पाय दिनानिमित्त एक प्रयोग
१४ मार्च हा आंतरराष्ट्रीय पाय दिन मानला जातो. भारतात आपण तारीख १४-३-२०१२ अशी लिहीत असलो तरी अमेरिकेत ती ३-१४-२०१२ अशी लिहिण्याची पद्धत आहे. या तारखेतले पहिले तीन आकडे पायच्या ३.१४ या पहिल्या तीन आकड्यांशी जुळतात.
पाय या अपरिमेय संख्येविषयी खूप काही लिहून झालेलं आहे. आता आपल्याला पाय ची किंमत हव्या तितक्या दशमस्थळांपर्यंत काढता येते. पण एके काळी असं नव्हतं. ही किंमत वेगवेगळ्या संस्कृतींमध्ये वेगवेगळ्या काळात वेगवेगळी वापरली गेलेली आहे. ती नक्की कोणी शोधून काढली, नक्की किती अचूक कोणाला माहीत होती याबद्दलही वाद आहेत. आर्किमिडीजने ही किंमत ३ + १०/७१ ते ३ + १०/७० यांच्या दरम्यान आहे असं म्हटलेलं होतं. म्हणजे ३.१४०८... पाय ३.१४२८... (खरी किंमत ३.१४१५... आहे). याचा अर्थ त्याला सुमारे ०.१% पर्यंत माहीत होती. मात्र अनेक संस्कृतींमध्ये पायची किंमत ३, वर्गमुळात १०, २२/७, २५/८ अशी वापरली गेलेली आहे. बऱ्याच वेळा जुन्या संस्कृतीबद्दल बोलताना 'त्यांना पायची किंमत ९९.५ % अचूक माहीत होती' अशा धर्तीचं वाक्य काहीसं अचंब्याने सांगितलं जातं.
प्रश्न असा आहे की पायची किंमत अत्यंत अचूकपणे काढणं कितपत कठीण आहे? चला, आपण तपासून पाहू. मात्र काही अटी
- कुठचंही आधुनिक तंत्रज्ञान वापरायचं नाही. अडीच हजार वर्षांपूर्वी जी उपकरणं वापरता आली असती तीच वापरायची. म्हणजे कॉंप्युटर, कॅल्क्युलेटर, बारीक विभागणी केलेले ग्राफ पेपर वगैरे बाद.
- तुम्हाला पायची खरी किंमत माहीत नाही असं समजून मोजमापं करायची. म्हणजे माझं उत्तर किती बरोबर आलं, यापेक्षा या पद्धतीने किती उत्तर निघतं? असा प्रामाणिक शोध घ्यायचा.
- या प्रयोगावर खूप वेळ घालवायचा नाही. एक मोजणी सुमारे दहा मिनिटांत झाली पाहिजे. ही अट अर्थातच हवी तितकी शिथिल करता येईल. सर्वसाधारण व्यक्ती अगदी कमी कष्टांत किती अचूकपणे पायची किंमत मोजू शकते हे तपासून बघायचं आहे.
काही साध्या पद्धती
- खडू व दोऱ्याच्या सहाय्याने जमिनीवर वर्तुळ काढा. त्रिज्येइतका दोरा कापून घ्या. वर्तुळाच्या परिघावर शक्य तितका बरोब्बर ठेवा. परिघ पूर्ण करण्यासाठी या लांबीचे किती दोरे लागतील? सहापेक्षा थोडे जास्त. साधारण किती जास्त? अंदाज करण्यासाठी दोऱ्यावर तेवढ्या अंतराने घड्या करा. एक चतुर्थांश? एक तृतीयांश? शक्य तितका चांगला अंदाज घेऊन तो वापरा.
- साधारण गोल ताटली घ्या. चाकासारखी एका रेषेत काही वेळा फिरवून पुढे न्या. आता ताटलीच्या लांबीतच हे अंतर मोजा. जे अर्धवट असेल त्याचा शक्य तितका चांगला अंदाज करा.
- जर बागेत कुठे मोठंसं वर्तुळ दिसलं, तर त्याभोवती फेऱ्या मारून पावलं मोजा. मग शक्य तितक्या मध्यावरून चालत जात व्यास मोजा.
- एकापेक्षा अधिक वेळा मोजून सरासरी काढलीत तर उत्तमच.
तुम्हाला जर शाळेत जाणारी मुलं असतील तर त्यांच्याबरोबर हा प्रयोग नक्की करा. एखादी गोष्ट कोणीतरी सांगितली आहे म्हणून न स्वीकारता स्वतः तपासून बघण्याची त्यांना संधी मिळेल. अचूकता म्हणजे काय याबाबतही खऱ्याखुऱ्या संदर्भात चर्चा होऊ शकतील.
चला तर मग, पाय मोजण्याच्या वेगवेगळ्या तऱ्हा शोधून काढा आणि त्या वापरून किती उत्तर येतं ते प्रामाणिकपणे डकवा. मी त्या सगळ्या आकड्यांची सरासरी इथे नोंदवेन. पाहू आपल्याला काय मिळतं ते.
रंजक
कल्पना रंजक वाटली.
मी स्वतः एकदा अमभुज त्रिकोण व त्याच्या epicentre चे अंतर, व एकूण त्रिकोणाचा circumefrence मोज्णे, मग चौरस, मग सुसम पंचकोन आणि मग सुसम ष्टकोन असे करत अगणित बाजूंच्या सुसम बंदिस्त आकृतीचा(वर्तुळाचा) circumference मोजत बसण्याचा फॉर्मुला, उद्योग केला होता.
नंतर समजले it was like re-inventing the wheel!
नंतर समजले it was like
नंतर समजले it was like re-inventing the wheel!
रीइन्व्हेंटिंग व्हील हे इथे लागू होत नाही. एखादा गाणं शिकणारा रियाज करताना स्वर लावतो, तेव्हा ते स्वर तो पुन्हा स्वतः शोधून काढत नसतो. त्याला जर कोणी म्हटलं 'बाबारे, तू का अशा कच्च्या आवाजात हा स्वर लावतोस? त्यापेक्षा तुझ्या गुरूने लावलेला स्वर रेकॉर्ड कर की. त्याने तो स्वर आधीच घोटवून ठेवलेला आहे.' तर तो काय म्हणेल? गणितातही अशा गोष्टी स्वतःहून करून बघण्यात आनंदाचा आणि शिक्षणाचा भाग असतो.
या प्रयोगात पायची किंमत काढणं हा हेतू नाही. तर एक टक्क्यापेक्षाही अचूक किंमत काढणं किती सोपं आहे हे स्वतःच्या अनुभवातून कळावं यासाठी करून बघायचं आहे. काही मिनिटांसाठी स्वतःला इतिहासात न्यायचं आहे.
हम्म...
ह्यावरूनच आठवले.
आजच्या सारखे उपग्रह, आधुनिक तंत्रज्ञान इतकेच काय फारसे उच्चगणितही (कॅल्क्युलस वगैरे) प्रस्थापित झालेले नसताना बानु मुसा आणि त्याचा भाउ अशा दोघा जिज्ञासूंनी सात-आठशे वर्षांपूर्वी निव्वळ एखाद्या वस्तूची सूर्यप्रकाशात पडणारी सावली वेगवेगळ्या, दूरच्या ठिकाणी मोजत
त्यावरून चक्क पृथ्वीचा परीघ (अन पर्यायाने व्यास्,त्रिज्या वगैरे) बरेचसे अचूक मोजले होते.
एकदा त्याबद्दल डिट्टेलवार लिहायचय थोडं संशोधन करुन.
हे प्रयोग त्यच धर्तीवरचे वाटताहेत.
एक कल्पना
मोजमापाची एक कल्पना घरी नसल्यामुळे पूर्णत्वाला नेता येत नाही आहे :
एक दंडगोलाकृती डबा घ्यावा (उदाहरणार्थ पोळीचा डबा), आणि त्याचा (आतला) व्यास (त्यावरून त्रिज्या) आणि उंची मोजावी. त्या त्रिज्येइतक्या (आतल्या) रुंदीचा आणि उंचीचा चौरस पायाचा पुठ्ठ्याचा डबा बनवावा. (पुठ्ठ्याचे चौकोनी डबे घरी बनवणे त्या मानाने सोपे, दंडगोल डबे बनवणे त्या मानाने कठिण. वाटल्यास दोन्ही डबे पुठ्ठ्याने बनवा बनवा.)
आता त्या दोन्ही डब्यांमध्ये वरतून अगदी सपाट करून गोलाकार धान्य भरा : सुके वाटाणे, ज्वारी, मोहरी, खसखस यांच्यापैकी एक. डबे हलवून-हलवून धान्य नीट बसवून भरा. आता दोन्ही डब्यांतील धान्याचे वजन करा. त्या दोन वजनांचे गुणोत्तर पाय इतके असेल. वेळ भरपूर असल्यास धान्यांचे कणे मोजा. धान्यांच्या कणांच्या संख्यांचे गुणोत्तर "पाय" इतके असेल.
- - -
मागे एकदा विणकामाचा प्रयोग करून "पाय" शोधायचा प्रयत्न केला होता. दर ओळीत जितक्यास तितके टाके घेत राहिल्यास विणकाम चौकोनी होते. मात्र दर ओळीत टाके काही गुणोत्तराने वाढवले, तर विणकाम arcच्या आकाराचे होते. ज्या गुणोत्तराने टाके वाढवले की पूर्ण गोलाकार होतो, त्यावरून "पाय"बाबत अंदाज करता येतो. हा प्रकार तितकासा सूक्ष्म नाही, कारण विणकाम हे थोडेफार ताणता/शिथिल करता येते. मला पायची किंमत ३ आणि ४ च्या दरम्यान काहीतरी आहे, इतकाच अंदाज करता आला.
मात्र काही कुशल लोकांच्या विणकामाचे "टेन्शन" अगदी अचूक असते. क्रोशेच्या साखळीने गोलाकार वाढवत नेला, तर गोलाचा आकार मोठा झाल्यानंतर त्यांना "पाय"बाबत एक-दीड डेसिमलपर्यंत अंदाज येऊ शकेल, असे माझे मत आहे.
