खेळांतली अनिश्चिती
हा विषय कित्येक दिवस डोक्यात असला तरी सध्या IPL T20 निर्वाणीच्या अवस्थेत असल्यामुळे त्याबद्दल लिहायचं ठरवलं. लिहीत असताना तो किती जगड्व्याळ आहे हे लक्षात यायला लागलं, पण तरीही सुचतील तसे काही मुद्दे मांडतो.
समजा अली आणि बलवंत अशा दोन व्यावसायिक खेळाडूंचा आज दुपारी एकमेकांविरुद्ध सामना आहे. असं समजा की, अलीचं रॅँकिग बलवंतच्या वरचं आहे, म्हणजेच आजमितीला तरी तो दोघांपैकी सर्वसाधारणपणे जास्त चांगला खेळाडू मानला जातो. पण तरीही प्रत्यक्षात आजचा सामना अली जिंकेल की नाही याबद्दल अनिश्चिती असते; तर ती कशावर अवलंबून असते हा प्रश्न आहे. थोडक्यात 'अली सामना हरण्याची, म्हणजेच निकालाबाबत अपेक्षाभंग होण्याची शक्यता किती आहे', असा काहीसा 'अनिश्चिती' चा अर्थ मला अभिप्रेत आहे.
(हा खेळ टेनिस, बुद्धिबळ, हॉर्सरेसिंग, क्रिकेट इत्यादि काहीही असू शकतो, आणि ह्या दोन व्यक्ती नसून संघ किंवा घोडे असू शकतात. रँकिग ठरवणाऱ्या आंतरराष्ट्रीय संघटना अनेक खेळांमध्ये असतात; उदा. टेनिसमध्ये Association of Tennis Professionals, किंवा बुद्धिबळात Fédération Internationale Des Éches'. काहीवेळा हे रॅँकिंग अधिकृत नसलं तरी तो लोकांच्या सामान्यज्ञानाचा भाग असू शकतो, उदा. CSK ही टीम DD पेक्षा चांगली आहे, हे IPL चे सामने सुरू होण्याआधीही बऱ्यापैकी सर्वमान्य होतं.)
(१) या दोन खेळाडूंचा एकमेकांच्या खेळात थेट हस्तक्षेप होतो की नाही यामुळे फरक पडतो. उदाहरणार्थ, टेनिसमध्ये असा हस्तक्षेप असतो: अलीने शॉट जिथे आणि जसा मारला असेल तसा तो परतवण्याची जबाबदारी बलवंतवर असते. याउलट मॅरॅथॉनमध्ये असा हस्तक्षेप नसतो: दोघांच्या पळण्याचा एकमेकांवर थेट परिणाम होत नाही, म्हणजे अली जोरात पळाला तर त्यामुळे बलवंत दमतो असं काही होत नाही. (आणखी उदाहरणं द्यायची तर पोकरमध्ये हस्तक्षेप असतो, पण रायफल शूटिंगमध्ये नसतो.) मला असं वाटतं की, ढोबळ मानाने हस्तक्षेप असणाऱ्या खेळांत अनिश्चिती जास्त असावी.
(२) खेळाला 'स्मृती' आहे की नाही यामुळे फरक पडतो. उदा. बुद्धिबळात अशी स्मृती असते: समजा बलवंतने चौदाव्या चालीला आपल्या राजासमोरच्या प्याद्याने एक वाईट खेळी केली. आता एकतर यामुळे चाल फुकट जाते (म्हणजे दुसरी चांगली चाल करायची संधी जाते), आणि शिवाय चूक लक्षात आली तरी प्यादं उलटं आणता येत नाही. या एका चुकीचे परिणाम कधीच पुसता आले नाहीत, आणि त्यामुळे बलवंत डाव हरला असं होऊ शकतं. याउलट टेनिसला अशी स्मृती नसते. अली एक फोरहॅँड चुकला तर त्याचा पुढच्या पॉइंटवर थेट परिणाम होत नाही. (अर्थात हे इतकं सरळ नाही, कारण जर सेटपॉइंट गेला तर त्याचे परिणाम चांगलेच भोवतात. एकूण ही 'स्मृती' हा फार व्यामिश्र विषय आहे.) माझा अंदाज असा अाहे की, स्मृती असणारे खेळ जास्त अनिश्चित असावेत.
(३) एक चमत्कारिक संभाव्य परिणाम असा की, अली हा जर बलवंतच्या मानाने फारच प्रसिद्ध खेळाडू असेल तर त्याच्या खेळाचा अभ्यास करणं सोपं असल्यामुळे बलवंतला फायदा होत असावा, आणि त्यामुळे उलट अनिश्चिती वाढत असावी. उदा. रॉजर फेडररचे हजारो व्हिडिअोस् सर्वत्र उपलब्ध आहेत. त्यामुळे कुठल्याही टेनिसपटूला फेडरर कसा खेळतो हे माहित असतं, पण तो दुसरा जर तुलनेने अप्रसिद्ध असेल तर फेडररला त्याच्या खेळाची तितकी माहिती नसते. त्यामुळे फेडररचं रँकिंग जरी वर असलं तरी या कारणामुळे अप्रसिद्ध खेळाडूविरुद्ध जिंकणं त्याला कदाचित थोडं अवघड होत असू शकेल.
