गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा - 6: जुगार्यांच्या अड्ड्यावर
माणूस प्राणी हा खेळात मग्न होणारा प्राणी आहे, असे म्हटल्यास अतिशयोक्ती ठरणार नाही. खेळ फक्त खेळासाठी हे तत्वतः मान्य असले तरी खेळ जुगारात वा सट्टेबाजीत केव्हा बदलतो हे कळूनसुद्धा येणार नाही. जुगार पैज, वा स्पर्धा यात आपले मन रमते हे नाकारता येत नाही. बॅबिलोनियन, ग्रीक, रोमन, इजिप्शियन या अती पुरातन संस्कृतीत या संबंधी भरपूर उल्लेख सापडतात. आपल्या महाभारतात पांडवानी कौरवाविरुद्ध द्यूत खेळताना आपल्या बायकोलाच पणाला लावले होते यावरून कुठल्या थराला माणूस जुगाराच्या आहारी जाऊ शकतो याची कल्पना येईल. आज जुगाराच्या प्रकारात मोठ्या प्रमाणात विविधता आहे; त्याकाळी तेवढी विविधता नव्हती. त्याकाळी जुगार खेळण्यासाठीचे फासे प्राण्यांच्या हाडांच्या वा धातूच्या होत्या; आता त्या प्लॅस्टिकच्या आहेत हा फरक सोडल्यास त्याच्या मागील मानसिकता तशीच, त्या प्राचीन काळासारखी.
या पुरातन संस्कृतीत फासे फेकून द्यूत खेळत असले तरी त्याकाळातील राजा - महाराजांच्या पदरी असलेल्या गणितज्ञांना द्यूतात जिंकावे कसे वा जिंकण्याची शक्यता किती याचे ठोकताळेही माहित नव्हते. सर्व काही नशीबाचा खेळ म्हणूनच या प्रकाराकडे बघितले जात होते. यामागे गणित असण्याच्या शक्यतेबद्दलचा विचार प्रथमच 17व्या शतकात केला गेला. या समस्येच्याबद्दल विचार करणार्यामध्ये ब्लेज पास्कल (1623-1662) हा फ्रेंच व्यावसायिक गणितज्ञ व पियरे द फेर्मा (1601 – 1665) हा व्यवसायाने वकील परंतु एक हौशी गणितज्ञ यांचा पुढाकार होता. या दोघांच्यात प्रथम याचे उत्तर कोण शोधून काढतो याबद्दल मैत्रीपूर्ण लढत होती. व यात पियरे फेर्मा यशस्वी झाला. परंतु या प्रक्रियेत सिद्धांताला तेवढे महत्व नाही; कारण फेर्माच्या विक्षिप्त वागणुकीमुळे सिद्धांत शोधून काढण्यासाठी भरपूर हेलकावे, चढ उतार, खलित्यांची लढाई बघावे लागले. याचाच हा एक काल्पनिक कथा प्रसंग.
फेर्मा टेबलावर असलेले पत्र उचलून वाचू लागला.
प्रिय पियरे,
तू फार कठोर मनाचा आहेस. एक नंबरचा बदमाशही आहेस. मागच्या वेळी तू पाठविलेल्या प्रमेयाचे उत्तर शोधताना माझी त्रेधातिरपट उडाली. तू चक्क मला फसवत होतास. कदाचित आम्हाला डिवचण्यासाठी रात्रभर बसून प्रमेयांचा शोध घेतोस की काय?
पियरे, मला माहित आहे की तुला अपरिमेय संख्या फार आवडतात. त्यांच्या वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्माने तुझ्यावर जादू केली आहे. परंतु या वेळची समस्या अगदीच अफलातून आहे. तू जरा जास्तच सुटल्यासारखा वाटतोस. उदा, तुझा हा प्रमेय बघ:
p ही एक अपरिमेय संख्या आणि r ही एक कुठलिही संख्या असल्यास (r (p-1) - 1) या संख्येला p ने पूर्णपणे भाग जातो. हे तुला कसे सुचले हे तरी सांग. किंवा हे सिद्ध करण्यासाठी एखादी hint तरी दे.