- - -
पद्धत लई भारी आहे. अगदी
पद्धत लई भारी आहे. अगदी सोप्पी पण तरीही लक्षात नव्हती आली.
असो,एक शंका. घासकडवी म्हणतात त्याप्रमाणे तत्कालीन साधने, ज्ञान वापरून उत्तर काढायचे आहे. तर मुळात वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र तेव्हा माहित असेल काय हा प्रश्न मला पडला आहे. कदाचित असेलही. जाणकारांनी प्रकाश टाकावा.
एक प्रयत्न.
लेखातील एका पद्धतीशी याचं साम्य असल्याने हा प्रयत्न बाद समजला जावा!
१ एकक व्यास असलेलं वर्तुळाकृती चाक घ्या (किंवा बनवा). एकक सहज मोजता येईल असं निवडा. चाकावर परिघापाशी एक खुण करा. त्या खुणेला बरोबर जमिनीवर ठेवून जमीनीवर एक खूण करा. आता ते चाक दहा वेळा एकाच दिशेने जमीनीला स्पर्श करूनच फिरवा. चाक जून्या खुणेपासून पुढे गेले असेल. बरोबर दहा वेळा फिरवल्यावर खुण पुन्हा जमीनीवर असेल. नविन जागी जमीनीवर खूण करा. दोर्‍याच्या सहाय्याने दोन खुणेंमधील अंतर मोजा.
चाकाचा परिघ = १*पाय
एकूण कापलेले अंतर= १०*पाय
मोजलेले अंतर= क्ष
पाय = क्ष/१०
जितके अचूक अंतर मोजता येईल, जितके चाक अचूक वर्तूळ असेल तितकी पायची किंमत अचूक येईल.
धनंजयची धान्य वापरण्याची
धनंजयची धान्य वापरण्याची पद्धत आवडली.
वहीच्या पुठ्ठ्याचा दंडगोल बनवा. हवं असल्यास घरातले डबे वापरून दंडगोलच आहे ना, दंडदीर्घवर्तुळ नाही, याची खात्री करता येईल. पुठ्ठ्याची वळवलेली बाजू किती लांबीची आहे हे सरळच मोजता येईल. व्यास मोजण्यासाठी पट्टीने पाच-सहा वेगवेगळ्या कोनात मापन करून त्याची सरासरी काढता येईल. किंवा पुठ्ठा शाईत/रंगात बुडवून पुठ्ठाचा ठसा कागदावर उमटवून कागदावर व्यास मोजता येईल. पुठ्ठा जेवढा पातळ असेल तेवढं उत्तम. पुट्ठ्याच्या जागी ब्रास, अ‍ॅल्युमिनियम किंवा तांब्याचा पातळ पत्राही वापरता येईल.
अवांतरः मला वाढदिवसाच्या शुभेच्छा.
राजेशची पद्धत क्रमांक १ वाचून 'फ्रेंड्स'चा एक भाग आठवला. रॉसचा मुलगा बापाच्या चेहेर्‍यावरच नाण्याला शाई लावून एक उभी रेष आखतो.
छान
चांगली कल्पना.
त्यात पुन्हा निळे यांनी सांगितल्याप्रमाणे १० फेरे किंवा जितके अधिक फेरे घेऊ तितके अधिक अचूक मोजमाप करणे शक्य आहे.
मागे याच विषयावर राजेश यांच्याशी चर्चा करताना पायची किंमत दोन दशांशापेक्षा अधिक अचूक काढल्याने काय साध्य होतं हा प्रश्न उद्भवला होता. मी इंजिनिअरिंग शिकलो त्या सुमारास आठ आकड्यांचे सायंटिफिक कॅलक्युलेटर नुकतेच मिळू लागले होते आणि ते वापरण्याची आम्हाला परवानगी होती. तेव्हा आम्ही व आमचे प्राध्यापक देखील ५-६ दशांशापर्यंत उत्तरे काढत असू (आणि त्याने एलेटेड फीलिंग येत असे). पुढे प्रत्यक्ष व्यवसायात याचा फोलपणा लक्षात आला. आम्ही समजा डिझाईनची क्लिष्ट गणिते करून बारचा व्यास १३.२७१८३१ मिलिमीटर हवा असे उत्तर काढले तरी बाजारात १२, १२.७ (१/२") आणि १४ मिलिमीटरचेच बार मिळतात. तेव्हा उघडच १२.७ चा बार चालणार नाही म्हणून १४ चाच बार वापरला जाणार. (१४ चा बार घेऊन तो १३.२७१८३१ एवढा कमी करण्याचे श्रम करणे हा तर आणखीच मूर्खपणा). तेव्हा उत्तर १३.२/१३.३ इतके आले तरी पुरेसे असते.
वा!
धनंजयचा क्रोशाचा प्रयोग आवडला. लगेच करुन बघितला.
जाड सुइने, घट्ट टाक्यांनी पायचे प्रमाण ~३.५ भरले
बारिक सूई, घट्ट टाके पायचे प्रमाण ~३ भरले
जा.सु., सैल टाके पाय ~ ४
बा.सु., सैल टाके पाय ~ ३.२ ते ३.३ च्या मधे
तेव्हा बारीक सुईने पायच्या अधिक जवळ गेलो असे वाटते. माझ्या विणकामाचा ताण (टेन्शन) बर्‍यापैकी समान ठेवण्याचा प्रयत्न केला
धागा एकच वापरला का?
पायचे प्रमाण वेगवेगळे येण्याचे एक कारण असे असू शकते.
चौकोनी वीण घालताना टाक्याची रुंदी आणि उंची समसमान असते किंवा नसते. (ताण समान ठेवून) जर "अमुक" जाडीच्या सुईवर "तमुक" धाग्याने टाक्याची उंची-रुंदी समसमान असली, तर त्याहून जाड किंवा बारीक सुईने टाक्याची उंची-रुंदी समसमान नसतेच. मग "पाय"चे गणित करताना उंची/रुंदी या गुणोत्तराइतका प्रमाद येतो. (तो अर्थातच गणिताने दूर करता येतो.)
प्रांगणातील वर्तुळ मोजले
माझ्या ऑफिसजवळच्या एका प्रांगणात जमिनीत विटा रोवून भूलभुलैया बनवलेला आहे :
(मूळ पानाचा दुवा, प्रत-अधिकार जॉन्स हॉप्किन्स बेव्ह्यू मेडिकल सेंटर, प्रेस रिलीझमध्ये वापरल्यामुळे पुनर्वापराची अनुमती गृहीत धरली आहे.)
यातील बाहेरच्या वर्तुळाचा परिघ १६९ पावले आणि त्रिज्या २७ कदम आहे. (कदम माझ्या पावलांनी मोजले.)
यावरून "पाय"ची किंमत ~३.१३ इतकी आली.
आंतरराष्ट्रीय पाय दिन पाळला
आंतरराष्ट्रीय पाय दिन पाळला जातो. हे वाचून आश्चर्य वाटले. वास्तविक वर्षभराचे ३६५ दिवस होतात. या दिवसात ७०० पेक्षा जास्त दिनविशेष पाळले जातात. साधारण प्रत्येक महिन्याला ४० ते ५० विशेष दिवस वाटून दिले आहेत. हे दिनविशेषही आश्चर्यकारक आणि हास्यास्पदही आहेत. आता आइस्क्रिम डे, पास्ता डे, झोपाळू डे असले काही डे पाळायचेच बाकी आहेत. असो. वरील विषय चांगला आहे. त्याची माहितीही लेखनाने चांगली दिली आहे.
थेट "पाय"चा अंदाज कमी होण्याकडे कल, "पैज"
"पाय"चे थेट मोजमाप केल्यास व्यासात ज्या मानाने प्रमाद होतो, त्या मानाने परिघाच्या मोजमापातला प्रमाद अधिक असणार आणि हा प्रामादिक आदमास "खर्‍या" परिघापेक्षा कमी असण्याची शक्यता अधिक आहे.
वर "पाय"चा आदमास समभुज आकृतींच्या परिघाने करायची पद्धत सदस्य मन यांनी सांगितलेली आहेच. हा राजमार्ग आर्किमिडीस याने शिकवलेलाच आहे. वर्तुळाच्या आत खेटून मावणारी एक समभुज-आकृती काढायची (इन्स्क्राइब) आणि तितक्याच भुजांची समभुज आकृती वर्तुळाच्या बाहेर खेटून काढायची (सर्कमस्क्राइब). वर्तुळाचा परिघ हा आतील आकृतीच्या परिघापेक्षा अधिक, पण बाहेरील आकृतीच्या परिघापेक्षा कमी असते. समभुज आकृतींचे भुज जसे अगणित होत जातात, तसे वर्तुळाच्या परिघाचे अंदाज अधिकाधिक घट्ट होत जातात.
वर्तुळाचा परिघ आतल्या-बाहेरच्या समभुज-परिघांच्या दरम्यान असला, तरी आतल्या आकृतीचा परिघ थोडा कमी प्रामादिक असतो. (उदाहरणार्थ १ मीटर व्यासाच्या वर्तुळाच्या आत मावणार्‍या षटकोनाचा परिघ ३ मीटर असतो, तर बाहेरच्या षटकोनाचा परिघ √१२ ~= ३.४६४... इतका असतो.) आणखी एक गोष्ट म्हणजे वर्तुळाकृती वस्तूच्या आत समभुज आकृती चितारणे बहुधा अधिक सोपे असते. तसेच डब्याच्या आत धान्य भरणे अधिक सोयीचे असते (घन-इन्स्क्राइब करणे). डब्याच्या बाहेर धान्य भरून घनफळ मोजणे त्या मानाने कठिण. कमी प्रमाद, आणि सोपेपणा ही दोन मोठी कारणे असल्यामुळे प्रत्यक्ष प्रयोगात "बाय इन्स्क्रिप्शन" मोजमाप करणेच सोयीचे. परंतु "बाय इन्स्क्रिप्शन" मोजमापात परिघ हा कमी मोजला जाईल, असा सिद्धांतच आहे. त्यामुळे हे माप शेकडो-सहस्रो वेळा पुन्हा-पुन्हा केले, तर ते कमी-असलेले-माप अतिशय सूक्ष्मतेने कळून येईल. कोट्यावधी प्रयोग करून सरासरी काढली, तर कदाचित ४-५ दशांकापर्यंत त्या कमी-असलेले-मापाबाबत आपला दृढविश्वास होऊ शकेल. परंतु हा विश्वास असला म्हणून "पाय"च्या किमतीबाबत ४-५ दशांकापर्यंत दृढविश्वास वाटणार नाही, वाटणे योग्य नाही.