अजून बरंच लिहिता येईल, पण इथे बॅटन वाचकांच्या हातात देतो. तुम्हाला अनिश्चिती कमीजास्त होण्याची आणखी काही कारणं सुचतात का? (अनेक खेळांना किंवा वेगवेगळ्या परिस्थितींत लागू पडतील अशा कारणांत मला रस आहे. फेडरर गवतावर जास्त चांगला खेळतो आणि नदाल मातीवर, असले मुद्दे या दृष्टीने तितकेसे इंटरेस्टिंग नाहीत.) वरच्या मुद्द्यांत तुम्हाला काही त्रुटी दिसतांत का? (हे मुद्दे चर्चेची बीजं म्हणून मुद्दाम ढोबळ स्वरूपात मांडल्यामुळे तशा त्या आहेत हे मला माहित आहे.)
मधले - कडेचे
मुद्दा १ (दोघांच्या पळण्याचा एकमेकांवर थेट परिणाम होत नाही,) वरून आठवलेले एक निरीक्षण आणि काही प्रश्न नोंदवितो.
जलतरण किंवा धावण्याच्या स्पर्धा, यांत साधारण मध्याच्या आजुबाजूस असलेला स्पर्धक जिंकताना आढळतो. असे का असावे ?
याचे एक कारण असे असू शकते की जे प्रसिद्ध(जिंकण्याची जवळपास हमी असलेले) स्पर्धक असतात, त्यांची जागा साधारण मध्यावर ठेवलेली असते. म्हणजे उदा. पोहण्यात फेल्प्स् वा धावण्यात यूसेन बोल्ट् हे साधारण मध्याच्या आसपासच स्पर्धा करतात. (मला कल्पना नाही, की कुठला स्पर्धक कुठल्या रांगेत पोहणार/धावणार, हे कसे ठरविले जाते. आयोजक काही कारणामुळे मुद्दामहून त्यांना मध्यावर ठेवतात की ते यादृच्छिक असते ?) आत्तापर्यंत पाहिलेल्या सामन्यांत अगदी टोकाच्या रांगेतला खेळाडू पहिला आला आहे असे पाहिल्याचे आठवत नाही. असले तरी अशी उदाहरणे किती असावीत ? त्यामुळे प्रश्न असे की,
१. पोहण्यात, मधल्या रांगेतल्या पाण्याचे गुणधर्म आणि अगदी कडेच्या पाण्याचे गुणधर्म समान असणे किती शक्य आहे ?
२. पोहण्यात, मधल्या रांगेतल्या खेळाडूला दोन्ही बाजूस खेळाडू असणे याचा मानसिक स्तरावर काही अधिक फायदा (भिंतीलगतच्या खेळाडूपेक्षा) होतो का ?
(हेच प्रश्न घोडदौड, धावणे, इ. गोष्टींना लागू होतील.)
अशी काही उदाहरणे असतीलही, ती पाहायला, वाचायला आवडतील.
थोडक्यात, बोल्ट वा फेल्प्स् यांना अदगी कडेच्या रांगेत ठेवून लागलेले निकाल पाहायला आवडतील. इथल्या सदस्यांचे काय मत ?
दुवा
कदाचित हा दुवा काही अधिक माहिती देईल :
http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20080814043826AAQz3oR
'the outside lanes have the disadvantage of the 'backwash' created by the waves of the swimmers hitting the wall and reverberating back creating more waves and less of a smooth surface to swim in.'
खेळण्याचा काळ
उत्तम चर्चा प्रस्ताव.
माझी भर:
(औट-डोअर स्टेडियममध्ये!) सामना खेळतानाचा काळ : एका स्पर्धकानंतर एक अशी स्पर्धा होणार असेल तर त्या कालफरकाचा - (परिस्थितीत होणार्‍या फरकामुळे) - सामन्याच्या अनिश्चिततेवर परिणाम होईल. उदा. लॉन-टेनिसमध्ये/ बॉक्सिंगमध्ये दोन्ही स्पर्धक (जवळजवळ) एकसमयावच्छेदेकरून खेळत असतात. किंवा एखाद्या पळण्याच्या स्पर्धेच्या अंतिम फेरीत सर्व स्पर्धक एकाचवेळी पळतात. त्यामुळे हा परिणाम कमी होतो. या उलट क्रिकेटमध्ये दोन बाजूंच्या बँटिंग/ बोलिंग इनिंग्जचा काळ वेगवेगळा असतो. त्यामुळे कामगिरीत फरक झालेला दिसतो. किंवा आर्चरीमध्ये एकानंतर एक स्पर्धक बाण मारतात. त्यावेळी वार्‍याची दिशा व वेग अचानक बदलल्यास कामगिरीत मोठाच फरक पडतो. (कदाचित इन-डोअर स्टेडियममध्ये हा मुद्दा लागू होऊ नये.)