मी शंभरपर्यंतच्या संख्यांचा वापर करून तुझे हे गृहितक बरोबर आहे हे तपासले. परंतु यामागील सिद्धांताचे काय? तू hint दिलास तर मी प्रयत्न करू शकेन.
तुझा मित्र,
फ्रेनिकल बेसी
पत्र वाचताना फेर्माला हसू आवरेना. "याला मी काही हिंट बिंट देणार नाही. थोडी तरी अक्कल वापरू दे. सगळ्याना चमच्यानी भरवायला हवे.... जाऊ दे..."
फेर्मा स्वतःवर भलताच खुश होता. अशा गमतीशीर प्रमेयांचा खजीनाच त्याच्याकडे होता. त्याच्या जादूच्या पिशवीतून काय बाहेर पडेल याचा नेम नव्हता. मित्रांना कूटप्रश्न घालण्यात त्याला मजा वाटत होती. तितक्यात त्याचे लक्ष दुसर्या पत्रावर पडले. फेर्मा गंभीर होत पत्र उघडू लागला. हे पत्र त्याचा जिवलग मित्र, ब्लेज पास्कलचे होते. फासे टाकून जुगार खेळत असताना खेळ जिंकण्यासाठी दोन्ही प्रतिस्पर्ध्यानी किती पॉइंट्स कमवावेत, किती वेळा फासे टाकायला हवेत याचा काथ्याकूट गेली सहा महिने पत्राद्वारे ते दोघे करत होते. मुळात यात निरीक्षणालाच जास्त वाव होता. परंतु त्यातून एखादा गणितीय सिद्धांत सापडतो का याबद्दल त्या दोघांना उत्सुकता होती.
"झोपायला येतोस की नाही?" बायको, लुई, जरा चिडूनच विचारत होती.
"पाच मिनटं, लुई..."
बायको तणतणत जिना चढून गेल्याचा आवाज त्याला ऐकू आला.
जिन्यावरूनच "तुझ्या उद्याच्या खटल्याची तयारी झाली की नाही?" बायकोचा प्रश्न
"ती तयारी अजून व्हायची आहे. तू झोप." फेर्मा कंदील घेऊन आतल्या अभ्यासिकेत जाऊ लागला. जिन्यावरून उतरून बायको त्याच्या मागे मागे आली. "उद्याचा खटला फार महत्वाचा आहे. तुझ्यामुळे..." वाक्य अर्धवट तोडत तिने खोलीतील पसार्याकडे नजर फिरवली. सगळीकडे कागदाचे चिटोरे पडले होते. परंतु त्यावर फक्त आकडेमोड. थोडेसे चिडूनच ती म्हणाली, "पुन्हा तू गणिताच्या मागे लागलास! "
फेर्मा कायद्याच्या जाडजूड पुस्तकाखाली हातातील चिटोरे सरकवत व घाबरत घाबरतच "तुला असे का वाटते?" असे विचारला.
त्याच्या चेहर्याकडे हातवारे करत "उद्याच्या खटल्यातील तुझ्या बचावामुळे एखाद्याचा जीव वाचण्याची शक्यता आहे, हे तुला माहित आहे का? आणि तू मात्र गणितातील आकड्यांच्या नादात आहेस..." जवळ जवळ ती किंचाळलीच.
"खर सांगू का... मला यात मजा वाटते. व शेवटी गणितही महत्वाचे आहे की..."
53 वर्षाचा पियरे हा एक निष्णात वकील होता. व पार्लिमेंटचा कायदा सल्लागार होता. परंतु वकिली व्यवसायात फार मोठे पद मिळावे, भरपूर पैसे कमवावेत असली महत्वाकांक्षा त्याच्याकडे नव्हती. एका श्रीमंत वस्तीत त्याचे घर होते. मुलं मोठी झाली होती. त्याच्यावर जास्त जबाबदारी नव्हती. वकिलीतून पैसे मिळत होते. खाऊन पिऊन सुखी राहण्यास तेवढे पैसे पुरेसे ठरत होते. त्यामुळे त्याचा बहुतेक वेळ जोपासलेल्या गणिताच्या छंदापायी खर्ची जात होता.
