद्ध करावी लागत असे. रॉचेस्टर विद्यापीठाच्या गणित विभागात अशा तीन विषयांच्या परीक्षा पास होणे आवश्यक असे, विश्लेषण (Analysis), बीजगणित (Algebra) आणि संस्थिति (Topology) हे ते विषय. या परीक्षा पास करून मी प्राध्यापक नॉर्मन आलिंग यांच्या देखरेखीखाली संशोधन करण्याचा प्रयत्न करू लागलो. या काळात एका अर्थाने खूप मोकळीक असे, कारण अमुक एका कोर्सचा अभ्यास करून त्यावरची परीक्षा पास करायची असे काहीच नसे, पण दुसरीकडे आपण सगळ्याच गोष्टी चाचपडून पहात असल्याने अनिश्चिततेचे दडपणही येत असे.

Norman Alling

प्राध्यापक नॉर्मन आलिंग

असे हुडकणे चालू असताना 1967च्या उन्हाळी महिन्यांत मी बोल्डर या गावच्या युनिव्हर्सिटी ऑफ कोलोराडो येथे जायचे ठरवले. तेथे काही उत्तम प्राध्यापक खास कोर्सेस शिकवणार होते. इंपिरीयल कॉलेज ऑफ लंडनचे वॉल्टर हेमन (Walter Hayman) आणि एम. आय. टी.चे गिॲन कार्लो रोटा (Gian Carlo Rota) हे त्यांत प्रमुख होते. काही नवीन विषय शिकायला मिळावेत व कोलोराडोसारख्या डोंगराळ प्रदेशात राहायला मिळावे असा हेतु होता. या दोन्ही गोष्टी साध्य झाल्या. प्राध्यापक हेमन यांची डोळे उघडणारी व्याख्याने फारच भावली. शिवाय दर शनिवार-रविवारी गिर्यारोहणात भाग घेऊन दोन महिन्यांत ‘बॅचलर ऑफ माऊंटनिअरिंग’ अशी लुटुपूटूची पदवीही मी मिळवली.

Mountaineering Degree

‘बॅचलर ऑफ माऊंटनिअरिंग’

मी माझ्या मार्गदर्शकांनी सुचवलेल्या गोष्टी तपासून बघत होतोच, पण त्याबरोबर विश्लेषण (Analysis) या गणिताच्या उपशाखेतील इतर पायाभूत सत्ये जाणून घेत होतो. या संदर्भात बर्नार्ड एप्स्टीन या गणितज्ञाने सुमारे 1960-62 साली लिहिलेले Partial Differential Equations या शीर्षकाचे पुस्तक मी पूर्णत: म्हणजे पहिल्या पानापासून ते शेवटच्या पानापर्यंत वाचून संपवले होते. पोस्ट-ग्रॅज्युएट विद्यार्थ्यांसाठी लिहिलेले हे पाठ्यपुस्तक मला फारच उपयोगी वाटले.

माझ्या बोल्डरमधील मुक्कामाच्या शेवटच्या दिवशी तेथील प्लॅनेटेरियममध्ये एक कार्यक्रम आयोजित केला होता. संध्याकाळच्या वेळी मी तिकडे जायला निघालो. माझ्यापुढे एक मध्यमवयीन माणूस चालला होता. असेल पन्नास-पंचावन्न वर्षाचा. त्याला मागे टाकून मी पुढे जाणार एवढ्यात त्याने मला ‘हाय’ असे म्हटले आणि तो माझ्याशी बोलायला लागला. अमेरिकेत कुणी दोन अनोळखी माणसे क्वचितच ‘हाय’ म्हणण्याच्या पुढे जातात. तो माणूसही प्लॅनेटेरियममधील कार्यक्रमाला चालला होता. त्याच्या मुलाला त्या वर्षी बोल्डरच्या विद्यापीठात प्रवेश मिळाला होता आणि तो आपल्या मुलाला पोहोचवायला आला होता. त्याने सहज विचारले की मी बोल्डरला कशासाठी आलो आहे. मी सांगितले की मी रॉचेस्टर विद्यापीठातील गणित विभागात पीएच. डी. करत आहे, आणि काही व्याख्यानसत्रे ऐकण्यासाठी इथे पोचलोय. कोणत्या प्रकारच्या गणितात मी संशोधन करू इच्छितो असे त्याने विचारल्यावर मी म्हटले की ते सांगणे कठीण आहे, पण गणितातील Analysis आणि Algebra या दोन मुख्य विभागांच्या सीमारेषेवर काम करतोय असे म्हणता येईल. यापेक्षा जास्त समजावून सांगता येणार नाही.’ तो म्हणाला ‘ठीक आहे, काही हरकत नाही’. कार्यक्रमाला आम्ही दोघे शेजारी शेजारी बसलो. कार्यक्रम सुरू व्हायला थोडा वेळ होता म्हणून मीही हिय्या करून त्याची विचारपूस केली. तो एक प्राध्यापक होता, आणि त्याचा विषय होता गणितच.