राजेश घासकडवी यांच्या प्रयोगात "पाय"चा तिसरा दशांक मिळण्याबाबत (म्हणजे ३.१४नंतरचा) मी साशंक आहे. ऐसी अक्षरे वरील सर्व सदस्यांनी प्रयोग केले तरी तो अंक १ किंवा २ इतपत मिळणार नाही - संख्याशास्त्रीय "९५% कॉन्फिडन्स"तर येणारच नाही, याबाबत मी रुपयाविरुद्ध दहा रुपये पैज लावायला तयार आहे. कॉन्फिडन्स नसला तर चालेल, तरी मध्यवर्ती सरासरी ३.१४१ किंवा ३.१४२ नाही येणार, याबाबत मी एका रुपयाविरुद्ध एक रुपया पैज लावायला तयार आहे.
कोट्यवधी अतिसूक्ष्म मोजमापाचे "इन्स्क्राईब" प्रयोग केल्यास त्यांचा आदमास ३.१४१५९पेक्षा कमी येईल याबाबत मी एका पैशाविरुद्ध १०० रुपये पैज लावेन, आणि समसमान प्रमाणात "इन्स्क्राइब" आणि "सर्कम्स्क्राईब" प्रयोग केल्यास त्यांचा आदमास ३.१४१६पेक्षा अधिक येईल ही तितकीच मोठी पैज लावतो. जर बरेच इन्स्क्राइब प्रयोग केले आणि थोडे सर्कमस्क्राईब प्रयोग केले, तर कदाचित प्रमाद कमी करता येईल, पण किती प्रमाणात इन्स्क्राईब आणि किती प्रमाणात सर्कमस्क्राईब प्रयोग करायचे ते कसे ठरवणार? कारण हे "आयडियल" गुणोत्तर फूटपट्टीच्या किमान लांबीवर अवलंबून आहे. (फूटपट्टीची लांबी = समभुज आकृतीच्या भुजाची लांबी.)
वरील "पैजा" या खेळकर आहेत, हे सांगावे नलगे. अर्थात तिसर्‍या दशांकापर्यंतसाठी पैज गंभीरपणे घेतल्यास हरकत नाही. त्यांची भेट झाल्यावर त्यांच्याकडून एक रुपया मी घेईन, घाई नाही. (हो, हो. पैज हरल्यास एक रुपया देईनसुद्धा.)
माझे प्रयोग
कोणीच आपली मोजमापं मांडली नाहीत म्हणून लोकांना रस नाही असं मी गृहित धरलं होतं. त्यामुळे धागा मागे पडू दिला. असो, मी दोन पद्धतींनी पाय मोजला.
आमच्या कॅंपसमध्ये अगदी अचूक मोठं अर्धवर्तुळ आहे. त्याच्या परिघाला लागणारी पावलं मोजली. ३९ पावलं लागली. व्यास मोजला तो २५ पावलं आला. म्हणजे पायची किंमत ७८/२५ = ३.१२ इतकी आली.
घरातली एक साधारण फुटभर व्यासाची प्लेट घेतली. ती चाकासारखी तीन आवर्तनं चालवली. पहिल्यापासून शेवटपर्यंतचं अंतर त्या प्लेटनेच मोजलं. ९ + साधारण २/५ आलं. यापेक्षा अधिक अचूकतेने मोजण्याचा मी प्रयत्न केला नाही. तेव्हा पाय = ९.४/३ = ३.१३३३.
आत्तापर्यंत तीन मोजमापं झालेली आहेत. ती पाहून अचंबित व्हायला होतं. ३.१३, ३.१२, ३,१३३३३ - सरासरी येते ३.१२८. म्हणजे अर्धा टक्क्याच्या आत उत्तर मिळालं. अगदी फार कष्ट न करता सामान्य माणसाला अर्ध्या तासाच्या आत हे उत्तर मिळतं.
यात एक गोष्ट लक्षात घ्यायला हवी की मोजमाप करण्याच्या पद्धती अगदी ढोबळ होत्या. पावलं मोजणं हे तसं अगदी अचूक नाही. कारण प्रत्येक वेळा पाऊल टाकतो तेव्हा ते तितक्याच अंतरावर पडेल असं नाही. त्याऐवजी त्या वर्तुळावर चालताना पावलांत अंतर न ठेवता तळपायांच्या लांबीत मोजलं असतं तर अचूकपणा अजून वाढेल याची खात्री आहे. प्लेटचे तीनच फेरे घेण्याऐवजी दहा किंवा वीस फेरे घेतले असते तर उत्तर निश्चितच जास्त अचूक आलं असतं.
सांगायचा मुद्दा असा की पाय ३.१४१ ते ३.१४२ च्या मध्ये आहे हे प्रयोगाने ठरवणं वाटतं तितकं कठीण नाही. त्यासाठी तीन घिसाडघाईने केलेल्या प्रयोगांऐवजी सुमारे हजार अचूक (प्रत्येकी अर्धा तास खर्च होईल इतके) प्रयोग करण्याची गरज आहे. (तीन प्रयोगांऐवजी हजार प्रयोग केले तर येणारी त्रुटी सुमारे पंधरा ते वीस पटींनी कमी होईल). त्याच्या पुढच्या दशमस्थानांसाठी खूपच जास्त कष्ट करावे लागतील असं म्हणायला हरकत नाही.
अजूनही तुम्ही आपापली मोजमापं करून डकवा ही विनंती.
हजार प्रयोगांत मुळीच नाही होणार. गंभीर पैज.
सांगायचा मुद्दा असा की पाय ३.१४१ ते ३.१४२ च्या मध्ये आहे हे प्रयोगाने ठरवणं वाटतं तितकं कठीण नाही. त्यासाठी तीन घिसाडघाईने केलेल्या प्रयोगांऐवजी सुमारे हजार अचूक (प्रत्येकी अर्धा तास खर्च होईल इतके) प्रयोग करण्याची गरज आहे.
असहमत. माझे वरील विश्लेषण तुम्हाला पटलेले नाही, पण मी त्याच्यापाशी दृढ आहे.
तुम्ही वरील तीन दिलेले प्रयोग इतक्या घट्ट (आणि खर्‍या किमतीच्या बाहेरच्या) क्षेत्रात आहेत की मी गंभिरपणे पैज वाढवायला तयार आहे. तुम्ही दिलेल्या तीन मोजमापांचे "स्टँडर्ड एरर" ०.००४ इतके आहे, त्यामुळे ९५% कॉन्फिडन्स इन्टर्व्हल* ३.११९९ ते ३.१३५६ इतकी आहे. म्हणजे तीन प्रयोगांतच अतिशय घट्ट ९५% विश्वस्त क्षेत्र*, आणि त्या क्षेत्रात ३.१४१५९ नाही. अशा प्रकारच्या प्रयोगांनी "पाय"ची किंमत खर्‍या किमतीपेक्षा कमी (आणि अगदी दृढविश्वासाने कमी) दिसेल याबद्दलचे माझे विश्लेषण माझ्या दृष्टीने जवळजवळ सिद्ध होऊ लागले आहे. (वरील तिन्ही प्रयोग "इन्स्क्राइब" पद्धतिचे आहेत, हे सांगणे नलगे.)
१००० अर्ध्या तासाचे प्रयोग = ५०० तास. यू.एस केंद्रीय किमान वेतनदराने पैसे दिले तर $३६२५.०० ("किमान वेतनदर" का घेतला? कारण प्रयोग साधेसुधे हवेत. प्रेसिशन मशीन-टूलने कातरलेले वर्तुळ आणि इलेक्ट्रॉन मायक्रोस्कोपने मोजमाप, असले प्रकार अपेक्षित नाहीत.)
इतके पैसे मी पैजेत लावण्यास तयार आहे. (अर्थात माझे वरचे विश्लेषण पटलेल्या कोणी या पैजेतील थोडा भार उचलला, तर आनंदच आहे.) हजार प्रयोगांची नोंद नीट केली पाहिजे, जमल्यास काही प्रातिनिधिक प्रयोगांची चित्रफीत बनवली, तर मजा येईल, वगैरे.
जर हजार प्रयोगांत "पाय"च्या अंदाजाचे ९५% कॉन्फिडन्स क्षेत्र* ३.१४११ आणि ३.१४२१च्या पूर्णपणे आत असले, तर ही पैज मी हरलो, असे कबूल करेन. अर्थातच प्रयोग करणार्‍या व्यक्तीला, किंवा संघाच्या प्रतिनिधीला पैजेची रक्कम सुपूर्त करेन.
इतपत पैज मी जिंकलो, तर मला कोणी काहीही पैसे देण्याची गरज नाही. पाचशे तासांचा त्यांचा खर्च हा मोठाच आहे.
जर कोणाला माझी उलटपैज उचलायची असेल तर जरूर उचलावी : जर "इन्स्क्राईब" प्रकारचे हजार प्रयोग केले, तर "पाय"च्या अंदाजाचे ९५% कॉन्फिडन्स क्षेत्र* पूर्णपणे ३.१४१५९पेक्षा कमी असेल. (हे तर तीन प्रयोगांतही सिद्ध होत आलेले आहे!) जर "सर्कमस्क्राईब" प्रकारचे हजार प्रयोग केले, तर पाय"च्या अंदाजाचे ९५% कॉन्फिडन्स क्षेत्र* पूर्णपणे ३.१४१५९पेक्षा अधिक असेल. (परंतु "सर्कमस्क्राईब" प्रयोग करणे जरा कठिण आहे, हे वर सांगितलेच आहे.)