बायकोनी आता त्याला रंगेहात पकडल्यामुळे त्याचा नाइलाज झाला. कायद्याच्या पुस्तकाखाली लपवून ठेवलेले कागद बाहेर काढत "मला या पास्कलची फार भीती वाटत आहे." असे बायकोला सांगू लागला.
"काय झालं? तो बरा आहे ना?"
"लुई, तस काही नाही. जुगारात कोण जिंकू शकतो याबद्दलचा संभाव्यता सिद्धांताचा कोण प्रथम शोध लावतो याबद्दलची पैज आम्ही लावलेली आहे. कदाचित ब्लेज पास्कल जिंकण्याची शक्यता आहे. त्याची मला भीती वाटत आहे."
"परंतु तू कधीही जुगार खेळत नाहीस!"
"मला जुगार हे एक गणितातील कोडे वाटते. यात जुगारापेक्षा संभाव्यतेवर जास्त लक्ष केंद्रित केले आहे. संख्याच्या या सिद्धांतात ते नेमके कसे काम करतात याचा शोध आम्हाला घ्यायचा आहे. ...."
लुई जांभई देत, "पियरे तुझ काही खरं नाही. तुझा सगळा वेळ गणितात जातो. परंतु तू काहीच प्रसिद्ध का करत नाहीस?"
"मी करत असलेल्या कामाचे शिस्तबद्धपणे लिहून ठेवणे हा मला फार कंटाळवाणा प्रकार वाटतो. खेळ जिंकण्यापेक्षा त्या खेळात भाग घेण्यात खरी मजा असते. अज्ञानाच्या शोधात मजा असते. हजारो वर्षे न सुटलेल्या प्रमेयाचे गूढ उकलण्यात मजा असते."
लुईला याचे म्हणणे पटत नव्हते. मेणबत्ती हातात घेत, "तुझं खरही असेल. परंतु मला पास्कलची फार काळजी वाटते. जरा पद्धतशीरपणे विचार करत असल्यास ....."
फेर्मा तिला मध्येच तोडत "संभाव्यता सिद्धांताबद्दलचे माझे नैराश्य लपवण्यासाठी मी अत्यंत कठिण समस्यांच्या शोधात असतो. म्हणूनच बेसीसारखे बिचारे माझ्यावर चिडतात."
दुसर्या दिवशी फेर्मा वकीली पोषाख चढवून कोर्टात बसला होता. आरोपीचा वकील काही कायदेशीर मुद्दे उपस्थित करून न्यायाधीशाला पटवून देण्याचा प्रयत्न करत होता. सरकारी वकील म्हणून फेर्मासुद्धा तर्क लढवत प्रतिपक्षाचे प्रत्येक मुद्दे खोडून काढत होता. आरोपीचा वकील उलटतपासणी घेत होता. फेर्माला बसल्या बसल्या खटल्याचा हा प्रकार जुगारासारखे आहे असे एकदम त्याला वाटू लागले. दोघेही निष्णात वकील. न्यायाधीशाला पटवण्यासाठी एकमेकावर कुरघोडी करण्याच्या प्रयत्नात आहेत. प्रत्येक खेळाडूनी किती मुद्दे न्यायाधीशासमोर ठेवल्यास केस जिंकण्याची शक्यता आहे?
तसे नसावे, फेर्मा स्वतःशीच बोलत होता. प्रश्न हा आहे की कमीत कमी आणखी किती मुद्दे समोर ठेवल्यास केस जिंकण्याची संभाव्यता वाढू शकेल?
या नव्या विचारातच तो गुंग असताना कोर्टासमोर काय चालले आहे, साक्षीदार काय बोलत आहे व आरोपीचा वकील काय पुरावे दाखवत आहे याकडे त्याचे अजिबात लक्ष नव्हते. न्यायाधीश, समोर ठेवलेल्या मुद्द्यांना कसा अर्थ लावत आहे, याचेही त्याला भान नव्हते. त्याचे काम झाले आहे म्हणून पुढच्या सोपस्कारात वेळ न दवडता तो बाहेर पडला. निकाल काय होता, शिक्षा कुणाला झाली, किती झाली याची साद्यंत माहिती सरकारी वकील म्हणून पार्लिमेंटला ताबडतोब द्यायचे असते. असले काहीही न करता भराभरा तो आपल्या घरी निघून गेला.