पटकन सुचलेले काहि
१. काहि खेळांमध्ये स्पर्धक ज्या वातावरणात सराव करतात व ज्या वातावरणात प्रत्यक्षात स्पर्धा होतात त्यातील फरक अनिश्चिततेचे प्रमाण बदलत असावा.
उदा द्यायचे तर जलतरण, धावणे वगैरे खेळांचे देता येईल.
पाण्याचे तापमान, सुस्पष्टता वगैरे घटक सराव आणि प्रत्यक्ष सामन्याच्या वेळी वेगळे असले तर ज्या खेळाडूंचा सराव प्रत्यक्ष सामन्याच्या परिस्थितीत झाला आहे त्यांच्या चांगल्या निकालांची शक्यता अशिक असते.
किंवा धावणे/सायकलिंग वगैरे स्पर्धांमध्ये जर स्पर्धा उंचावर,विरळ हवेत असेल तर एरवी तशा उंचीवर सराव करणार्‍यांफायफायदा होऊ शकतो.
२. काहि खेळात वापरण्यात येणार्‍या खेळसाधनांमुळेही अनिश्चिततेत प्रसंगी मोठा बदल होऊ शकतो. जसे सायकलिंग (सायकलची प्रत), कार रेसिंग (कार, टायर्स वगैरे), बॅटमिंटन/टेनिस (ग्रीप, गटिंगची तन्यता वगैरे वगैरे)
बाकी धाग्यचा विषय आवडला
स्किल्ड स्पोर्ट्समध्ये....
कौशल्यावर आधारित खेळांमध्ये (स्किल्ड स्पोर्ट्समध्ये)निकालाबाबत पैज लावल्यास तो जुगार ठरत नाही असा कायदा भारतात असल्याचे कालच दूरचित्रवाणीवरील एका चर्चेत ऐकले. खखोदेजा... (नास्तिकांसाठी - खखोकुठा!):: पर्यायाने अशा खेळांमध्ये फिक्सिंग होऊच शकत नाही असाही निष्कर्ष काढता येईल!
आयपीएल की क्रिकेट?
>>क्रिकेट हा कौशल्याच खेळ नाही असाही निष्कर्ष मग काढता येईल!
आयपीएल म्हणजे क्रिकेट नाही असं हे म्हणताहेत -
http://hemukarnik.blogspot.in/2013/05/ipl.html
कौशल्य...
कोणताही खेळाडू 'माझे कौशल्य कमी पडले' (बॉल टाकताना/कॅच घेताना/शॉट मारताना) असा युक्तीवाद करू शकतो. आणि त्याच्याकडे पैसे सापडले तरीही कोणी कुणाला काय भेट/वस्तू द्यावी यावर कोणते बंधन आहे? त्याने तसे पैसे स्विकारण्याने कोणतेही 'सार्वजनिक' नुकसान होत नाही. बीसीसीआय ही सार्वजनिक संस्था नसल्याचे स्पष्ट आहेच. त्यामुळे कायद्याने आयपीएल बेटिंग अथवा फिक्सिंग हे दोन्ही अपराध ठरत नाहीत. (श्रीशां/संतच्या कंपनीचे एक उघड उद्दीष्ट बेटिंग हाऊसेस चालवणे हेही होते. अर्थातच ते कायद्याला मान्य आहे असे दिसते.)
उत्तम चर्चाप्रस्ताव
व्यवस्थित मांडणी करून चर्चाविषयाचा मर्यादा स्पष्ट केल्या आहेत, आणि शिवाय इतरांसाठी बरंच मैदान मोकळंही ठेवलेलं आहे हे आवडलं.
मला सुचलेलं काही
एका विशिष्ट खेळात जे गुण मिळतात त्याचं एक एकक मिळवणं किती कठीण आहे यावर अनिश्चितता ठरते. उदाहरणार्थ क्रिकेट आणि बेसबॉल यांची तुलना करू. क्रिकेटमध्ये एक रन करणं हे अतिशय सोपं आहे. त्यामुळे वन डे मॅचमध्ये होणारे स्कोअर २५० च्या आसपास असतात. याउलट बेसबॉलमध्ये एक 'रन' करणं खूप कठीण असतं. त्यात अनेक गोष्टींचा हातभार आहे. बॅट सपाट नसून गोलाकार असते - त्यामुळे त्या बॅटने विशिष्ट दिशेला चेंडू जाणं हा नशीबाचाच भाग असतो. (बॅटला बॉल स्पर्श होण्याचंच प्रमाण २५% असतं!) त्यातही एक रन पूर्ण करण्यासाठी चौघांनी त्या चेंडूला फटका मारून क्रिकेटमधल्या एका रनप्रमाणे पुढे पुढे जायचं असतं. तिघांनीच करून बाकीचे आउट झाले तर त्याचे अर्ध-गुण मिळत नाहीत. त्यामुळे नऊ इनिंग्जमध्ये एखाद्या टीमच्या साधारण पाच-दहा रन होऊ शकतात. त्यातल्या सगळ्या एका इनिंगमध्येही होऊ शकतात. याउलट क्रिकेटमध्ये ग्रॅन्युलॅरिटी खूप जास्त आहे.