Bernard Epstein

प्राध्यापक बर्नार्ड एप्स्टीन, 1989

त्याने आपले नाव सांगितले तेव्हा मी उडालोच. त्याचे नाव होते बर्नार्ड एप्स्टीन! ज्या माणसाने लिहिलेले पुस्तक मी नुकतेच वाचून संपवले होते, त्याच माणसाला मी त्याचाच विषय समजावून सांगणे शक्य नाही असे बोललो होतो. मी इतका ओशाळलो की प्लॅनेटेरियममधील कार्यक्रम सुरू झाल्याचे माझ्या लक्षातही आले नाही. प्राध्यापक बर्नार्ड एप्स्टीन खूप सभ्य होते म्हणून मी बचावलो. पण या प्रसंगानंतर मी कानाला खडा लावला की जर कुणी मला मी कशा प्रकारचे गणित अभ्यासतो असे विचारले तर त्या माणसाला गणितात किती गती आहे ते जाणून घेतल्याशिवाय तोंडातून एक शब्दही काढायचा नाही.

बोल्डर येथील उन्हाळी सत्र (Summer Semester) संपवून रॉचेस्टरला पोहोचल्यावर माझे मार्गदर्शक नॉर्मन आलिंग यांनी सुचवलेल्या प्रश्नावर जोराने काम करू लागलो. कुणीतरी एखादा छान सिद्धांत मांडला असला तर तशा प्रकारचा सिद्धांत दुसऱ्या कुठल्या प्रकारच्या परिस्थितीमध्ये ग्राह्य आहे का, असल्यास त्याची सिद्धता कशी द्यायची व नसल्यास कोणत्या उदाहरणाने ते दाखवून द्यायचे वगैरे प्रश्न भंडावून सोडत असतात. गणितातील खूपशा संशोधनात या प्रकारचीच उत्तरे शोधली जातात; फक्त काही थोड्या व्यक्ति मात्र असे सादृश्यात्मक (analogous) प्रश्न बाजूला ठेवून आपणच स्वत: अगदी नव्या प्रकारचे व वेधक सिद्धांत मांडतात. मी सोडवत असलेले प्रश्न अशा खास प्रकारचे नाहीत हे मला कळून चुकले होते. तरीही हाती घेतलेल्या प्रश्नांची उकल करण्यांत नावीन्य होतेच. वर्षभर डोके खाजवत नेटाने काम केल्यावर माझ्या प्रबंधाचा कच्चा मसुदा मी आलिंग यांना वाचायला दिला. माझी अपेक्षा अशी होती की ते काही नवे मुद्दे उपस्थित करतील, आणि त्यांची उत्तरे शोधण्यात मला पुन्हा गुंतून पडावे लागेल. पण तसे फारसे झाले नाही. त्यांच्या ताज्या मुद्द्यांचा समाचार घेऊन ते शेवटच्या प्रकरणात किंवा एखाद्या परिशिष्टात सामावण्यासारखे होते. मात्र भाषेच्या आणि शैलीच्या बाबतीत त्यांनी मला फारच काटेकोर राहायला लावले. याचे महत्त्व त्या वेळी माझ्या लक्षात आले नाही, परंतु गेल्या पन्नास वर्षांत कित्येक संशोधनपर लेख व पुस्तके लिहिल्यानंतर व तपासल्यानंतर मला असे निश्चित वाटते की आलिंग यांनी लावलेली आणि आता माझ्या रक्तात भिनलेली अचूक लिहिण्याची सवय माझ्या फारच कामी आली. इतकी की आता चूक सुधारल्याशिवाय मला पुढे जाताच येत नाही. त्यामुळे माझे विद्यार्थी (आणि माझे कुटुंबीयही) आपले लिखाण मला दबकत दबकतच वाचायला देतात!