घरात शिरल्या शिरल्या संभाव्यतेबद्दल डोक्यात आलेल्या नवीन कल्पनांना तो वाट करून देऊ लागला. संभाव्यता सिद्धांतात जितके वेळा घटना घडून येते ही संख्या क्ष असल्यास व जितके वेळा घटना घडत नाही ती संख्या य असल्यास क्ष/(क्ष+य) या अपूर्णांकाने संभाव्यता ओळखली जाते. फेर्माचा हा एक विचार प्रयोग होता. त्यात तो 2 वेळा नाणे उडवल्यास काय होते, 3 वेळा उडवल्यास काय होते, 4 वेळा उडवल्यास ... असा विचार करत गेला. ही गोष्ट generalize करता येते व सिद्घांताच्या स्वरूपात मांडता येते हे त्याच्या लक्षात आले. छाप-काटा वा फासे फेकून मिळालेले अपेक्षित उत्तर लढतीचा निकाल देऊ शकते. परंतु या परिणामासाठी किती पॉइंट्स हा एक कळीचा मुद्दा असतो.
जुगार खेळणार्या दोघानाही आपणच जिंकणार याची खात्री असते. दोघांचीही जिंकण्याची शक्यता असल्यास प्रत्येकाची संभाव्यता सम असते. परंतु दोघानाही जिंकण्यासाठी दोन पॉइंट्स हवे असल्यास जिंकण्याची संभाव्यता समच असू शकेल का? मुरलेल्या सट्टेबाजांना ही संभाव्यता समच आहे असे वाटत असते. ते कितपत खरे आहे? याचा शोध फेर्माला घ्यायचे होते. जेव्हा त्याला या सर्व प्रकारांचा सिद्धांतात मांडणी करता येते हे लक्षात आल्यानंतर त्याचा आनंद गगनात मावेना.
लुई त्याच्या अभ्यासिकेत डोकावून "खटल्याचा निकाल काय लागला" असे विचारली.
"लुई, माझ्या डोक्यात एक नवीन कल्पना आली आहे, एक नवीन विचार घोळत आहे. मला नवीन काही तरी सापडल्यासारखे वाटत आहे." फेर्मा
"तू फारच उत्तेजित झालेला आहेस कदाचित गणिताचा प्रमेय असेल."
"मी संभाव्यता सिद्धांत शोधून काढले आहे. पास्कलला मी हरवले आहे."
"अभिनंदन.. परंतु खटल्याचा निकाल..."
तिच्या बोलण्याकडे लक्ष न देता तो जरा हसतच म्हणाला "या संभाव्यता सिद्धांताच्या शोधाच्या निमित्ताने बेसीला अजून एक जास्त कठिण असलेले कूट प्रश्न पाठवतो. त्याच उत्तर तो कसा काय शोधतो हे मला बघायचे आहे." पुस्तकाच्या कपाटातून एक पुस्तक काढून "पान मिळाले. पाठवून टाकतो." असे म्हणत तो डेस्कपाशी जातो.
"परंतु खटल्याचा निकाल काय लागला... " बायकोचा ठेका.
खालच्या आवाजात "या संभाव्यता सिद्धांताच्या विचारामुळे निकाल काय लागला हे ऐकण्याअगोदरच मी बाहेर पडलो." फेर्मा सांगू लागला.
बायको जाम वैतागली. व तणतणत निघून गेली.
गणिताच्या जगात पियरे फेर्माला प्रिन्स म्हणून ओळखतात. अनेकांना तो 17व्या शतकातील एक महान गणितज्ञ असे वाटते. विश्लेषक भूमिती, डिफरन्शियल व इंटिग्रल कॅल्क्युलस, संभाव्यता सिद्घांत, व संख्या सिद्धांत यांच्या विकासासाठी त्याचा फार मोठा योगदान होता. त्यातही संभाव्यता सिद्धांताचा शोध फार महत्वाचा मानला जातो.