हाच अनिश्चिततेचा विचार वनडे व ट्वेंटी ओव्हर्स या बाबतीतही थोडा लागू होतो. ट्वेंटी-ट्वेंटीमध्ये हाय रिस्क हाय रिटर्न्स वागणुकीवर अधिक भर असल्यामुळे त्यात अनिश्चितता खूपच जास्त असते. वनडे मध्ये त्यामानाने कमी असते. दहा वर्षांपूर्वीची ऑस्ट्रेलिया आणि बांग्लादेश यांच्यात वनडेमध्ये बांग्लादेशला फारतर एखादी मॅच जिंकता आली. याउलट त्याच टीम्स जेव्हा २०-२० खेळतात तेव्हा ऑस्ट्रेलिया हरण्याची शक्यता निश्चितच जास्त होते. (आकडेवारी हाताशी नाही, पण शोधता येईल असा विश्वास वाटतो)
पुन्हा वाचला - काही ज्ञात तत्त्वे
व्याख्यांकरिता लेख पुन्हा वाचला.
थोडक्यात 'अली सामना हरण्याची, म्हणजेच निकालाबाबत अपेक्षाभंग होण्याची शक्यता किती आहे', असा काहीसा 'अनिश्चिती' चा अर्थ मला अभिप्रेत आहे.
येथे "शक्यता"चा अर्थ साधारणपणे "संभवनीयता" (प्रात्यक्षिक - अप्लाइड - गणितातील प्रॉबॅबिलिटी).
प्रॉबॅबिलिटी चा "जितपत पूर्वज्ञान आहे तितपत या परिस्थितीत लागू आहे अशी दीर्घकालीन सरासरी" हा अर्थ आपण घेऊ शकतो.
"जितपत पूर्वज्ञान आहे तितपत" म्हणजे काय? उदाहरणांनी समजावतो : (१) काल अली वा बलवंतवर वीज कोसळली हे पूर्वज्ञान असल्यास मागच्या वर्षीचा त्यांचा रेकॉर्ड कामाचा नाही, वीज कोसळल्यावर किती वेळा जिंकतो/हरतो, तो लेखाजोखाच कामाचा आहे (२) काल अली किंवा बलवंत चिकार प्याल्यामुळे आज त्यांचे कौशल्य कमी असू शकेल. आपल्याला हे पूर्वज्ञान नाही. परंतु गेल्या वर्षी खेळाडू चिकार पिऊन कुचकामी ठरण्याच्या घटना कधीमधी घडल्या आहेत. त्यामुळे आजच्या दिवशी हॅगओव्हर आहे की नाही हे पूर्वज्ञान नसले तरी मागच्या वर्षीची सरासरी लागू आहे.
"लागू आहे अशी दीर्घकालीन सरासरी" म्हणजे काय? बलवंत वा अली बाळपणी हा खेळ खेळले असतील, तो आलेख गैरलागू असू शकतो. "दीर्घकालीन" मध्ये काळ इतकाही दीर्घ नको.
आता अली आणि बलवंत पूर्वी सामने खेळल्याची माहिती "सर्वसाधारणपणे" आहे :
असं समजा की, अलीचं रॅँकिग बलवंतच्या वरचं आहे, म्हणजेच आजमितीला तरी तो दोघांपैकी सर्वसाधारणपणे जास्त चांगला खेळाडू मानला जातो.
हे असे असता दीर्घकालीन सरासरी पूर्वेतिहास (टक्केवारी) हीच पुरेशी आहे. जर पूर्वेतिहासाच्या गणिताने समजले की अली आणि बलवंतच्या खेळांत अलीच्या जिंकण्याची टक्केवारी (१०० पैकी) क्ष इतकी आहे, तर 'अली सामना हरण्याची, म्हणजेच निकालाबाबत अपेक्षाभंग होण्याची शक्यता' (१०० - क्ष)% इतकी आहे.
"अनिश्चिती"ची व्याख्या ही इतपतच असेल, तर आणखी काही विचार करण्याची आवश्यकता नाही. जर "क्ष%" हा दीर्घकालीन पूर्वेतिहास "लागू" असला, तर परस्पर हस्तक्षेप वा नाही, खेळाला स्मृती आहे वा नाही, हे लक्षात घेऊन काहीही फरक पडत नाही. कुठल्याही परिस्थितीत अली न जिंकण्याची संभवनीयता (१०० - क्ष)% इतकीच येते.