- - -
*९५% कॉन्फिडन्स क्षेत्र : (सरासरी - १.९८*स्टँडर्ड एरर) ते (सरासरी + १.९८*स्टँडर्ड एरर) हे क्षेत्र
वरील तिन्ही प्रयोग
वरील तिन्ही प्रयोग "इन्स्क्राइब" पद्धतिचे आहेत, हे सांगणे नलगे.
यातला एक प्रयोग - प्लेटने मोजण्याचा - हा इन्स्क्राइब पद्धतीचा नाही. वर्तुळावर चालणं इन्स्क्राइब पद्धतीचं आहे हे मान्य आहे. म्हणूनच दोन पावलांत अंतर न ठेवता तळव्याच्या लांबीने मोजलं तर इन्स्क्राइबचे तोटे जातील आणि अचूकताही वाढेल असं म्हटलं आहे.
तीन वेगवेगळ्या पद्धतींनी, दोन वेगळ्या लोकांनी केलेली मोजमापं खऱ्या किमतीपेक्षा कमी यदृच्छेनेही येऊ शकतात. तसंच वापरलेली लीस्ट काउंट देखील खूप मोठी होती. इथे शंभर वेगवेगळ्या लोकांनी अजून लहान लीस्टकाउंट वापरून प्रयोग केले तर अधिकाधिक चांगलं उत्तर येईल. एकमेकांच्या एरर्स कॅन्सल होतील.
हजार प्रयोगांत "पाय"च्या अंदाजाचे ९५% कॉन्फिडन्स क्षेत्र* ३.१४११ आणि ३.१४२१च्या पूर्णपणे आत
हा दावा नव्हता. सरासरी ३.१४१ आणि ३.१४२ च्या दरम्यान असेल अशी खात्री व्यक्त केली होती. यासाठी पैजेच्या टर्म्स काय असाव्यात?
प्रयोग कितपत भद्दे आहेत? त्यावर पैज
प्रयोग जर खूप भद्दे असतील तर मी एका रुपयाविरुद्ध दहा रुपये देण्यास तयार आहे. (सरासरी ३.१४१ आणि ३.१४२ च्या दरम्यान असेल तर दहा रुपये देईन, नसल्यास १ रुपया घेईन). "भद्दा" म्हणजे फक्त सहा-सहा इंच मोजू शकणार्‍या पट्टीने १२ इंची ताटलीचा परिघ मोजला तर.
अर्थात विचारले, म्हणून गमतीने-गंभीरपणे ऑड्स दिले. पण हे ऑड्स मूळ लेखापेक्षा अवांतर आहेत : जर कॉन्फिडन्स ३.१४१ आणि ३.१४२ च्या दरम्यान नसेल तर तिसरा दशांक शोधण्याबाबत तुम्ही दावा करणारच नाही, अशी खात्री आहे. (कारण "कॉन्फिडन्स क्षेत्र त्याच्या बाहेर आहे = तिसरा दशांक वेगळा काही असेल याबाबत पुरेशी शंका मान्य करणे). त्यामुळे भद्दा बिगर-कॉन्फिडन्सचा प्रयोग केला, तर "प्राचीनांना हे इतके सोपे का सापडले नाही?" या प्रश्नाशी संबंध येणारच नाही. कारण प्राचीनांच्या २२/७ पेक्षा आपला आकडा चांगला आहे, हे आपण तरी कसे म्हणू शकू?
प्रयोग काळजीपूर्वक केलेले असतील (म्हणजे १-फूट व्यासाच्या ताटलीचा परिघ पातळ-मजबूत घरगुती स्टील तारेने मोजला, आणि १ मिमि इतपत मोजू शकणार्‍या स्केलपट्टीवर धाग्याची लांबी मोजली... इतपत काळजीपूर्वक.) तर $१००० देईन. जास्त पैसे का लावतो आहे? कारण प्रयोग जितके सूक्ष्म होतील तितका सिस्टिमॅटिक बायस घट्ट होत जाईल अशी मला खात्री आहे. आणि अशा प्रकारे "पाय"चा सरासरी अंदाज ३.१४१पेक्षा कमी असा रुतून बसू लागेल.
मात्र प्रयोग काय करणार आहे, त्याबाबत आधी माहिती पाहिजे. म्हणजे ९० इन्स्क्राईब प्रयोग आणि १० सर्कम्स्क्राईब प्रयोग करणार काय? हे गुणोत्तर कसे ठरवले? वगैरे. (हे गुणोत्तर ऑप्टिमल ठरवण्यासाठी परिघ:मोजपट्टीचे-किमान-अंतर हा रेशियो आणि "पाय"च्या खर्‍या किमतीचे पूर्वज्ञान लागते. आणि "पाय"ची किंमतच प्रयोगात शोधायची असेल, तर "पाय"च्या किमतीचे पूर्वज्ञान वर्ज्य आहे. आणि जर ते पूर्वज्ञान मिळवण्याकरिता आर्किमिडीसच्याता गणिताने २२३/७१पाय२२/७ हे ठरवणार असाल, तर प्रयोगाचा आटापिटा व्यर्थ होतो. कारण प्रयोगातून सरासरी आदमास या क्षेत्राच्या बाहेर आला, तरी आपण गणितच प्रमाण मानणार आहोत, प्रयोग नव्हे.)
घरगुती ताटल्यांच्या कडांना वापरामुळे सूक्ष्म पोचे पडतात. त्या पोच्यांची लांबी मोजत ताटली घरंगळेल. मात्र ताटलीच्या व्यासाने लांबी मोजताना पोच्याच्या टोकावरती ताटली पलटेल. त्यामुळे ताटलीने "पाय"चा अंदाज "इन्स्क्राईब"पद्धतीच्या जवळ जातो. "सर्कम्स्क्राईब" पद्धतीचे घरगुती प्रयोग बनवणे मला तरी जरासे कठिण वाटते.
तीन वेगवेगळ्या पद्धतींनी, दोन वेगळ्या लोकांनी केलेली मोजमापं खऱ्या किमतीपेक्षा कमी यदृच्छेनेही येऊ शकतात.
:-) या यदृच्छेचे प्रमाण किती असावे, ते गणित करणे तर तुम्हाला ठाऊकच आहे. (मी वर केलेले गणित मान्य नाही काय?)
वरच्या प्रयोगांत तुम्ही ऋषिकेशनी केलेले विणण्याचे प्रयोग धरलेले नाहीत (पाय ~=३ आणि पाय ~=३.५). त्यामुळे तुम्ही थोडेफार सूक्ष्म प्रयोगच समाविष्ट करणार आहात, असे मी गृहीत धरले. प्रयोग सूक्ष्म तितकेच धरले, तर यदृच्छेने घट्ट क्षेत्र येणे कमी संभवनीय होते.
हम्म्म... पटलं नाही.
"भद्दा" म्हणजे फक्त सहा-सहा इंच मोजू शकणार्‍या पट्टीने १२ इंची ताटलीचा परिघ मोजला तर.
काय भाऊ, हे फारच भद्दं झालं. प्राचीन पद्धतीने बारा इंची ताटलीचे एक शतांश मोजणं अगदी सहज शक्य आहे. तेसुद्धा रेषा आखलेली पट्टी न वापरता. (तशी पट्टी का वापरू नये हेही कळत नाही, पण असो.) आता समजा ताटली एक वेळा फिरवली आणि ताटलीच्या व्यासानेच लांबी मोजली तर सुमारे ०.१४ व्यास इतकं अंतर शिल्लक राहील. हे अंतर किती आहे याचा अंदाज घेण्यासाठी तेवढ्या आकाराचा दोरीचा तुकडा करायचा आणि ताटलीवरच तो किती वेळा मावतो हे तपासायचं. साधारण सहापेक्षा जास्त, जवळपास सात असं उत्तर देता येतं. त्यामुळे अंदाजे १/६.८ असं उत्तर यायला काहीच हरकत नाही. सोपं करण्यासाठी आपण एक दशांश इंच अचूकपणे अंतर मोजता येतं असं गृहित धरू.
जर कॉन्फिडन्स ३.१४१ आणि ३.१४२ च्या दरम्यान नसेल तर तिसरा दशांक शोधण्याबाबत तुम्ही दावा करणारच नाही, अशी खात्री आहे.
हे बरोबर नाही. इथे कॉन्फिडन्स हा शब्द एका पद्धतीला लागू पडतो. एका विशिष्ट पद्धतीत असलेल्या सिस्टिमॅटिक एररमुळे अगदी घट्ट डिस्ट्रिब्यूशन असलेली रिडिंग येतील, पण ती 'खऱ्या' सेंटरपासून थोडी लांब असतील. दुसऱ्या पद्धतीतल्या सिस्टिमॅटिक एररमुळे देखील तसंच घट्ट डिस्ट्रिब्यूशन येईल, पण त्याचं केंद्र बरंच लांब असू शकेल. अशा अनेक पद्धतींची अनेक डिस्ट्रिब्यूशन्स मिळाली की त्यांची सरासरी ही खूपच खात्रीलायक असू शकते. उदाहरण द्यायचं तर समजा आपण १० फूट ८ इंच लांबी मोजण्याचा प्रयत्न करत आहोत. आपल्याकडे एक पट्टी आहे ती फक्त सहा इंचाच्या युनिटमध्ये मोजते. तीन इंचाखाली जे असेल ते शून्य, तीनपेक्षा अधिक म्हणजे सहा इंच. तशीच दुसरी बारा इंचाची पट्टी आहे. त्यातही सहापेक्षा खाली असेल ते शून्य, आणि सहापेक्षा जास्त असेल त्याला बारा इंच म्हणते. आता सहा इंचाच्या पट्टीने अंतर मोजलं तर दरवेळी अचूकपणे १० फूट ६ इंच इतकं येईल. बारा इंचाच्या पट्टीने मोजलं तर दर वेळी अचूकपणे ११ फूट येईल. या दोनची सरासरी १० फूट ९ इंच - हे दोन्ही पट्ट्यांच्या लीस्ट काउंटपेक्षा खूपच अधिक अचूक उत्तर आहे. बहुतांश लांबींसाठी या दोन पट्ट्या वापरून येणारं उत्तर कुठच्याही एका पट्टीपेक्षा अधिक भरवशाचं ठरेल हे सिद्ध करता येतं. याचं दोन्ही डिस्ट्रिब्यूशन्सचं स्टॅंडर्ड डीव्हिएशन सुमारे चार इंच येतं. तरीही उत्तर मात्र जवळपास नेहमीच सुमारे दोन इंच अचूक येतं. तर या उत्तराचा कॉन्फिडन्स तुम्ही कसा मोजणार?