परंतु फेर्माच्या नावाचा उच्चार केल्यास अनेकांना त्याच्या संभाव्यता सिद्धांताऐवजी त्याच्या Last Theoremचीच आठवण येते. त्यानी त्याचे हे 'शेवटचे प्रमेय' कुठेही प्रसिद्ध केले नव्हते. कुठेही पुस्तक वा मुद्रित स्वरूपात ते उपलब्ध नव्हते. कुठे तरी पुस्तक वाचताना मार्जिनमध्ये गिचमिड अक्षरात लिहून काढलेल्या अनेक प्रमेयात हा प्रमेय त्याच्या मित्रांना, त्याच्या मृत्यु पश्चात, सापडला व पाठ्यपुस्तकाच्या स्वरूपात मित्रांनी त्याला प्रसिद्धी मिळवून दिली. त्या पाठ्यपुस्तकात अनेक प्रमेयांचा व त्याच्या उत्तरांचा उल्लेख आहे परंतु ती सोडवण्याची रीत नाही. व नोट्समध्ये फेर्माने हे शोधून काढले आहे एवढाच उल्लेख आहे.
गेली दोन - तीनशे वर्षे जगभरातील गणितज्ञ याच्या प्रूफच्या शोधात होते. फेर्माच्या खरेखोटेपणाबद्दल शोध घेत होते. वर उल्लेख केलेल्या बेसीच्या पत्रातील प्रमेयाचे प्रूफ शंभर वर्षानंतर लाग्रांज या गणितज्ञाने शोधून काढले. फेर्माच्या शेवटच्या प्रमेयासाठी नोबेल पारितोषकाच्या वेळी मिळणार्या मानधनाइतकी रक्कम प्रूफ शोधणार्याला मिळणार होते. 1993 मध्ये प्रिन्स्टन येथील अँड्र्यू वाइल्स या गणितज्ञाने प्रथमच शेवटच्या प्रमेयाचे प्रूफ शोधून काढले. सर्व गणितज्ञ आश्चर्यचकित झाले. तरीसुद्धा वाइल्सच्या मांडणीत चूक सापडते का? याचा शोध अजूनही गणितज्ञ घेत आहेत.
बिनचूक प्रूफ कधी मिळेल हे फक्त अस्तित्वात नसलेला तो परमेश्वरच सांगू शकेल!
(जर त्याला गणिताचे ज्ञान असल्यास!)
संदर्भ: मार्व्हेल्स ऑफ मॅथ: फॅसिनेटिंग रीड्स अँड ऑसम ऍक्टिव्हिटीज, ले: केंडाल हॅवन
........क्रमशः
प्रतिक्रिया
लेखनशैली उत्तम.फक्त काही
लेखनशैली उत्तम.
फक्त काही फॅक्च्युअल सुधारणा सुचवतो:
फेर्मा'ज लिटल थेरममध्ये (r (p-1) - 1) या फॉर्म्युल्यात p ही मूळ संख्या आहे, अपरिमेय नाही. अन त्या थेरमचे प्रूफ तुम्ही दिलेल्या लिंकनुसार लॅग्रांज च्या अगोदर लेबनिझने दिलेय.
आणि अँड्र्यू वाईल्सने फेर्मा'ज लास्ट थेरम प्रूव्ह केले त्यात एक चूक निघाली, पण १९९४ साली रिचर्ड टेलर नामक कलीगच्या सहाय्याने त्याने ती दुरुस्त केलेली आहे.
संबंधित दुवा.
यासंबंधी उत्तम पुस्तक म्हणजे सायमन सिंग यांचे फेर्मा'ज लास्ट थेरम हे आहे.
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
या सायमन सिंगचं
या सायमन सिंगचं क्रिप्टोग्राफीवरचं पुस्तक पण मस्त आहे.
********
It is better to have questions which don't have answers, than having answers which cannot be questioned.
हम्म, ऐकलंय त्याबद्दल. आता हे
हम्म, ऐकलंय त्याबद्दल. आता हे वाचणे आले.
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
वाचतो आहे.
वाचतो आहे.
लिहीत रहा.
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
लेख आवडला. या गोष्टी वाचायला
लेख आवडला. या गोष्टी वाचायला गंमत येते.
(सायमन सिंगांची बरीच पुस्तकं मस्त आहेत.)
---
सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.