मला वाटते, की लेखकाच्या आंतरिक कुतुहलातली "अनिश्चिती"ची व्याख्या काहीतरी वेगळीच आहे. वर लिहिल्यासारखी नाही. परंतु ती व्याख्या नीट कळल्याशिवाय त्यांच्या विचारधारेबाबत आणखी बिंदुगामी विचार करणे मला जमत नाही.
कदाचित विचार असा असेल का? : "खेळातील प्रत्येक खेळीनंतर त्या सामन्यापुरती संभवनीयता जोखायची आहे"
म्हणजे आनंद-कास्पारोव्ह यांच्यात एके दिवशी क्वीन्स गँबिट सुरुवातीच्या पाचव्या खेळीत आनंदने नवीन व्हेरिएशन केले आहे. आता या डावाबाबत भाकित करायचे आहे.
अथवा भारत-श्रीलंका सामना चालू आहे, आणि भारताने ८ बाद ३५० धावा केल्या, श्रीलंकेने आतापर्यंत २ बाद १०० धावा केल्या आहेत, पूर्वेतिहास + ही माहिती मिळवून हार-विजयाची संभवनीयता काय आहे?
"अनिश्चिती" म्हणजे अशा परिस्थितीचा विचार आहे का?
सहमत
तुमच्या व्याख्येशी सहमत.
कदाचित विचार असा असेल का? : "खेळातील प्रत्येक खेळीनंतर त्या सामन्यापुरती संभवनीयता जोखायची आहे"
म्हणजे आनंद-कास्पारोव्ह यांच्यात एके दिवशी क्वीन्स गँबिट सुरुवातीच्या पाचव्या खेळीत आनंदने नवीन व्हेरिएशन केले आहे. आता या डावाबाबत भाकित करायचे आहे.
अथवा भारत-श्रीलंका सामना चालू आहे, आणि भारताने ८ बाद ३५० धावा केल्या, श्रीलंकेने आतापर्यंत २ बाद १०० धावा केल्या आहेत, पूर्वेतिहास + ही माहिती मिळवून हार-विजयाची संभवनीयता काय आहे?
हेही त्या व्याख्येत बसवता येईलच, खेळाच्या अमुक काळातील परिस्थितीबद्दल उपलब्ध पुर्वेइतिहास-माहिती अचूकपणे सुसंबंद्ध नसेल पण ढोबळमानाने हार-विजयाची संभवनीयता-टक्केवारी सांगता येणे शक्य आहेच?
मॉडेल
मला अभिप्रेत असलेलं मॉडेल काय आहे ते थोडक्यात लिहितो. दुर्दैवाने पुढला काही भाग इंग्रजीत लिहिण्याखेरीज (मला तरी) गत्यंतर नाही, आणि शिवाय गणितात रस नसलेल्यांना हे सगळं कदाचित फारच क्लिष्ट वाटेल, पण त्याला इलाज नाही.
Let us suppose that the World Badminton Federation has the following ranking of players: x_1, x_2, x_3, x_4, …..
Given two numbers m n, there is a probability p(m,n) that player x_m will be defeated by x_n. Since x_m is by definition the higher ranked player, it must be the case that p(m, n) is between 0 and 1/2.
Now do the same thing for the World Table-Tennis Federation, and assume that the probabilities are q(m,n). Now suppose that p(m,n) is always more that q(m,n) for any pair (m,n). Then we would be justified in saying that Badminton is a more uncertain sport than Table-Tennis.
आता मला यातल्या व्यावहारिक अडचणींची कल्पना आहे. एकतर p(m,n) हा आकडा निश्चित ठरवणं महाकर्मकठिण (किंवा खरं तर अशक्य) आहे. दुसरं असं की 'for any pair (m,n)' ही अट पुरी होणं फार अवघड आहे, तेंव्हा p(m,n) या संख्यांची कसलीतरी सरासरी वापरावी लागेल. एकूण या विषयावर पेपर लिहायचा झाला तर इथेतिथे बऱ्याच तडजोडी कराव्या लागतीलच. मूळ प्रस्तावात मी x_m, x_n ऐवजी अली आणि बलवंत अशी नावं घेतलेली आहेत, पण ते विशिष्ट खेळाडू नसून चल (variables) आहेत. तेंव्हा विशिष्ट खेळाडूंच्या विशिष्ट सामन्यापेक्षा मला 'अमूक खेळ तमूक खेळापेक्षा अनिश्चित आहे' अशा निष्कर्षामध्ये रस आहे. (मूळ प्रस्तावातून हे अधिक स्पष्ट व्हायला हवं होतं, हे मान्य.)