जितक्या वेगवेगळ्या पट्ट्या (पद्धती) वापरू तितकी सिस्टिमॅटिक एरर कमी होईल. कारण आपण वेगवेगळ्या सिस्टिम्स वापरू. मग इंटरसिस्टिम एरर्स या व्यापक प्रयोगासाठी रॅंडम एरर ठरतात.
"प्राचीनांना हे इतके सोपे का सापडले नाही?"
प्राचीनांना पाय माहीत नव्हता, किंवा काढता येणं सोपं असूनही त्यांनी चुकीचा काढला वगैरे म्हणायचं नाही. उलट प्राचीनांमधल्या जाणकारांना इंजिनिअर, वैज्ञानिक, तंत्रज्ञ, भूमितीज्ञ यांना तो अचूक माहिती असणं सहज शक्य आहे असं म्हणायचं आहे.
इथे लिहिलेलं आहे की अनेक लोकांना पिरॅमिड देवांनी किंवा ऍस्ट्रोनॉट्सनी बांधले अशी खात्री वाटते कारण खुफुच्या पिरॅमिडच्या पायाची रुंदी आणि उंची यांचं गुणोत्तर (सुमारे) पाय/२ इतकं आहे. मोजमापं केल्यावर हे गुणोत्तर ३.१३९९७ इतकं येतं. हे खूप अचूक वाटत असेल, पण एकंदरीत पिरॅमिडचा पाया दोन फुटांनी कमी पडतो. पण 'त्या काळात पाय इतका अचूक माहीत असणं आणि त्याप्रमाणे रचना करता येणं म्हणजे अतिमानवी कार्य असलं पाहिजे' अशा विधानावर लोकांचा विश्वास बसताना दिसतो.
अपरिमेय
भद्दा" म्हणजे फक्त सहा-सहा इंच मोजू शकणार्‍या पट्टीने १२ इंची ताटलीचा परिघ मोजला तर.
प्राचीन पद्धतीने बारा इंची ताटलीचे एक शतांश मोजणं अगदी सहज शक्य आहे.
भद्देपणाचा मुद्दा "प्राचीन"बाबत नाही. अर्थातच प्राचीनांना यापेक्षा सूक्ष्म प्रयोग करता येत होते. भद्दे मोजमाप केले तर सिस्टिमॅटिक बायसच्या बाहेर मोजमाप येऊ शकेल. अशा परिस्थितीत चुकून माकून ३.१४१-३.१४२ या दरम्यान तुमचे माप येऊ शकेल, असे मला वाटते. म्हणून फक्त रुपयाविरुद्ध दहा रुपये पैज लावली.
तुम्ही खरेच शतांश मोजणार असाल, तर मी १ रुपयाविरुद्ध ५० रुपये पैज लावतो की चुकून-माकूनही हजार अंदाजांची सरासरी ३.१४१-३.१४२ या दरम्यान येणार नाही. जितके सूक्ष्म मोजमाप कराल, तितका प्रमाद ३.१४१-३.१४२ या क्षेत्राबाहेर स्थिर होईल. त्याहूनही सूक्ष्म प्रयोग केला तर ३.१४१-३.१४२च्या दरम्यान येणार नाही, याकरिता $१०००ची पैज लावली आहे. प्राचीनांचा इतपत सूक्ष्म प्रयोग करता येत होते, म्हणून त्यांना चुकूनही "पाय" ३.१४१-३.१४२च्या दरम्यान सापडणार नव्हता. आणि बहुधा सापडलाही नाही. माझे $१००० लबाडीने मिळवण्याकरिता तुम्ही सूक्ष्म प्रयोगांऐवजी भद्दा प्रयोग करू नये, म्हणून भद्द्या प्रयोगासाठी वेगळी माझ्यासाठी कमी जाचक पैज सांगितली होती.
(ज्या प्रयोगाने स्टॅटिस्टिकल कन्व्हर्जन्सने "पाय"ची अन्बायस्ड किंमत मिळू शकते, तो प्रयोग आहे समांतर रेषांच्या प्रतलावर सुई किंवा छोटी काडी यदृच्छया टाकणे. बुफॉन्स नीडल. परंतु या प्रयोगाची कोटी-कोटी आवर्तने करावी लागतात, म्हणून तो व्यवहार्य नाही.)
आपल्याकडे एक पट्टी आहे ती फक्त सहा इंचाच्या युनिटमध्ये मोजते. तीन इंचाखाली जे असेल ते शून्य, तीनपेक्षा अधिक म्हणजे सहा इंच.
(खालील पांढर्‍या शाईमधला मजकूरही बघावा.)
पैकी एकच पट्टी वापरली, तर ट्रन्केशन-टु-नॅचरल-नंबर प्रकार आहे. याकरिता कॉन्फिडन्सही ट्रंकेशन करूनच ठरवतात. +/-"लीस्ट काउंट" या दरम्यानच "सर्वात घट्ट" कॉन्फिडन्स असतो. यापेक्षा अधिक कॉन्फिडन्स मोजमापात शक्यच नाही. परंतु मला वाटले, की तुम्ही बरेच वेगवेगळे प्रयोग करणार आहात. (म्हणजे एखाद्या व्यासाच्या वर्तुळाला तुमचा राउंड-ऑफ एरर अधिक म्हणून मोजेल, तर वेगळ्या कुठल्या व्यासाच्या वर्तुळाला राउंड-ऑफ एरर कमी म्हणून मोजेल. आणि यातून सरासरी सुधारेल. त्रिज्येच्याच व्यासाची पट्टी घेऊन "पाय"~=३ हा अंदाज प्रसिद्धच आहे. वर्तुळ तेच घेतले, आणि पट्टी तीच घेतली, तर इन्स्रिप्शनने "पाय" प्रत्येक वेळी ३ येईल आणि सर्कम्स्क्रिप्शनने प्रत्येक वेळी ३.५.) ट्रन्केशनला लागू असलेले कॉन्फिडन्सचे नियम येथे मनात कशाला आले? तुमच्या प्रयोगात ट्रंकेशन एरर सिस्टिमॅटिक आहे, असे माझ्या स्टॅन्डर्ड एरर गणितात मी गृहीत धरायला हवा होता काय? पण तुम्ही ताटली, तुमचे कदम आणि माझे कदम, अशा तीन वेगवेगळ्या पट्ट्या आणि तीन वेगवेगळी वर्तुळे घेतली होती. मग ट्रंकेशन एरर सिस्टिमॅटिक असे गृहीतक मानणे मला का सुचावे? आता तुमचे जोडे आणि माझे जोडे तंतोतंत एक असतील, पण वर्तुळे तर वेगवेगळी आहेत?
तुमच्या दोन पट्ट्यांच्या विचारप्रयोगात ट्रंकेशन एरर सिमेट्रिक आहे म्हणून खपले. सिमेट्रिक नसला, तर
"वेगवेगळ्या पट्ट्या वापरूया" वगैरे वाक्य तुम्ही पुढे दिलेलेच आहे. ते तर मी गृहीतकच मानले होते. मग तर हा ट्रंकेशन एररचा मुद्दा चर्चेत येऊच नये.
कारण आपण वेगवेगळ्या सिस्टिम्स वापरू. मग इंटरसिस्टिम एरर्स या व्यापक प्रयोगासाठी रॅंडम एरर ठरतात.
??? ट्रंकेशन एरर मधून येणारा सिस्टिमॅटिक एरर आणि इन्स्क्राइब्ड पॉलिगॉनमधून येणारा सिस्टिमॅटिक एरर दोन्ही रँडम एरर बनतात??? वेगवेगळ्या वर्तुळांत आणि पट्ट्यांत ट्रंकेशन एरर हा कधी अधिक माप देतो, तर कधी कमी माप देतो. "पाय" अपरिमेय असल्यामुळे हे गणिताने सिद्धही करता येईल. इतकेच काय कमी माप देण्याची शक्यता जितकी, अधिक माप देण्याची शक्यता तितकीच, हे पट्टीपेक्षा खूप मोठ्या वर्तुळांबाबत सिद्ध करता येईल. पण गणिताने सिद्ध न-करतासुद्धा आपल्यापैकी कित्येकांना हे अनुभवातून कळेल. म्हणजे ट्रन्केशन एररबाबत "रँडम" आणि "सिमेट्रिकल" ही गृहीतके मजबूत आहेत. इन्स्क्राइब पॉलिगॉन मात्र नेहमीच कमी माप देईल. सर्कमस्क्राईब पॉलिगॉन नेहमीच अधिक माप देईल. कुठल्याही दिलेल्या पट्टीने सर्कमस्क्राईब पॉलिगॉनचा अधिकाकडे प्रमाद हा इन्स्क्राईब पॉलिगॉनच्या कमीकडेच्या प्रमादापेक्षा अधिक असेल. (ट्रंकेशन एरर मध्ये सिमेट्री आहे, पोलिगोनल अप्रॉक्सिमेशनमध्ये सिमेट्री नाही.) ही भूमिती कुठल्याही वर्तुळाला आणि कुठल्याही मोजपट्टीला सिद्ध आहे. वर्तुळे आणि मोजपट्ट्या बदलल्या तर भूमितीची सिद्धता तशीच राहील, आणि एरर रँडम होणार नाही. आणि सिमेट्रिकल होणार नाही.
