सेंट पीटर्सबर्ग पॅरॅडॉक्स

एक मोहोर.

एक मोहर

एकही मोहोर देणार नाही.

पण मग झार खेळ खेळून देणार नाही.

दोन मोहरा.

एक मोहोर

एक मोहोर

जास्तीतजास्त किती प्रवेश फी द्यायला तयार व्हाल?

एकापेक्षा अधिक मागितल्या असतील तर, झारने मागितलेल्या संख्येच्या निम्मी संख्या एवढ्या मोहरा द्यायला तयार असेन(अर्थात तेवढी ऐपत आहे वगैरे गृहीतक).

अवांतर - हे जयदीप कोडं टाकून गायब होतात, स्वतःला झार समजतात काय? (हल्केच घ्या वगैरे)

एकही मोहोर अज्याबात देणार नाही.

पाच मोहरा देईन.

एक मोहर
(एक मोहर देण्यात फार नुकसान होईल असं वाटत नाही, सेफ गेम).

मला जितक्या मोहरा मिळतील त्याच्या १०% देईन . चालेल का?

तीन :-)

लगेच प्रतिक्षिप्त प्रतिक्रिया - एक मोहोर
त्यानंतर, पण गणित न करता - दोन मोहरा

ता.क. प्रश्न वाचण्यात चूक झाली, प्रत्येक छापावर आणखी एक मोहोर, असे गैर-समजल्यामुळे वरील प्रतिक्षिप्त उत्तरे दिली. पण वाटले, "पॅरॅडाॅक्स" का म्हटले आहे? प्रत्येक छाप्यावर दुप्पट असे वाचल्यावर समजले. परंतु आता प्रतिक्षिप्त प्रतिक्रिया देता येत नाही :-(

त्या क्षणी माझ्या खिशात किती मोहरा अतिरिक्त (disposable) आहेत त्यावर उत्तर अवलंबून आहे.

(एवढ्या मोहोरा खर्च केल्यावर खाण्यापिण्याची ददात निर्माण होत नाही असं गृहित धरून) चार मोहरा.

एकच मोहोर कबूल करीन. झार नाही म्हणाला तर, माझ्याशी खेळण्यामुळे त्याचा वेळ कसा चांगला जाईल, हे त्याला पटवून देईन.

दोन हे गट फीलींगचं उत्तर. गणित केल्यावर गंमत लक्षात आली.

पाच!

एक मोहोर, अर्थात ह्याहून अधिक प्रवेशमूल्यामधील रिस्क मला मान्य नाही.

ह्याचे कारण. कोणत्या तरी फेकीमध्ये - उशीरा वा लवकर - काटा येणार हे उघड आहे. अनन्त फेकींमध्ये एकदाहि काटा येणार नाही ह्या शक्यतेची रिस्क घ्यायला मी तयार आहे. तसेहि मी एकाऐव़जी हजार मोहोरा दिल्या तरीहि ती रिस्क माझ्यावर राहणार आहेच. तेव्हा मी एक मोहोर दिली काय वा हजार दिल्या काय मला मिळायचे तेच मिळणार तर मग बेस्ट बार्गेन एक मोहोर मी का न घ्यावी?

(मला विचार तेव्हा करायला लागता असता जेव्हा खेळींची संख्या मी देऊ केलेल्या प्रवेशमूल्यावर ठरली असती. उदा. एक मोहोर = एक खेळी, दोन मोहोरा = दोन खेळ्या इत्यादि. त्यातहि १,२,४,८,१६... ह्या भूमितिश्रेणीहून अधिक वेगाने वाढणार्‍या मूल्यश्रेणीकडे मी बघितलेच नसते कारण तिच्यामध्ये माझ्याकडूनच झारला पैसे निश्चित मिळाले असते. परंतु खेळामध्ये अशी काही अट घातल्याचे मला दिसत नाही. काटा येईपर्यंत नाणेफेक करायला झार तयार आहे!)

दोन मोहरा. गणित अजुन केलेले नाही त्यामुळे गंमत माहीत नाही.

जर पहिल्याच खेपेला काटा आला, तर तुला मी एक मोहोर देईन. जर दुसऱ्या खेपेला काटा आला तर दोन मोहोरा देईन, तिसऱ्या खेपेला आला तर चार देईन, चौथ्या खेपेला आला तर आठ देईन, पाचव्या खेपेला आला तर सोळा देईन, वगैरे वगैरे.
इथे छापा हवं का?कारण काटा आला, तर खेळ संपला. मग कशा मिळणार मोहोरा?
वाचनातली चूक कळली. कृपया हा प्रतिसाद न वाचणे.