अवांतर: पुरुषांच्या टेनिसमध्ये Association of Tennis Professionals ची रँकिंग्स असतात, तर महिलांच्या टेनिसमध्ये Women's Tennis Association ची असतात. गेल्या तीनचार वर्षांत एक गंमतीदार परिस्थिती उद्भवलेली आहे ती अशी की, ATP रॅँकिंग्स च्या मानाने WTA रॅँकिंग्स सतत उलटीसुलटी होताहेत. उदा. जगातल्या पहिल्या दहा महिला खेळाडूंची यादी सतत बदलते, पण त्यामानाने पुरुषांच्या बाबतीत ती इतकी बदलत नाही. याचा प्रथमदर्शनी तरी अर्थ असा की महिला टेनिसमधली अनिश्चितता पुरुष टेनिसपेक्षा सध्या काही कारणाने जास्त आहे. अर्थात हा खेळाचाच मूलभूत गुणधर्म आहे की, तात्पुरती परिस्थिती आहे यावर वाद घालता येईल.
सुसंदर्भ मुद्दा :अमेरिकन क्रीडा वार्ताहार "पॅरिटी" म्हणतात
अमेरिकन क्रीडा वार्ताहार ज्याला "पॅरिटी" म्हणतात, तो मुद्दासुद्धा येथे सुसंदर्भ आहे.
अमेरिकन बेसबॉल लीगमध्ये श्रीमंत संघ वाटेल तितके पैसे देऊन उत्तम खेळाडूंना कंत्राटे देऊ शकतात. मात्र अमेरिकन फुटबॉल लीगमध्ये याबाबत काही मर्यादा आहेत.
बेसबॉलमध्ये तेच ते मोजके नेहमीचे यशस्वी संघ पुन्हापुन्हा चँपियनशिप जिंकतात, परंतु फुटबॉलमध्ये मात्र वेगवेगळे संघ चँपियनशिप जिंकतात.
बेसबॉलमधले p(m, n) हे फुटबॉलमधल्या q(m,n) पेक्षा बरेच कमी असते, असा माझा अंदाज आहे. (परंतु ही बाब क्रीडांगणावर-परस्पर-हस्तक्षेपी वा स्मृतीहीनता या गोष्टींवर अवलंबून नाही. आता खेळाडूंच्या बाजारात परस्पर-हस्तक्षेप हा खेळाचाच भाग मानला, तर कदाचित तुमचे विश्लेषण लागू आहे. पण बाजारात बघावे, तर बेसबॉलमध्ये परस्पर-हस्तक्षेप अधिक आहे, की फुटबॉलमधला?)
वेगवेगळ्या खेळांची तुलना करणारे हे कुतूहल "वेल पोझ्ड क्वेश्चन" आहे काय? हा विचार करतो आहे.
बॉस्टन मॅरॅथॉनमध्ये "क्वालिफाइंग" हा प्रकार असतो. त्यामुळे सर्वच स्पर्धक बर्‍यापैकी वेगाने धावतात. न्यू यॉर्क मॅरॅथॉनमध्ये ८-९ तास घेऊन धावणारे लोक सुद्धा असतात. हाच फरक विंबल्डन आणि डेव्हिस कप यांच्यातही दिसेल. तर "टेनिस" आणि "मॅरॅथॉन" यांची तुलना योग्य आहे का?
बॉस्टन मॅरॅथॉनची तुलना विंगल्डनशी केली तर वेगळे उत्तर मिळेल आणि न्यू यॉर्क मॅरॅथॉनची तुलना डेव्हिस कपशी केली तर वेगळे उत्तर मिळेल, बहुधा.
त्या मानाने सोपे गणित
गणित सकृद्दर्शनी वाटावे त्यापेक्षा सोपे आहे.
E(p(m,n) - q(m.n)) = E(p(m,n)) - E(q(m,n))
आणि
Var(p(m,n) - q(m.n)) = Var(p(m,n)) + Var(q(m,n))
कारण p(m,n) आणि q(m.n) यांचा कोव्हेरियन्स ० मानणे योग्य आहे. (दोन्ही खेळ नि त्यातील खेळाडू वेगवेगळे आहेत. स्वतंत्र आहेत.)
त्यामुळे p(m,n) ची सरासरी (अ‍ॅरिथ्मेटिक मीन) म्हणजे त्या "p" खेळातल्या स्पर्धांतली "अनिश्चितता" मानता येते. (ज. चि. यांनी सरासरी/अ‍ॅव्हरेज p(m,n) ही अगतिक तडजोड मानली आहे. तशी तडजोड नाही. त्यांना सहज सुचलेली तडजोड म्हणजे पूर्ण उत्तर आहे.)