त्या काळी गणिती लिखाणाचे टंकन करणे सोपे नव्हते. आजच्या लेटेक्स (LaTex) सारखी सोइस्कर अनुदेशन पध्दती (software system) तर सोडाच, पण इलेक्ट्रॉनिक टाइपरायटर्सही विरळाच मिळत. त्यामुळे हे काम पार पाडण्यात मला फार कष्ट झाले. शेवटी प्रबंधावरची मौखिक चाचणी झाली. ती संपल्यावर प्रबंधाच्या मुखपृष्ठाची एक प्रत मी आई-बाबांकडे पाठवली. त्यात लिहिले होते ‘This thesis is submitted in partial fulfilment of requirements of the Ph. D. degree’, म्हणजे हा प्रबंध पीएच. डी. च्या आवश्यकतांची आंशिक परिपूर्ति करतो. हे वाचून आई-बाबा अस्वस्थ झाले. आता आणखी काय करायचे राहिले असावे हा प्रश्न त्यांना पडला. मी पुढच्या पत्रात समजावले की प्रबंधाशिवायच्या गोष्टी म्हणजे वेगवेगळे कोर्सेस उत्तीर्ण होणे, आणि ते मी आधीच संपवले होते. त्यांचा जीव भांड्यात पडला.

अर्व्हाइन येथील कॅलिफोर्निया विद्यापीठात

तोंडी परीक्षा व्हायच्या आधीच मी अमेरिकेतल्या काही शैक्षणिक संस्थांकडे अर्ज केले होते. 1968 साली पीएच. डी. नंतर कुठेही पोस्ट डॉक्टोरल फेलो (Post Doctoral Fellow) म्हणून काम न करता सरळ एखाद्या विद्यापीठात शिकवण्याची नोकरी मिळत असे. आता मात्र ते दिवस उरले नाहीत. मला चार-पाच ठिकाणांहून निश्चित प्रस्ताव आले होते. त्यांतला एक होता स्किडमोअर कॉलेजकडून. हे एक न्यूयॉर्क राज्यातील बी. ए. किंवा बी. एस्. सी. ही चार वर्षांची पदवी देणारे प्रख्यात कॉलेज आहे. त्यावेळी फक्त मुलींनाच तेथे प्रवेश मिळत असे. त्यांनी मला भरपूर पगार देऊ केला. मी तेथे भेटायला गेलो तेव्हा माझी तरुणाई बघून तिथल्या गणित विभागाची मुख्य प्राध्यापिका मला हळूच म्हणाली ‘नुसताच पगार नाही तर आणखीही काही मिळून जाईल तुला इथे’. मी घाबरूनच गेलो आणि रॉचेस्टरला परत येताच नकार कळवला.

इतर प्रस्तावांपैकी अर्व्हाइन या गावी नव्याने उभारल्या जाणाऱ्या कॅलिफोर्निया विद्यापीठाचा प्रस्ताव सरस होता. तो मी स्वीकारला. तिथे माझ्या विषयात संशोधन करणारे तीन-चार ज्येष्ठ प्राध्यापकही होते. माझ्या प्रबंधाचा बचाव (Thesis Defence) केल्याच्या दुसऱ्या दिवशीच मी विमानाने तिकडे रवाना झालो. मला प्रथमच माझे स्वतःचे कार्यालय (Office) मिळाले. सगळे जण मला ‘प्राध्यापक’ असे संबोधू लागले. गेली 18 वर्षे विद्यार्थी आणि आता एका दिवसात शिक्षक! हे स्थित्यंतर मला पचायला जड गेले. प्राध्यापक झालो असलो तरी चोविसाव्या वर्षी मी पोरसवदाच दिसत होतो. माझी उंचीही तिथल्या इतर सगळ्या प्राध्यापकांपेक्षा बरीच कमी होती. विद्यापीठाच्या एका सामाजिक समारंभाच्या वेळी मला कुणीतरी अडवलेही, कारण मी शिक्षकांच्या प्रवेशद्वारातून आत शिरत होतो!