वरच्या झारच्या गोष्टीतील पॅरॅडॉक्स येथे नाही परन्तु कोडे असे आहे:

संपूर्ण थांबलेले घडयाळ आणि रोज एक मिनिट पुढे जाणारे घडयाळ ह्यातील अधिक चांगले कोणते?

(थोडेसे नि:संदर्भ असले, तरी हे उदाहरण आठवले.)

या पेरेलमान ने एका कर्जबाजार्‍याची गमतीदार गोष्ट सांगितली (कुठले पुस्तक वगैरे ते मला आता आठवत नाही).

एका ऋणकोचे धनकोकडे १ रूबलचे देणे असते.
१. देण्याची तारीख येता ऋणको म्हणतो : वर्षाला १००% व्याजाने पुढच्या वर्षी मी तुला १च्या ठि़काणी २ रूबल देतो. इतक्या मोठ्या टक्केवारीने परतावा धनकोला कुठेही मिळू शकत नसल्यामुळे धनको हे मान्य करतो.
२. पुढच्या वर्षी देण्याची तारीख येता ऋणको म्हणतो : वर्षाला १००% व्याजाने पुढच्या वर्षी मी तुला २च्या ठि़काणी ४ रूबल देतो. इतक्या मोठ्या टक्केवारीने परतावा धनकोला कुठेही मिळू शकत नसल्यामुळे धनको हे मान्य करतो.
...
न. पुढच्या वर्षी देण्याची तारीख येता ऋणको म्हणतो : वर्षाला १००% व्याजाने पुढच्या वर्षी मी तुला २^न-१च्या ठि़काणी २^न रूबल देतो. इतक्या मोठ्या टक्केवारीने परतावा धनकोला कुठेही मिळू शकत नसल्यामुळे धनको हे मान्य करतो.
...
अशा तर्‍हेने ऋणको धनकोला कधीच पैसे देत नाही.

(थोडा विचार करता हे गणित अगदीच नि:संदर्भ नाही.)

(१) एकूण पाहता लोकांना हा खेळ फारसा किफायतशीर वाटला नाही अशा अर्थाने की तो खेळण्यासाठी अगदी डोक्यावरून पाणी म्हणजे चारपाच मोहरांपेक्षा जास्त फी द्यायला कुणी फारसं राजी दिसलं नाही. या खेळाबद्दल पहिल्यांदा जेव्हा मी ऐकलं तेव्हा माझीही प्रतिक्रिया अगदी अशीच झाली होती, आणि आत्तासुद्धा ती फार बदललेली नाही. पण त्याचं 'अपेक्षामूल्य' (expectation value) जर काढलं तर त्याला 'पॅरॅडॉक्स' का म्हणतात ते स्पष्ट होतं.

(२) गणितात शिरण्यापूर्वी अपेक्षामूल्य म्हणजे काय ते ढोबळपणे सांगतो. (प्रवेश फीचा मुद्दा सध्या बाजूला ठेवा.) समजा तुम्ही हा खेळ खेळलात आणि तुम्हाला 'अ' इतक्या मोहरा झारकडून मिळाल्या. तुमचा मित्र खेळला आणि त्याला 'ब' मिळाल्या, आणखी एका मित्राला 'क' मिळाल्या. म्हणजेच सरासरी प्रत्येकाला (अ+ब+क)/३ इतक्या मिळाल्या. अशी जर हजारो, लाखो, कोट्यवधी खेळ्यांची सरासरी काढली तर जी काही येईल तिला या खेळाचं अपेक्षामूल्य म्हणतात. प्रथमदर्शनी आश्चर्याची गोष्ट अशी की हे अपेक्षामूल्य 'अनंत' आहे. याचा अर्थ प्रवेश फी कितीही जरी ठेवली (सात कोटी मोहरा वगैरे) तरीदेखील सरासरीने विचार करता हा खेळ झारला पूर्णपणे आतबट्ट्याचा आहे. एका खेळीत त्याला फायदा होईल किंवा तोटा, पण हजारो-लाखो खेळ्यांचा सरसकट विचार करता हमखास तोटा होणार आहे.