वरील वर्णनापुरते बघावे, तर Var(p(m,n)) ची गरज नाही. पण पुढे त्याची गरज पडली तर काय? म्हणून तेसुद्धा वर दिले आहे. (दोन खेळांमधील अनिश्चिततांमध्ये जो फरक आहे, त्याबाबत कॉन्फिडन्स इन्टर्व्हल जोखायला हे गणित उपयोगी आहे.)
मान्य
मान्य. मी 'कसलीतरी सरासरी' म्हणण्याचं कारण असं:
पुन्हा टेनिसचं उदाहरण घेऊ. इथे p(1,2) किंवा p(4,7) अशा आकड्यांत आपल्याला रस असणं साहजिक आहे, पण त्यामानाने p(487, 519) हा आकडा बहुतेक एक द्वितीयांशाच्या इतका जवळ असेल की तो लक्षात घेण्यात फारसा अर्थ नाही. (शिवाय इतक्या खालच्या खेळाडूंबाबतही रँकिंग्सही बेभरवशाचीच असतात.) तेंव्हा m, n या संख्या लहान असताना p(m,n) ला जास्त महत्व देणं योग्य वाटतं, याचाच अर्थ साध्या average ऐवजी weighted average घेणं संयुक्तिक वाटतं. ही weights काय घ्यायची ह्याला नक्की उत्तर नाही. (पण कुणाला ही सगळी अति कलाकुसर वाटणं शक्य आहे.)
तुमच्या आधीच्या प्रतिक्रियेप्रमाणे फार चांगले खेळाडू आणि फार बेताचे खेळाडू यांचा कदाचित वेगवेगळा विचार करावा लागेल. निष्कर्ष वेगवेगळ्या बॅँडस् मध्ये वेगवेगळा येऊ शकेल. The issue is ultimately empirical.
अवांतर: या सगळ्यामध्ये x_i हे बऱ्यापैकी स्थिर आहेत असं मी मानलेलं आहे. पण x_i हे जर संघ असतील आणि त्यांतले खेळाडू सतत इकडून तिकडे जात असतील तर या मॉडेलला काही अर्थ उरत नाही.
अतिअवांतर: जर मॅरॅथॉन पळायला आठनऊ तास लागत असतील, तर हा फक्त ताशी पाच किलोमीटर वेग झाला. हे लोक सरळ चालतच जातात की मध्येमध्ये बसून विश्रांती घेतात? (प्रश्न कुतूहल म्हणून विचारलेला आहे, खवचटपणा करण्याचा उद्देश नाही.)
यावरून आठवले....
गंभीर चर्चेत थोडीशी गंमत :
आमच्या लहानशा गावात एकदा एक बेनिफिट मॅच झाली. तिच्यात मुंबईचे मोठे क्रिकेटपटू खेळत होते. सुनील गावस्करही आला होता. (त्यावेळी गावस्कर भारतीय संघाचा कर्णधार होता.)तो ब्यॅटिंग करत असताना गावच्या क्रिकेटप्रेमींच्या आग्रहावरून म्हणा (सामना तसा खेळीमेळीचाच होता) गावातल्या एका (गावपातळीवरील जगप्रसिद्ध!) फास्ट- बोलरला बोलिंग करण्यासाठी पाचारण केले गेले.(श्री. आनंद दोपारे - सध्या एस्टी महामंडळात वहातुक-निरीक्षक पदावर कार्यरत)या बोलरने पहिल्याच बॉलला गावस्करला क्लीन बोल्ड केले. सामना खेळीमेळीचा असल्याने कदाचित गावस्करने गंमत केली असेल. (असे समजू. त्यावेळी फिक्सिंग होत नसे. (असे समजू.))गावस्करच आऊट झाल्यावर प्रेक्षक नाराज झाले. (एकीकडे गावच्या बोलरने त्याला आऊट केले याचाही आनंद होताच.) पण, तेव्हा तो बॉल 'नो-बॉल' ठरवून गावस्करला पुन्हा खेळण्यासाठी पाचारण करण्यात आले. तर पुढच्याच चेंडूवर पुन्हा गावस्कर त्रिफळाचित! हे मात्र आक्रित होते! (नॉट अ चान्स). यावेळी पुन्हा गावस्करला 'पुढे चाल' दिली गेली. त्यानंतर मात्र गावस्करने सलग चार चौकार लगावून तो गावस्करच आहे हे सिद्ध केले.
तेव्हा क्वचित असेही होऊ शकते. या बाबतीत प(म,न) गणित फारसे कामी येत नाही. अनेक कारणांनी अनेकांना आयुष्यभर असे मानांकन मिळवण्याची संधीच मिळत नाही.
सिमिलर किस्सा W G Grace
सिमिलर किस्सा W G Grace (म्हंजे माणिक गोडघाटे नव्हेत) यांच्या बाबतीत घडल्याचे वाचले आहे.