रॉचेस्टरमधील गणित विभागाप्रमाणेच अर्व्हाइनच्या गणित विभागात दर आठवड्याला कोणीतरी बाहेरचा गणितज्ञ येऊन आपल्या विषयावर खास भाषण (colloquium talk) देत असे. शैक्षणिक वर्षाच्या सुरुवातीला प्रा. पॉल हाल्मॉस (Paul Halmos) यांनी एक उत्तम व्याख्यान दिले. आमच्या विभागाचे मुख्य प्राध्यापक गेरहार्ड केलिश (Gerhard Kalish) यांनी विभागातील सगळ्या जुन्या व नव्या सदस्यांची प्रा. हाल्मॉस यांच्याशी ओळख करुन दिली. त्या काळात ते हवाई विद्यापीठात काम करत. तेथून व्याख्यानासाठी ते अर्व्हाइनला आले होते. संध्याकाळी विभागातील वरिष्ठ सदस्यांबरोबर त्यांनी भोजन घेतले आणि ते परतले. वर्षाच्या शेवटी ते पुन्हा व्याख्यान द्यायला आले. यावेळी ते इंडियाना विद्यापीठात काम करू लागले होते. गणिताच्या क्षेत्रात पॉल हाल्मॉस हे एक मोठेच प्रस्थ होते. त्यांची दोन प्रख्यात पुस्तके आम्ही नेहमी वापरत आलो होतो, 1942 साली त्यांनी लिहिलेले ‘Finite Dimensional Vector Spaces’ हे मूलभूत पुस्तक आणि 1967 सालचे त्यांचे ‘A Hilbert Space Problem Book’ हे विचारशक्तीला प्रेरणा देणारे पुस्तक. गणिती लिखाणातील त्यांचे कौशल्य असामान्य होते. व्याख्यानाच्या आधी ते प्राध्यापक केलिश यांच्याशी कॉरिडॉरमध्ये गप्पा मारत होते. ते ऐकून मी माझ्या ऑफिसमधून बाहेर आलो. तेवढ्यांत ‘हाय प्रोफेसर लिमये, हाऊ आर यू?’ असे शब्द माझ्या कानी पडले.

Paul Halmos

प्राध्यापक हाल्मॉस, 1969

प्रा. हाल्मॉस बऱ्याच लांबून मला पुकारत होते. माझा माझ्या कानांवर विश्वासच बसेना. 7-8 महिन्यांपूर्वी प्राध्यापक केलिशनी माझी ओळख या माणसाला करून दिली होती हे खरे, पण माझा चेहरा व माझे नाव त्यांच्या कसे लक्षात राहिले याचे मला फार नवल वाटले. त्यांच्याशी दोन मिनिटे बोलून आम्ही सारे त्यांचे व्याख्यान ऐकायला गेलो. राहून राहून मला वाटत होते या असामीसमोर मी म्हणजे ‘किस झाडकी पत्ती’ होतो, तरीही तो मला नावाने हाक मारतोय. हा स्मरणशक्तीचा चमत्कारच म्हटला पाहिजे. दुसऱ्या दिवशी न राहवून मी प्राध्यापक केलिशना हे विचारले. त्यांचे उत्तर ऐकून मी चाटच पडलो. ते म्हणाले ‘तू जरा नीट आठवलेस तर तुझ्या लक्षात येईल की गेल्या वर्षी मी तुझी ओळख प्रा. हाल्मॉसना करून दिली तेव्हा त्यांनी त्यांच्या पोलरॉइड कॅमेरावर तुझा फोटो काढला होता. घरी जाऊन असे सगळे फोटो ते एका अल्बममध्ये लावतात व प्रत्येक फोटोखाली त्या व्यक्तीचे नाव लिहितात. पुन्हा त्याच ठिकाणाला भेट द्यायच्या आधी तो अल्बम बघून आठवणींना उजाळा देतात, आणि नावाने हाक मारून चाट करतात. हे काही फक्त तुझ्या एकट्याच्या बाबतीत नाही झाले. मीही त्यातून गेलो आहे.’ केवढा हा उपद्व्याप! पण मोठ्या लोकांच्या छोट्या गोष्टी अशाच असतात. खूप काळानंतर प्राध्यापक हाल्मॉस यांचे ‘I have a Photographic Memory’ या नावाचे पुस्तक मॅथेमॅटिकल असोशिएशन ऑफ अमेरिका या संस्थेने प्रसिध्द केले, त्यांच्याकडील 6000 फोटोपैकी 600 निवडक फोटोंचे. माझा फोटो उरलेल्या 5400 फोटोंमध्ये असणार!