(३) हे अपेक्षामूल्य काढण्यामागे एक सैद्धान्तिक बैठक आहे, पण त्यामागचं सोपं तत्त्व असं: समजा तुम्हाला उद्या ४० रुपये मिळणार आहेत, पण ते मिळतील अशी फक्त ७०% खात्री आहे. तर या परिस्थितीचं अपेक्षामूल्य ४० x ०.७० = २८ रुपये इतकं झालं. हाच तर्क झारच्या खेळातही राबवता येतो.
पहिल्याच खेपेला काटा येण्याची शक्यता १/२ आहे, आणि मिळणार १ मोहोर. म्हणजे अपेक्षामूल्य = १/२ x १ = १/२.
दुसऱ्या खेपेला काटा येण्याची शक्यता १/४ आहे (कारण पहिल्या खेपेला छापा, दुसऱ्यांदा काटा म्हणून १/२ x १/२ = १/४), आणि मिळणार २ मोहरा. म्हणजे अपेक्षामूल्य = १/४ x २ = १/२.
तिसऱ्या खेपेला काटा येण्याची शक्यता १/८ आहे (कारण पहिल्यांदा छापा, दुसऱ्यांदा छापा, तिसऱ्यांदा काटा म्हणून १/२ x १/२ x १/२= १/८), आणि मिळणार ४ मोहरा. म्हणजे अपेक्षामूल्य = १/८ x ४ = १/२.
(हेच गणित असंच पुढे नेता येतं, आणि दरवेळेला उत्तर १/२ हेच येतं.) तेव्हा अशा प्रत्येक शक्यतेकडून आलेलं मूल्य १/२ आहे, पण यापैकी नेमकी एक कुठली तरी शक्यता प्रत्यक्षात येणार आहे. म्हणून एकूण अपेक्षामूल्य

(४) या सगळ्यावरून वाटतं असं की झारने कितीही फी मागितली तरी लोकांनी खेळायला हो म्हणायला हवं, कारण 'सरासरी'चा विचार करता खेळणाऱ्याचा फायदाच आहे. पण अर्थात लोक फक्त सरासरीचा विचार करत नाहीत. त्यामध्ये 'रिस्क' चा भाग येतोच, पण 'रिस्क' हा एकमेव मानसशास्त्रीय घटक यामागे आहे असं मला वाटत नाही. उद्या आणखी लिहीन.

एका टोकाला अत्यंत क्लिष्ट विचार आणि आकडेमोड करु शकणारे आणि तीच सवय असलेले ष्टाटिष्टिशियन्स आणि दुस-या टोकाला अट्टल जुगारी हे लोक्स वगळता आमच्यासारखे नव्वद एक टक्के संसारी जन या खेळासाठी एका दमडीच्या वर ज्यास्ती देणार नाहीत हे समजून समाधान वाटले. त्यामुळे असले आचरट खेळ झारांनी चालू ठेवले तरी बहुतांश समाज सुरक्षित राहील आणि आमचे जमाखर्चाचे कोष्टक आणि मेंदूचे मर्यादित सर्किट कोलमडणार नाही याचे समाधान वाटले.

शिवाय सेकंड ईअरला ष्टाटिष्टिक्स सोडले ते शिक्षकांशी न पटल्याने असे आजपावेतो समजत होतो.. पण अंतर्मनाने नकळत कुठेतरी धोका जाणला होता आणि मला वाचवले हे आता कळतेय..