त्यांना एका सामान्य बोलरने क्लीन बोल्ड केले तेव्हा त्यांनी बेल्स उचलून स्टंपावर ठेवल्या आणि म्हणाले "इथे लोक माझी बॅटिंग (बेटिंग नव्हे) बघायला आले आहेत". असे म्हणून काही घडलेच नाही अशा थाटात पुढे खेळायला सुरुवात केली.
मनीबॉल.
समूहक्रीडा पद्धतीत खेळाडूंची निवड करण्यासाठी संख्याशास्त्राचा वापर करून अनिश्चितता कमी करण्याचा आणि एखाद्या चमूची विजयाची शक्यता वाढवण्याचा यशस्वी प्रयोग बेसबॉलमध्ये केला गेला आहे असे वाटते. Moneyball: The Art of Winning an Unfair Game या पुस्तकात, ओकलँड अ‍ॅथलेटिक्स टीमचा मॅनेजर बिली बीन याने एका इकॉनॉमीक्स ग्रॅज्युएटने बनविलेल्या प्रोग्रॅमचा उपयोग करून, कमी खर्चात उभ्या ़केलेल्या टीमने २००२मध्ये पहिला क्रमांक पटकावला होता. खेळाडूंचे स्टोलन बेसेस, त्यांनी बनविअलेल्या धावा आणि बॅटिंग सरासरी याचा प्रोग्रॅममध्ये वापर केलेला होता. याच पुस्तकावर अ‍ॅरन सॉरकिनची पटकथा असलेला 'मनीबॉल' हा सिनेमाही रोचक आहे.
अर्थात ज्या खेळांमध्ये नैसर्गिक घटक उदा. वारा, पाऊस, तापमान यांनी खूप फरक पडतो त्यात असे मॉडेल बनविणे अधिकच क्लिष्ट होईल. उदा. रोरी मॅकेलरॉयला आयर्लंडच्या वारा-पाऊस अशा वातावरणात आयुष्यभर सराव केल्याने त्या प्रकारच्या गोल्फ कोर्सेसवर जीव मिलखासिंगपेक्षा अधिक फायदा होऊ शकेल पण त्याच देशात शांत सूर्यप्रकाशाच्या दिवशी असा फायदा मिळणार नाही.
खेळाडूंची मानसिक स्थिती, स्वभाव वगैरे अजूनही गुंतागुंतीच्या भानगडी आहेतच.
चांगले विचारप्रवर्तक मुद्दे
चर्चाप्रस्तावात चांगले विचारप्रवर्तक मुद्दे आहेत.
मुद्दा (१) अनुभवातून जोखणे जरा कठिण आहे. जगातील बहुतेक प्रचलित हस्तक्षेपी खेळ दुहेरी आहेत (दोन खेळाडू किंवा दोन संघ) परंतु बिगरहस्तक्षेपी खेळ अनेक-स्पर्धकांचे आहेत. त्यामुळे "जिंकण्याच्या संभवनीयतेतील व्हेरिअन्स" हे दोन्ही खेळांत वेगळेच काही असते. कदाचित पोकर (हस्तक्षेपी बहु-स्पर्धक खेळ) आणि सायकल शर्यत (बिगरहस्तक्षेपी बहु-स्पर्धक खेळ) अशी जोड बघता येईल.
मुद्दा (२) ज्या खेळांत नेहमीच विजय किंवा हार असते (बरोबरीत सामना थांबवण्याची मुभा नसते) त्या खेळांकरिता हा मुद्दा योग्य नाही. मात्र ज्या खेळांत बरोबरीत सामना सुटू शकतो, त्या खेळांच्या बाबतीत हे खरे असू शकेल. परंतु हे गुंतागुंतीचे आहे. उच्च स्तरावरील बुद्धिबळाचे सामने बरोबरीत सुटण्याचे प्रमाण खूप असते.
मुद्दा (३) कदाचित ठीक असू शकेल, पण व्यवहार्य नाही. अज्ञात खेळाडूच्या कडे कोणाला ठाऊक नसलेले अमोघ अस्त्र असू शकते खरे. परंतु ते अमोघ अस्त्र वापरायचा सराव गुप्तपणे करावा लागेल. म्हणजे फारसा सराव नसेल. सराव नसलेले, थोडेच जोखलेले अस्त्र कितपत "अमोघ" असणार आहे? प्रसिद्ध उत्तम खेळाडू जिंकण्याची टक्केवारी खूप जास्त असते.
(तरी माझा एक गोंधळ/प्रश्न आहेच म्हणा : समजा प्रसिद्ध खेळाडू जिंकण्याची ऐतिहासिक संभवनीयता ९०% आहे, असे दिसले. तर १०% छुपे रुस्तुम जिंकतील. पण या टक्केवारीवेगळे "अनिश्चिती"चे परिमाण काय असते? ९०-१० यांचे विशेष नाही. ५०-५० अशी संभवनीयता असली, तरी या टक्केवारीवेगळे "अनिश्चिती"चे परिमाण काय असते?)
असो - गुड हायपोथेसिस.