शैक्षणिक वर्षाच्या शेवटी सर्व परीक्षा संपल्यावर केलिश यांनी गणित विभागातील सर्वांना त्यांच्या घरी जेवायला बोलावले. त्यांत मी पण होतो आणि जेम्स येह (James Yeh) हे जेष्ठ प्राध्यापकही होते. त्यांची आणि केलिश यांची खूप गट्टी होती. प्राध्यापक येह हे मुळातले चायनीज असले तरी ते जपानी संस्कृतीमध्ये वाढले होते. म्हणून त्या दिवशी केलिश यांच्या घरी सगळा जपानी बेत केला होता: तेम्पूरा, सुकियाकी आणि साकेसुध्दा! खाणे, पिणे आणि अवाच्यासवा गप्पा झाल्यावर घरी जाण्याची वेळ झाली. निरोप घेणेही जपानी पद्धतीने सुरू झाले. ही गोष्ट फार गुंतागुंतीची होऊ शकते. निरोप घेणारा आणि निरोप देणारा या दोघांनीही आपापल्या मनांत दुसऱ्याच्या मानाने आपली योग्यता किती ते ठरवायचे. मग जितकी योग्यता कमी तितके जास्त कमरेत वाकायचे. सभ्यतेचा सर्वसाधारण नियम असा की स्वत:ला दुसऱ्यापेक्षा कमी लायक समजायचे. त्यामुळे निरोप देणारा जितका वाकेल त्याच्यापेक्षा निरोप घेणारा जास्त वाकतो. पण एवढ्याने भागत नाही. मग निरोप देणारा त्याहीपेक्षा जास्त वाकतो. असे बराचवेळ चालू रहाते. शेवटी कधी ना कधी परिस्थिती स्थिरावते आणि कोंडी सुटते. निरोप घ्यायला प्रथम प्राध्यापक येह उठले. त्यांची आणि प्रा. केलिश यांची ‘वाकावाकी’ बराच वेळ चालली आणि अखेर त्या दोघांनी समतोल स्थिती मिळवली. जेव्हा माझी निरोप घ्यायची वेळ आली तेव्हा प्राध्यापक केलिश यांनी माझी गंमत करायचे ठरवले. ते गणित विभागाचे प्रमुख म्हणून मी सुरुवातीलाच खूप वाकलो. पण प्राध्यापक केलिश इतके वाकले की त्यांची पाठ जमिनीला समांतर झाली. आता मला त्यांच्यापेक्षा जास्त वाकायचे होते. ते करण्यात माझा तोल गेला आणि मी त्यांना साष्टांग दंडवत घातला. त्यांची तशी योग्यता होतीच, पण माझ्या बरोबरच्या तरुण सदस्यांमध्ये एकच हशा पिकला. मी त्यांना सांगायचा प्रयत्न करत होतो की भारतीय संस्कृतीत आदरणीय माणसाला असा पूर्ण नमस्कार करणे ही प्राचीन प्रथा आहे, पण माझे कोणी ऐकून घ्यायला तयार नव्हते. शेवटी केलिश यांनी मला उठवले आणि घट्ट मिठी मारली, तसे करणे जपानी संस्कृतीत बसत नसले तरी.

(पुढील भाग इथे.)
---

बालमोहन लिमये

(balmohan.limaye@gmail.com)

Balmohan Limaye 2020

लेखकाचा अल्प-परिचय : मुंबईच्या आय्. आय्. टी.मधील गणित विभागात ४२ वर्षे काम केल्यानंतर आता गुणश्री प्राध्यापक (Professor Emeritus). पवईलाच रहिवास.

बालमोहन लिमये यांचे इतर लिखाण

ललित लेखनाचा प्रकार: 
field_vote: 
5
Your rating: None Average: 5 (2 votes)

प्रतिक्रिया

डग्लस हॉफस्टॅटरच्या ‘Godel, Escher, Bach’ ह्या पुस्तकात कोलात्झ कंजेक्चरवर छान चर्चा आहे. तो म्हणतो की एखाद्या संख्येपासून सुरुवात करून कोलात्झगिरी केल्यानंतर शेवटी १ येत असेल तर ती संख्या कोलात्झ आहे असं म्हणूया. उदाहरणार्थ,
१२-६-३-१०-५-१६-८-४-२-१ असा क्रम असल्यामुळे १२ ही संख्या कोलात्झ आहे. (अर्थात प्रत्येकच संख्या कोलात्झ आहे असा अंदाज आहे, पण हे अजून सिद्ध झालेलं नाही.)

दुर्दैवाची बाब अशी की एखादी संख्या कोलात्झ आहे की नाही हे पडताळून पाहण्याची हुकमी कसोटी नाही. जर ती कोलात्झ असेल तर केव्हातरी १ येईलच. पण नसेल तर किती वेळ थांबावं लागेल याला उत्तर नाही. युगानुयुगे आकडेमोड करतो आहोत, अजून १ आलेला नाही पण अजून दहा हजार वर्षांनी कदाचित येईल अशी शक्यता राहतेच.