हे गुणोत्तर ३.१३९९७ इतकं येतं. हे खूप अचूक वाटत असेल, पण एकंदरीत पिरॅमिडचा पाया दोन फुटांनी कमी पडतो.
फारच अचूक आहे मुळी. (पण दिलेल्या दुव्यावर दिसते, की ही "पिरॅमिडियट लोकांची सुरस कथा असू शकेल. इतकेच काय, माझे मत आहे, की वाळवंटातल्या वादळांनी अणकुचिदार रेतीच्या कणांनी पिरॅमिडे इतकी झिजतात, की हे असले प्रकार मोजून काही अर्थ नाही.) पण त्याच दुव्यावर लेखक पुढे म्हणतो :
Calculate pi=C/2r. You will probably get 3 or 4 digits of accuracy. If you are really good at that sort of thing, you may be able to get 5 digits. That's pretty good. That's better than Archimedes' estimate.
करून दाखवा, म्हणावे, त्या लेखकाला. (लेखक प्रामाणिक आहे. "तुम्हाला करता येईल" म्हणताना "स्वतः केले आहे" असे ध्वनितसुद्धा करत नाही. हे चांगले.)
प्रत्येक अणू-अणूचे अंतर मोजले आणि वर्तुळ त्या मर्यादेपर्यंत निर्दोष असले, तर "पाय"ची किंमत ७-८ दशांकापर्यंत मिळू शकेल. (पण मोजमाप करताना क्वांटम मेकॅनिक्स आडवे येईल.) आणि हा लेखक म्हणतो की सरावाने घरगुती उपायांनी ५ दशांक मिळू शकतील! करून दाखवा! घरगुती उपायांनी, किंवा अगदी प्रयोगशाळेतल्या उपायांनी ५ दशांकांपर्यंत खात्रीलायक "पाय" मोजला, तर एखाद्या अव्वल विज्ञान-नियतकालिकात निबंध प्रसिद्ध करता येईल असे मला वाटते.
- - -
(आता सहा इंचाच्या पट्टीने अंतर मोजलं तर दरवेळी अचूकपणे १० फूट ६ इंच इतकं येईल. बारा इंचाच्या पट्टीने मोजलं तर दर वेळी अचूकपणे ११ फूट येईल. या दोनची सरासरी १० फूट ९ इंच - हे दोन्ही पट्ट्यांच्या लीस्ट काउंटपेक्षा खूपच अधिक अचूक उत्तर आहे. बहुतांश लांबींसाठी या दोन पट्ट्या वापरून येणारं उत्तर कुठच्याही एका पट्टीपेक्षा अधिक भरवशाचं ठरेल हे सिद्ध करता येतं. याचं दोन्ही डिस्ट्रिब्यूशन्सचं स्टॅंडर्ड डीव्हिएशन सुमारे चार इंच येतं.
शुअरली यू आर जोकिंग मिस्टर घासकडवी. सरासरीचे कॉन्फिडन्स इन्टर्व्हल ठरवण्याकरिता स्टँडर्ड एरर वापरतात, स्टँडर्ड डीव्हिएशन नव्हे. येथे स्टँडर्ड डीव्हिएशन=४ अशी दोन डिस्ट्रिब्यूशने आहेत तरी कुठली? कुठलीही एकच पट्टी वापरली तर स्टँडर्ड डीव्हिएशन ० येते. ट्रंकेशनमुळे ० म्हणजे ०-६ असे काहीही. दोन्ही पट्ट्या समप्रमाणात वापरल्या तर स्टँडर्ड डीव्हिएशन ३-४ असे येणारे एकच डिस्ट्रिब्यूशन मिळेल. आणि जितक्या वेळा मोजमाप कराल त्या मानाने स्टँडर्ड एरर कमी-कमी होत जाईल, आणि १०'९" बाबत कॉन्फिडन्स वाढत जाईल. (कॉन्फिडन्स क्षेत्र घट्ट होत जाईल.) पण ट्रंकेशन एरर सिमेट्रिक आहे, म्हणून ठीक. ट्रंकेशन एरर असमतोल असला, तर सरासरीबाबत कॉन्फिडन्स फसतो. १०'७" लांबीची वस्तू याच दोन फूटपट्ट्यांनी पुन्हापुन्हा मोजली तर सरासरी ही छोट्या पट्टीमधून मिळणार्‍या उत्तरापेक्षा अधिक प्रामादिक असेल. अंदाजाकरिता सरासरी वापरण्यापूर्वी सिमेट्रीचे गृहीतक तपासणे नेहमीच आवश्यक असते. एरर सिमेट्रिकल असेल, तरच तुम्ही म्हणता ती भरवशाबाबतची सिद्धता करता येते.)
कुठचंही आधुनिक तंत्रज्ञान
कुठचंही आधुनिक तंत्रज्ञान वापरायचं नाही. अडीच हजार वर्षांपूर्वी जी उपकरणं वापरता आली असती तीच वापरायची.
गुर्जी, परत माझी तीच शंका. तुम्ही वर हा नियम दिला आहे. आणि तुम्ही केलेल्या प्रयोगात "कॅंपसमधील अगदी अचूक मोठं अर्धवर्तुळ", "आधुनिक तंत्रज्ञानाने बनवलेली थाळी" अशी साधने वापरलीत की. ही चीटिंग आहे..... निषेध !!! :-)
मुळात तत्कालीन तंत्रज्ञान आणि ज्ञान वापरून जास्तीत जास्त अचूक वर्तुळ कसे काढायचे हे कुणी सांगू शकाल का ??
असो, बाकीच्यांनी काय केले ते वाचून बघतो.
वर्तुळ
अचुकेतनं वर्तुळ काढणं फार अवघड नाही. एक दोरी घेऊन तिचं एक टोकं एका ठिकाणी फिक्स करून दुसर्‍या टोकाने अचुक वर्तुळ काढता येईल
पुर्वी यज्ञ करण्याची कुंडं वेगवेगळ्या आकाराची असत. त्याच वेळी एकाच क्षेत्रफळाचं चौरसाकृती जर वर्तुळात बदलायचं असेल तर त्रिज्या काय असेल असा प्रश्न लोकांना पुर्वी पडला होता. ही सगळी मोजमापं पुर्वी दोरीच्या सहाय्यानं करत. याला शुल्बसुत्रे असे नाव आहे. त्याच वेळी (बहुतेक भास्कराचार्याने) पायची किंमत ५ दशांशापर्यंत बरोबर काढलेली आढळते. अर्थात तेव्हा ह्या स्थिरांकाला "पाय" हे नाव नव्हतं.
याच प्रमाणे वर्गूमळात दोनची किंमतही तेव्हा काढली होती असे आठवते. ही गणितं मी पहिली आहेत आणि तपासलीही आहेत. स्पष्टपणे आता सगळं आठवत नाही.
"कॅंपसमधील अगदी अचूक मोठं
"कॅंपसमधील अगदी अचूक मोठं अर्धवर्तुळ", "आधुनिक तंत्रज्ञानाने बनवलेली थाळी"
अचूक हा शब्द थोडा मिठाच्या कणाबरोबरच घ्यायचा (टेक इट विथ अ ग्रेन ऑफ सॉल्ट). सुमारे चाळीस फूट त्रिज्येचं वर्तुळ, सपाटसर जमिनीवर काढणं अगदी सहज शक्य आहे. मुख्य म्हणजे मी ते आधार म्हणूनच वापरलं. मी जी पावलं टाकली त्यासाठी यापेक्षा कितीतरी कमी अचूक वर्तुळ चाललं असतं.
गोल थाळी बनवणं हे काही कठीण नाही. अगदी रूडिमेंटरी लेथवर एक फूट व्यासाची लाकडी छान चकती करता येईल. अडीच हजार वर्षांपूर्वी लोखंडाची शस्त्रं आणि रथांची चाकं बनवत असत.
मुळात तत्कालीन तंत्रज्ञान आणि ज्ञान वापरून जास्तीत जास्त अचूक वर्तुळ कसे काढायचे हे कुणी सांगू शकाल का ??
दोरा, पेन्सिल आणि टोकेरी काठी याने कंपासप्रमाणे काढा. पेन्सिलच्या ऐवजी लाकडावर धारदार टोकानेही काढता येईल, पण का लाकूड खराब करा? त्यावर त्रिज्येच्या एक चतुर्थांश लांबीचा दोरा वापरून शक्य तितक्या अचूकपणे वाकवून वर्तुळावर ठेवा. किती वेळा ठेवावा लागतो हे मोजा. पंचवीसच्या थोडं कमी जास्त येईल. दोन ते पाच वेळा मोजून बघा.
+१
असेच म्हणतो.
साधारण १००-२०० मीटरपर्यंत बर्‍यापैकी चांगले वर्तुळ जुन्या तंत्रज्ञानाने सहज काढता येईल. मैदानाच्या मध्ये लाकडी खुंटी ठोकून दोरखंडाला खडूचा दगड बांधून, दोन "पुली"चक्रांच्या साह्याने दोरखंडातील ताण समप्रमाण ठेवून काढलेले वर्तुळ बरेच चांगले असेल. आणि रेषेच्या जाडीच्या मानाने त्रिज्या बरीच मोठी असल्यामुळे प्रमादही बराच कमी करता येईल.
लेथवर (किंवा कुंभाराच्या चाकावर) फिरवून बर्‍यापैकी गोल थाळी मिळू शकेल.
गंमत - एक वर्ज्य प्रयोग-चौकट
गंमत म्हणून :
पुढील प्रयोगचौकट वर्ज्य आहे.