काही संख्याशास्त्रीय गुणधर्मांच्या बाबतींत असं होत नाही. उदाहरणार्थ, समजा एक नऊ आकडी लांबलचक संख्या घेतली. तर ती मूळ आहे की नाही हे पडताळून पाहण्यासाठी जास्तीतजास्त एक लाख पायऱ्या लागतात. म्हणजे प्रसंगी काम खूप होईल, पण ते केव्हातरी संपेल असा भरवसा असतो. एखादी संख्या कोलात्झ आहे की नाही या प्रश्नाबाबतीत असा भरवसा नसतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- जयदीप चिपलकट्टी

(होमपेज)

List all the primes in the increasing order $p_1, p_2, ....$ (thus $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5$ etc.) हा प्रकार वाट्तो तेवढा सोपा नाही (उदाह्ररणार्थ या यादीमधे एक कोटीवा आकडा कोणता हे सांगणे सोपे नाही. आता k हा एक आकडा निवडून फिक्स करा. Define $f = f_k$ on the set of natural numbers as follows. If $x$ has a factor among $p_1, p_2, ..., p_k$ then divide $x$ by the smallest among these to get $f(x)$. Otherwise (thus none of $p_1, p_2, ..., p_k$ divides $x$) $f(x)$ equals $(p_{k + 1} \times x) + 1$. Original Collatz conjecture is a special case when $k = 1$.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

शरद साने

माझी समजूत बरोबर आहे का ते ठाऊक नाही, पण हा प्रयोग मी k=4 साठी करून पाहिला. म्हणजे क्ष ह्या संख्येला २, ३, ५, ७ यापैकी कशाने भाग जात असेल तर त्यांतल्या सर्वात लहान संख्येने भागायचं, आणि जात नसेल तर ११क्ष + १ घ्यायचे. असं चालू ठेवायचं.

यात क्ष = १ ते १६ घेऊन शेवटी १ येतो. पण क्ष = १७ घेतला तर असा क्रम लागतो:

१७, १८८, ९४, ४७, ५१८, २५९, ३७, ४०८, २०४, १०२, ५१ आणि पुन्हा १७.

याचा अर्थ हा क्रम चक्राकार फिरत राहणार, १ वर जाणं शक्य नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- जयदीप चिपलकट्टी

(होमपेज)

यावेळी Collatz Conjecture बद्दल असलेला परिच्छेद मागल्या वेळेच्या induction पेक्षा समजायला जास्त सोपा वाटला (म्हणजे गणित म्हणून नाही. पण भाषा सोपी वाटली). आणि तो वाचून करून बघायला मजा आली (एक्सेल वापरून).
शेवटचा परिच्छेद मात्र खूपच आवडला!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सुरेख लेख. तुझ्या सारख्या देखण्या तरूणाने स्किडमोअर कॉलेजला जायला हवे होते असा मनात विचार येऊन गेला! प्राध्यापक बर्नार्ड एप्स्टीनच्या भेटीचा प्रसंग बरेच काही शिकवून जातो. प्राध्यापक आलिंग यांनी लावलेली अचूकतेची सवय वाचून मला माझ्या गुरूने करायला लावलेल्या काही गोष्टी आठवल्या. प्राध्यापक हाल्मॉस प्रमाणे मीही माझ्या मोठ्या वर्गात जाण्याआधी काही विद्यार्थ्यांचे फोटो आणि त्यांची नावे बघत असे, व त्यांना नावाने हाक मारून प्रश्न विचारत असे. आपला शिक्षक आपल्याला नावाने व चेहेऱ्याने ओळखतो ह्याचे खरंच विध्यार्थ्यांना खूप कौतुक असते.

पुढच्या लेखाची आतुरतेने वाट बघत आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक1
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

दीपक फाटक

'Collatz Conjecture हा मनोरंजक प्रकार पहिल्यांदाच वाचनात आला. प्रथम धरलेला आकडा 'न' सम असला तर न/२ शोधायचा आणि 'न' विषम असेल तर (३न + १)/२ शोधायचा. मिळणाऱ्या उत्तरांवर हीच प्रक्रिया पुढे करायची. असे पुन:पुन: केले तर अखेरीस आपण '१' ला जाऊन पोहोचतो असे हा साधा तर्क आहे. इतका साधासरळ तर्क योग्य आहे किंवा नाही ह्याची सिद्धता मात्र गेली काही दशके गणितज्ञांना हुलकावण्या देत आहे हे निश्चितच मनोरंजक आहे.

स्वत: कोलात्झ च्या ध्यानात हे क्से आले असावे ह्याबद्दल काही माहिती आहे काय हे जाणून घ्यावेसे वाटते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

> स्वत: कोलात्झ च्या ध्यानात हे क्से आले असावे ह्याबद्दल काही माहिती आहे काय हे जाणून घ्यावेसे वाटते.

मला नक्की माहिती नाही, पण अंदाज करता येईल.

एखादी संख्या घेऊन तिच्यावर विशिष्ट गणिती क्रिया करणे, आलेल्या उत्तरावर पुन्हा तीच क्रिया करणे आणि हा क्रम चालू ठेवून ‘शेवटी’ काय होतं ते पाहणे हा प्रकार गणितातल्या बऱ्याच शाखांत आढळतो. ह्या प्रक्रियेला (ढोबळमानाने) dynamical system म्हणतात. सुरवातीला संख्या घेतली पाहिजे असं नाही, तर एखाद्या गणिती ‘अवकाशातला’ बिंदू घेतला तरी चालतो.

एकूण मुद्दा असा की गणितात हा प्रकार सरसकट आढळत असल्यामुळे असा ‘चाळा’ करून पाहण्याची सवय अनेक गणितज्ञांना असते. अनेकदा यातून काही सापडत नाही, तर काही वेळा कोलात्झला लागला तसा काहीतरी शोध लागतो.

असंच आणखी एक उदाहरण: ० ते ९ मधले चार आकडे घ्या, उदाहरणार्थ १, २, ७, ८. ते चढत्या आणि उतरत्या क्रमाने मांडून एक मोठी आणि एक त्यापेक्षा छोटी संख्या मिळते: उदाहरणार्थ, इथे ८७२१ आणि १२७८. मोठीतून छोटी वजा केली की ७४४३ येतात. या चार आकड्यांचं तेच केलं की ७४४३-३४४७ = ३९९६ होतात. पुन्हा तेच करून ९९६३-३६९९ = ६२६४ होतात. पुन्हा तेच करून ४१७६ आणि मग पुन्हा तेच करून ६१७४ होतात. यापुढे मात्र ही प्रक्रिया ६१७४ वर स्थिरावते, कारण ७६४१ - १४६७ = ६१७४.

गंमत अशी की कुठल्याही चार आकड्यांपासून सुरुवात केली तरी गाडी केव्हा ना केव्हा ६१७४ वरच येते. हा शोध दत्तात्रेय रामचंद्र काप्रेकर नावाच्या गणित्याने लावला. तोही असाच चाळा करून लावलेला असणार हे निश्चित. (इथे मला ‘चाळा’ यामध्ये कुत्सितपणा अभिप्रेत नाही. काही सापडलं तर सापडलं अशा विचाराने निरुद्देश आकडेमोड करत राहणे असा अर्थ अभिप्रेत आहे.)

(क्षुल्लक बाब: तुम्ही उदाहरणार्थ ३३३३ पासून सुरुवात केली, तर अर्थात लगेच शून्यावर जाता. पण असले नगण्य अपवाद सोडून द्या.)

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- जयदीप चिपलकट्टी

(होमपेज)

नेहमीप्रमाणे मस्तच लेख.

आता रविवारचे काही तास उरले आहेत. तर कोलात्झ संख्या कुठल्या हे शोधण्यासाठी पायथनमध्ये कोड लिहायला घेत आहे. ते झालं की त्याचा गिटहबवरचा दुवा इथे देईनच.

तुम्ही लातेक नव्हतं वगैरे सांगताय. मला क्वचितच कधीतरी कामानिमित्त समीकरणं लिहावं लागतात. ती लिहिण्यासाठी लातेक वगळता चांगला पर्याय नाही; आणि मग ऑफिसात लोकांशी त्यावरून लुटुपुटूची भांडणं होतात. लातेकचा सगळ्यात मोठा उपयोग झाला तो करोना काळात. आम्ही आपापल्या घरूनच काम करत होतो. अगदी सुरुवातीला न्यू यॉर्क शहरात अगदी वाईट परिस्थिती होती, आणि त्यावरून आम्ही ऑस्टिनातही थोडे भेदरलो होतो. तेव्हा माझा मॅनेजर मला काही सांख्यिकी गोष्टी शिकवत होता; त्याची पीएचडी त्याच विषयात आहे. त्यासाठी चिकार समीकरणं लिहिण्याची गरज होती. पण ती स्क्रीनवर लिहिणार कशी! मग त्यानं सरळ रिकामा लातेक दस्तऐवज उघडला, आणि त्यात समीकरणं लिहायला सुरुवात केली. शिकवणी थांबली तेव्हा माझ्यासाठी नोट्स तयारच होत्या!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

...तर कोलात्झ संख्या कुठल्या...