साधारण ५-६ सर्कमस्क्राईब पद्धतीचे सूक्ष्म प्रयोग करायचे. "पाय"चा अंदाज थोडा अधिक येईल : ३.१५ वगैरे. आता एक-एक इन्स्क्राईब पद्धतीचा प्रयोग करत जायचे. प्रत्येक प्रयोग केल्यानंतर सरासरी बघायची. प्रत्येक इन्स्क्राईब प्रयोगानंतर सरासरी थोडी-थोडी घटू लागेल. आणि जेव्हा-केव्हा सरासरी ३.१४१ आणि ३.१४२ यांच्या मध्ये येईल (कदाचित ९-१० इन्स्क्राईब प्रयोगांच्या नंतर), तेव्हा "झाले माझे प्रयोग!" म्हणून थांबवायचे.
ही चौकट वर्ज्य असण्याचे कारण असे : प्रयोग कधी थांबवायचे ते कळण्यासाठी "पाय"च्या किमतीचे पूर्वज्ञान वापरावे लागते. पूर्वज्ञान असल्यास प्रयोग का करा?
:-) मॉन्ते कार्लोने होते/होत नाही
मॉन्ते कार्लो पद्धतीने भरपूर ट्रू-रँडम (किंवा जवळजवळ ट्रू अशा स्यूडो रँडम) संख्यांची यादी लागते.
अर्थात ० आणि १ च्या दरम्यान दोन रँडम संख्या घेतल्या (क आणि ख), आणि (क२ + ख२)०.५ > १ हे बघितले, तर "विदिन फ्लोटिंग पॉइंट ट्रंकेशन एरर" इतपतपर्यंत सैद्धांतिक "पाय"मिळू शकतो.
म्हणजे "सिंगल प्रेसिशन फ्लोटिंग पॉइंट" गणितात सात दशांक आकड्यांपर्यंत मिळू शकेल आणि डबल प्रेसिशन मध्ये १६ दशांक आकड्यापर्यंत मिळू शकेल. (याकरिता मॉन्ते कार्लो पेक्षा वेगळी पद्धत वापरली, तर आजकालच्या साध्या डेस्कटॉप संगणकावर ही किंमत थोडक्या वेळात मिळू शकेल.) आणि फ्लोटिंग पॉइंट प्रेसिशनपेक्षा पुढचे दशांक काहीही करून मिळणारच नाहीत.
पुठ्याच्या चौरसावर-गोल-चितारलेल्या निशाणावर खर्‍याखुर्‍या छर्‍र्यांचा वर्षाव करून मात्र "पाय" मिळवणे दुरापरस्त आहे. कारण जवळजवळ रँडम छर्रे मारण्याचे यंत्र बनवणे फारच कठिण आहे.
तितकं कठीण नाही
पुठ्याच्या चौरसावर-गोल-चितारलेल्या निशाणावर खर्‍याखुर्‍या छर्‍र्यांचा वर्षाव करून मात्र "पाय" मिळवणे दुरापरस्त आहे. कारण जवळजवळ रँडम छर्रे मारण्याचे यंत्र बनवणे फारच कठिण आहे.
हे वाटतं तितकं कठीण नाही. एकच वर्तुळ काढलं तर हा प्रश्न तुम्ही म्हणता तसा कठीण आहे खरा. मात्र एका मोठ्या भिंतीवर शेकडो चौरस काढले आणि त्यात प्रत्येकात एक वर्तुळ काढलं तर लांबून डोळे मिटून मारलेला बाण (किंवा फेकलेला करकटक) हा वर्तुळात वा वर्तुळाबाहेर पडण्याची शक्यता ही क्षेत्रफळाशी समानुपाती असेल. चार किंवा पाच डेसिमलपर्यंत उत्तर येण्यासाठी किती बाण मारावे लागतील?
किंवा जमिनीवर सुमारे दहा मीटर व्यासाचे शंभर चौरस व त्यांत वर्तुळं काढून त्यातनं बकऱ्यांचा कळप न्यायचा आणि पावलांच्या खुणा मोजायच्या.
किंवा तीस फूट उंचीवरून दहा वेगवेगळ्या लोकांनी कोळशाची जाडसर भूकटी उधळायची, आणि नंतर कण मोजायचे.
प्रच्छन्न, हा चर्चाप्रस्ताव सुरू झाला तो पाय ही काही जादूई कल्पना नाही, तर ती कोणालाही घरच्याघरी अर्ध्या-पाव टक्क्यापर्यंत सहज मोजता येते हे दाखवून देण्यासाठी. तुम्ही घरच्या घरी साधारण उपकरणांनी प्रयोग केलात तरी ३.१३ ते ३.१५ मध्ये सहज उत्तर मिळू शकेल. करून बघा.
फ्लोटिंग पॉइंट प्रेसिशनपेक्षा कमी प्रेसिशनने मिळेल
वरील प्रतिसादास शुद्धिपत्र :
"पाय"ची किंमत फ्लोटिंग पॉइंट प्रेसिशनपेक्षा कमी नेमकेपणाने मिळेल. ट्रंकेशन एररमुळे काही बिंदू तंतोतंत वर्तुळावर पडतील. (ट्रंकेशन एरर ही वर्तुळ चितारणार्‍या लेखणीची "जाडी" होय.) त्यामुळे फ्लोटिंग पॉइंट प्रेसिशनपेक्षा एक-दोन दशांक कमी इतके प्रेसिशन मिळेल.
वेगळी आहे खरी
कल्पना वेगळी आहे खरी.
पण खर्‍याखुर्‍या मोजमापाकरिता मॉन्ते कार्लोपेक्षा (रँडम सॅम्प्लिंगपेक्षा)रेग्युलर सॅम्प्लिंग बरे. म्हणजे वर मी सांगितल्याप्रमाणे वाटाणे किंवा मोहर्‍या किंवा खसखस (किंवा छर्रे) वापरून.
गोल वस्तूंऐवजी दातकोरण्या टाकण्याचा सल्ला का दिलेला आहे? वर्तुळाच्या आखलेल्या रेषेला दातकोरणी ओलांडली तर काय त्याचा निर्णय करावा लागेल. गोलाकार, आणि एकमेकांवर चढून बसणार नाहीत अशा वस्तू टाकल्या तर हा निर्णय तितक्या प्रमाणात करावा लागणार नाही.
कारण दोन दशांकांपर्यंत खात्रीलायक (८०% स्टॅटिस्टिकल पावर) "पाय" मिळण्याकरिता साधारण २,१२,००० इतके छर्रे/धुळीचे कण वगैरे टाकावे लागतील. इतके छर्रे मोजायचे म्हणजे त्रासच. (कदाचित मोजणार नाहीत, वजन करतील. तरी त्रासच.) २,०२,५०० इतके कण रेग्युलर सँप्लिंगने टाकले, तर "पाय" ची किंमत ३.१४१५३०९ इतकी मिळते. म्हणजे चार दशांकांपर्यंत. अर्थात बारीक लेखणीने तितके रेखीव वर्तुळ काढता आले पाहिजे!!! (पण रेखीव वर्तुळ काढता आले नाही, तर तो तोटा मॉन्ते कार्लोमध्येसुद्धा तितकाच होतो.)
पण केवळ १००*१०० = १०,००० असे रेग्युलर सॅप्लिंग केले, तर पायची किंमत ३.१४२८ इतकी मिळते. दहा हजार कण मोजणे जरा त्रासदायक आहे, पण चार-पाच मित्रमैत्रिणी एकत्र आले, तर मजेमजेत तास-दोन तासात मोजण्याचे हे काम सहज करू शकतील. आणि १००*१०० कण ठीकठाक टाकता येतील आणि वर्तुळावर पडले/ना पडले ते नीट दिसेल इतपत रेखीव वर्तुळ काढणे इतके काही कठिण नाही.
शाळेतल्या जर्नलच्या ग्राफपेपरवर शाळेतल्या कंपासने वर्तुळ काढून हा प्रयोग सुरू केल्याचे मला आठवते. पण मोजणे पूर्ण केल्याचे आठवत नाही. आपली पेन्सिल ग्राफपेपरवरील छोट्या चौकोनांच्या मानाने किती जाड आहे हे लक्षात आले होते! हे मात्र आठवते.
मी माझ्या वरच्या प्रतिसादात
मी माझ्या वरच्या प्रतिसादात हीच पद्धत वापरावी असं म्हटलं होतं. अर्थात त्यांनी वापरलेली इक्विपमेंट बघितली तर त्यांना दरवेळी ०.१% इतकी अचूकता मिळेलच असं सांगता येत नाही. (माझा अंदाज त्रुटी ~ रेषेची जाडी/व्यास) पण पाव टक्क्यात उत्तर सहज मिळावं.
त्यापेक्षा अधिक सोपी पण तितकीच प्रभावी पद्धत खालीलप्रमाणे. एका आकाराची वर्तुळाकार नाणी घेऊन ती ग्लासाभोवती, किंवा गोल झाकणाभोवती व्यवस्थित लावा. परिघाची नाणी आणि व्यासाची नाणी मोजा. (व्यास हा दोन समोरासमोरच्या नाण्यांच्या केंद्रांमध्ये मोजायचा आहे हे लक्षात ठेवा). जितका मोठा गोल वापराल तितकं अधिकाधिक अचूक उत्तर मिळतं. मी हे केलेलं आहे, खाली तीन चित्रं दिलेली आहेत. मी नाण्यांमध्ये किती जागा रिकामी आहे हे अंदाजे मोजलं. अधिक अचूक मोजायचं असेल तर चित्र मोठं करून मोजून पाहा. जर तुम्ही मोजमापं केलीत तर उत्तरं डकवा.
(माझं उत्तर ३.११११ - १४ बाजूंच्या बहुभूजाकृतीची परिमिती/व्यास = ३.११५३. त्रुटी = ०.१३%; पायच्या किमतीमध्ये त्रुटी = १%)
(माझं उत्तर ३.१२८६ - २२ बाजूंच्या बहुभूजाकृतीची परिमिती/व्यास = ३.१३०९. त्रुटी = ०.०७%; पायच्या किमतीत त्रुटी = ०.४%)
(माझं उत्तर ३.१४०८ - ४५ बाजूंच्या बहुभूजाकृतीची परिमिती/व्यास = ३.१३९०, त्रुटी = ०.०६%; पायच्या किमतीत त्रुटी ~०.१%)
वरचा प्रयोग आणि गणितं करण्यासाठी मला फारतर अर्धा तास लागला.