पण कुठलाही आकडा घेतला तरी कोलात्झकाकांच्या नियमानी आकडेमोड केली की अंतिमत: तुम्ही एकावर येता ना? म्हणजे सगल्या संख्या कोलात्झ संख्या आहेत. का तू कोड वापरून एखादी संख्या कोलात्झ संख्या नाही ते बघणारेस?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--------------------------------------------------------------
लिखाण आवडलं तर तारांकीत करायला विसरू नका....

पण किती आकडेमोड करावी लागते, कितीदा करावी लागते हे बघण्याचं कुतूहल आहे. मग त्यात काही पॅटर्न दिसतो का, हे पुढचं कुतूहल.

(कोड लिहिलाय, पण तो साफ करायचा बाकी आहे म्हणून अजून लिंक दिलेली नाही.)

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

वाह!! काहीतरी भन्नाट सापडून जायचं. बेस्ट ऑफ लक!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

तसाच एक प्रयत्न मी पण केला होता. "केला होता" म्हणायचं कारण की ईंटरेस्टिंगली, या बद्दलचा एक मेसेज या लेखाच्या एक महिनाभर आधी आला होता. व्हॉट्स्सॲप या अतिशय विश्वसनीय सूत्रातर्फे मिळून सुद्धा मी तो वाचायचं आणि ट्राय करायचं धाडस केलं होतं!! मग जसजशा संख्या मोठ्या होत जातात तसतशी १ पर्यंत पोचायला लागणारी आवर्तनं पण वाढत जातात का ते बघायला आकडेमोड करून पाहीली. पण तसं काही होत नाही. अगदी काही बिलियन्स असलेल्या संख्या सुद्धा साधारण ४०० आवर्तनात "लायनीवर येत्यात बगा".

"७०० पेक्षा जास्त आवर्तनं कुठल्या आकड्याना लागतात त्यात काही पॅटर्न आहे का?" ते बघायला गेलो. (१००० घेतला तरी फार फरक नाही पडत). त्याचा थोडा डेटा खाली दिलाय. १० शेवटचा अंक असलेल्या बघितल्या आधी. १०-२० बि. मधल्या अकरा संख्या आहेत अशा आणि ९०-९९बि. मधल्या तीस आहेत..... मेह.. सोडून दिला उद्योग मग.

Monday August 9, 2021 10:29:48 AM
Starting process
________________________
ValuestoCheck - 100000000000
beginFrom - 10
maxIterations - 700
Loopstep - 10000
2985430010 exceeded 700
5970860010 exceeded 700
6137710010 exceeded 700
11941720010 exceeded 700
12275420010 exceeded 700
12953590010 exceeded 700
13566310010 exceeded 700
14507990010 exceeded 700
15818710010 exceeded 700
15947110010 exceeded 700
16110790010 exceeded 700

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--------------------------------------------------------------
लिखाण आवडलं तर तारांकीत करायला विसरू नका....

कौतुक आहे.

"लायनीवर येत्यात बगा".

हाहाहा फार हसले.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मला चित्रांशिवाय काही समजत नाही. हौशी लोकांसाठी गिटहबवर इथे चित्रं सापडतील.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

त्या वेळचे फोटोही देत असल्याने लेख फारच वाचनीय होतो आहे.
काही काही चांगल्या कामाच्या गोष्टी मोठ्यांच्या सहवासात आल्याने माहिती होतात. आणि आयुष्यात त्या जेवढ्या लवकर कळतात तेवढा अधिक फायदा होतो.
मोठ्या विद्वान लोकांना गर्व नसतो आणि इतरांकडूनही शिकायला मिळते यावर त्यांचा ठाम विश्वास असतो.
मैत्री जोडणे आणि टिकवणे हे सुद्धा त्यांना चांगले अवगत असते.
गणितातील गमतीजमतीसह आयुष्य जगण्यातला आनंदही वाटत आहात.
फार सुंदर.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

An interesting youtube presentation: https://www.youtube.com/watch?v=094y1Z2wpJg

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

शरद साने