एकंदरीत या पद्धतीची अचूकता नाण्यांच्या संख्येबरोबर काही प्रमाणात वाढते असं दिसतं आहे. तेव्हा २०० नाण्यांचं वर्तुळ केलं तर पायची किंमत साधारण ०.०३% पेक्षा अधिक अचूक मिळू शकेल असं वाटतं. म्हणजे हे मोजमाप आर्किमिडीजच्या उत्तराप्रमाणे असेल.
चित्रफितीत लक्षात घेण्यासारखी गोष्ट
चित्रफितीत लक्षात घेण्यासारखी गोष्ट ही, की फेकलेले डार्ट यादृच्छिक असावेत, याबाबत पूर्वयोजना करावी लागते.
"यादृच्छिक" म्हणजे कागदाच्या चौकोनाच्या क्षेत्रात यादृच्छिक हवीत. पूर्ण जगाच्या दृष्टीने यादृच्छिक असली, तर उपलब्ध वेळात कागदावर फारसे बाण पोचणारच नाहीत. म्हणून बाण साधारण कागदाच्या दिशेने टाकायचे ठरवावे लागते. पण असे काहीही ठरवले, तर कागदाच्या पूर्ण क्षेत्रात बाण यादृच्छिक होत नाहीत.
तरी त्यांनी छान युक्ती केली, जेणेकरून "कागदाकडे नेम" आणि "यादृच्छिकता" दोन्ही गोष्टी बर्‍या साधल्या गेल्या. ही विशेष गंमत आहे.
आर्किमिडीजच्या गणितासारखा प्रयोग वगैरे मुद्दे ठीकच आहेत. (चित्रे सध्या दिसत नाहीत. दुसर्‍या एका धाग्यात ३_१४अदितीची चित्रे आजच दिसत नव्हती हा ३.१४% योगायोग असावा. परंतु त्या धाग्यावर चित्रे आता दिसू लागली आहेत.)
हल्ली धुळीचे कण किंवा छर्रे
हल्ली धुळीचे कण किंवा छर्रे वगैरे वापरायची काय गरज आहे?
एक्सेल मधे छोटासा कोड लिहीला ( त्याचेच रँडम फंक्शन वापरुन ) की वाट्टेल त्या सँपल साइझ ला पाय ची किंमत काढता येते.
माँटे कार्लो प्रमाणे एक्सेल मधे वेगवेगळ्या सँपल साइझ ला पाय ची ही रेंज मिळाली ( बर्‍याच वेळा रन केल्यावर )
सँपल साइझ कमीत कमी जास्तीत जास्त
१० २ ४
१०० २.९६ ३.४
१००० ३.०६४ ३.२५६
१०००० ३.१०४ ३.१८२
१००००० ( लाख ) ३.१३४६ ३.१५१५२
१०००००० ( दहा लाख ) ३.१३८१७२ ३.१४५१५६
वा. अपेक्षेप्रमाणे सॅंपल साइझ
वा. अपेक्षेप्रमाणे सॅंपल साइझ दहापट केल्यावर रेंज सुमारे वर्गमुळात दहा इतक्या पटीने कमी कमी होत आहे (अगदी अचूकपणे नाही, पण ट्रेंड तोच आहे)
मुळात पायची किंमत नव्याने काढणं हा हेतू नव्हता. 'पूर्वजांकडे आधुनिक साधनं नसतानाही पायची किंमत त्यांना ९९.५ टक्के अचूकपणे माहीत होती' हे अचंब्याने किंवा आश्चर्याने सांगितलं जातं. त्यात मला हे दाखवून द्यायचं होतं की अगदी साध्या, घरगुती मोजमापनाच्या पद्धतींनीही अत्यंत कमी त्रुटी असलेली किंमत मिळू शकते. त्यासाठी आर्किमिडीजने वापरलेलं गणितही करण्याची गरज नसते. मोठ्याशा वर्तुळावर पावलं मोजून, किंवा नाण्यांचं वर्तुळ करून ९९.५ टक्के अचूक उत्तर अर्ध्या तासात मिळू शकतं. मग एखाद्या हुशार इंजिनियरने त्याकाळी पुरेसा मोठा मोजमापाचा प्रयोग केला तर त्याहून अधिक अचूकता सहज मिळू शकेल. हे स्वतःलाच पटवण्यासाठी एखादा साधा प्रयोग प्रत्येकाने करून पाहावा अशी इच्छा होती. दहा वेगवेगळ्या प्रयोगांची सरासरी पायपेक्षा अधिक जवळ आली असती.
स्थापत्यशास्त्रासाठी काहीही
स्थापत्यशास्त्रासाठी काहीही फरक पडला नाही. कारण तिथे सगळ्याच गोष्टी दोन टक्के अंदाजाने करता येतात. म्हणजे गोलाकार भिंत बांधायची तर किती सिमेंट, विटा लागतील याचा अंदाज ०.००१% अचूकपणे करून काही फरक पडत नाही. बनवताना फुकट जाणारं सिमेंट, तुटणाऱ्या विटा यामुळे अर्थातच थोडं जास्त मागवावं लागतं.
फरक पडला तो हायर टेक्नॉलॉजीमध्ये. जिथे अत्यंत अचूक मोजमाप हवी असते तिथे पायची किंमत अचूकपणे माहिती असण्याची गरज पडते. जीपीएस तंत्रज्ञानात प्रकाश दहा वेगवेगळ्या ठिकाणांहून एका ठिकाणी जायला किती वेळ लागतो यांतला फरक मोजणं महत्त्वाचं ठरतं. तिथे सातव्या दशमस्थळाने फरक पडत असावा.
जीपीएस तंत्रज्ञानातही गरज नसावीसे वाटते
जीपीएस तंत्रज्ञानातही सातव्या दशमस्थळाची गरज नसावीसे वाटते.
जीपीएस तंत्रज्ञानाच्या गणितांत सापेक्षतासिद्धांत लागू होऊ लागतो. पृथ्वीसुद्धा शुद्ध त्रिमिती गोळ्यापेक्षा चपटी वगैरे असल्याने फरक पडू लागतो. तेव्हा मोजमापे प्रकाशकिरणांनी व आण्विक घड्याळांनी, वगैरे, केलेलीच बरी. पाय वापरून केलेली गणिते ढोबळमानाने ठीक असतील, तेव्हा फार जास्त दशमस्थळांपर्यंत गणित करायची आवश्यकता नाही.
पण आण्विक घड्याळं कॅलिब्रेट
पण आण्विक घड्याळं कॅलिब्रेट करताना, किंवा निर्माण करताना कुठेतरी पायची किंमत आत्यंतिक अचूकपणे माहीत असणं उपयोगी असावं असा माझा मुद्दा होता. सातव्या दशमस्थळाबद्दल वाद घालता येईल - मी तो अंदाज प्रकाशाचा वेग ३ लाख किलोमीटर आणि सुमारे एक मीटरची जीपीएस अॅक्युरसी यावरून केला होता. त्यामुळे एखाददोन दशमस्थळाबद्दल देवाणघेवाण करायला मी तयार आहे.
नाही - आण्विक घड्याळ
नाही, आण्विक घड्याळ दिवसाच्या कालाशी जुळवताना "पाय" वापरून गणित करावे लागत नाही. ग्रह फिरतात ती वेडीवाकडी लंबवर्तुळे आहेत, त्यामुळे ठीक वर्तुळाकार मानून केलेली गणिते बरीच ढोबळ असतात. त्यापेक्षा, "सूर्यकिरण अमुक बारीक नळीतून पुन्हा सरळ जाईल त्यावेळी ठीक एक वर्ष होते" असे म्हणणे बरे, कॅलिब्रेशनकरिता.
प्रकाशवेग : हा काही का असेना, प्रकाशकिरण नेहमी "सरळ" (=वाकड्या कालावकाशात जमेलसे) जाते, त्यामुळे "पाय" वापरून गणित करायची वेळ येऊ नये.
जुन्याच पद्धती वापरून पाय (
जुन्याच पद्धती वापरून पाय ( वर्तुळाचा परीघ व्यासाच्या किती पट )चं उत्तर काढण्याबद्दल विचार केला.यामध्ये दोन पायय्रा आहेत-
१) परीघ मोजणे
२) व्यास मोजणे
दोघांचा भागाकार करणे.पहिली दोन मोजमापं जेवढी मोठी तेवढं अचूकतेच्या जवळ जाणारं उत्तर मिळेल.एखादा दंडगोल त्यावर खूण करून दहा/शंभरवेळा आवर्तन करत जमिनीवर फिरवल्यास ते जमिनीवरचे अंतर दहा/शंभरवेळा परीघ असेल.परंतू इतक्या पटीचा व्यास काढायचा कसा ते सुचत नाही.इतक्या वेळा दंडगोलाचे ठसे एकालाएक चिकटून उमटवण्यात चूक होऊ शकते.
पुर्वी एखादा कूट प्रश्न ( उदा० कोनाचे तीन भाग करणे) सोडवण्याचा दावा केला जायचा आणि असे बरेच दावे येत म्हणून विचारकर्ते एक मसुदा ( टेम्प्लेट) तयार ठेवत.="***आपला ***अमुक कूट प्रश्न सोडवण्याचा प्रयत्न स्तुत्य आहे परंतू त्यात #,#,# ओळींत चुका आहेत .आभारी @&*" असा मसुदा इथेही लेखक तयार ठेवतीलच.
या पाय वरून सुचलं
ei*π +1 = 0
या समिकरणात
e ,i ,आणि π या तीन विशेष बुचकुळ्यात टाकणाय्रा एककांचा समावेश ओइलरने करून दाखवला.
छान
छान रे राजेशा. गणितविषयक माहिती तशी मराठी संस्थळांवर कमीच मिळते. त्यात गणिताचे व आमचा तसा संबंध पावकी,निमकीनंतर संपला तो संपलाच.
वेळ मिळाला तर प्रयोग नक्की करेन हो.