सेंट पीटर्सबर्ग पॅरॅडॉक्स हा आज पहिल्यांदाच ऐकला. तुमच्या सूचनेप्रमाणे गुगल करण्याचा मोह टाळलेला आहे. प्रश्न वाचल्यानंतर गट फिलिंगने आलेले उत्तर म्हणजे २ मोहोरा.
माझ्या मते यात दोन तृटी आहेत.
१) अपेक्षामूल्य जरी अनंत असले तरी त्यासाठी अनंतवेळा हा खेळ खेळावा लागेल जे शक्य नाही.
२) अपे़क्षामूल्य काढण्यासाठी जे गणित आहे त्यातील probabilities यांची range खूप जास्त आहे. पहिल्या नाणेफेकीसाठी ०.५ आहे, २० व्या नाणेफेकीसाठी अंदाजे १०^-६ आहे. त्यामुळे अपे़क्षामूल्यात या probabilities चे जे काही linear combination केले आहे ते योग्य वाटत नाही (because of 6 orders of magnitude difference). याचे गणितीय स्पष्टीकरण माझ्याकडे नाही, कदाचीत sensitivity analysis करून काही उत्तर मिळू शकेल. माझ्या मते tail probabilities या अपे़क्षामूल्याच्या गणितात घेउ नयेत.
यानंतर मी जे गणित केले ते खाली देतो आहे.
.
गृहितके:
१) खेळ हा सांत पायर्‍यांपर्यंत खेळला जातो ('न' वेळा नाणेफेक)
२) सलग 'म' वेळेला काटा आला तर मिळालेले पैसे २^म
.
या गृहितकांच्या आधारे अपेक्षामूल्य आहे
(१/२)*२^० + (१/२)^२*२^१ + (१/२)^३*२^२ +.....+(१/२)^न+१*२^न = न/२
.
यानंतर प्रत्य़क्ष किती पैसे मिळतील यासाठी मी एक simulation केले. एका simulation मध्ये हा खेळ १०,००० वेळा खेळलो आणी असे २५ वेळा केले, म्हअजे एकूण २,५०,००० वेळा. त्यापैकी जास्तीतजास्त सलग छापा आला तो १८ वेळा, पण फक्त एकदा. simulation चे results खालीत चित्रात आहेत. या संपूर्ण खेळींत मला किमान मिळालेले पैसे आहेत ०, कारण पहिल्या वेळेलाच छापा आला आणी जास्तीतजास्त मिळालेले पैसे आहेत २,६२,१४४ कारण एकदा १८व्या वेळेस छापा आला.
.
खालील लिंकवर जाऊन मोठे वाचण्याजोगे चित्र बघता येइल.
https://fbcdn-sphotos-b-a.akamaihd.net/hphotos-ak-xpf1/t31.0-8/1399180_…
.

.
१०,००० वेळा हा खेळ खेळल्यानंतर सरासरी मिळालेले पैसे हे ६ ते ३६ मध्ये आहेत. त्याचा histogram खालीलप्रमाणे

X अक्षावर मिळालेल्या मोहोरा आहेत आणि Y अक्षावर वारंवारता.
.
जर मला १०,००० वेळा झार बरोबर खेळण्याची संधी मिळणार असेल तर मी प्रत्येक खेळीला ७ किंवा ८ मोहोरा देण्यास तयार आहे. उलट गणित केले तर 'न' ची किंमत १४/१६ येते. थोडक्यात माझा असा दावा आहे की अपेक्षामूल्य काढण्यासाठी जे linear combination केले जाते ते १४ किंवा १६ नाणेफेकींच्या पुढे valid नाही.
मी आणखी काही simulations केली, त्याचे तपशील देत नाही पण माझे असे निरिक्षण आहे की जर
.
probability*number of games =0.25
.
तर त्या probabilities अपेक्षामूल्याच्या गणितात घेउ नयेत.
या निकषाप्रमाणे जर एकदाच खेळता येणार असेल तर मी केवळ १ मोहोर द्यायला तयार होइन, जर १०० खेळींसाठी प्रत्येकी ४ मोहोरा, १००० खेळींसाठी प्रत्येकी ५.५ मोहोरा, १०,००० खेळींसाठी प्रत्येकी ७.५ मोहोरा, १,००,००० खेळींसाठी प्रत्येकी ९ मोहोरा आणि १०,००,००० खेळींसाठी प्रत्येकी १०.५ मोहोरा द्यायला मी तयार होईन.
जर मी पुढची ५० वर्षे सेकंदाला एक खेळी केली तर एकंदरीत १.६ अब्ज खेळ्या करू शकीन. त्यासाठी प्रत्येक खेळीसाठी १६ मोहोरा मोजण्याची माझी तयारी आहे.

जचि, पुढे लिहिताय ना?

गट फील उत्तर: १

थोडा विचार करून -
पहिल्या खेपेला काटा येण्याची probability: ५०% त्यामुळे ०.५ च्या अधिक उत्तर असलं पाहिजे.
मग २५%*२ + १२.५%*४ + ...चं summation किती येईल हे माझ्या बापाला पण माहित नाही पण साधारणतः १ वैगेरे असावं.

त्यामुळे सुधारित उत्तर: १.५

आता बाकीचे कमेंट्स वाचतो आणि गुगळेंना विचारतो paradox काय आहे तो...

गट फील उत्तरः १

झारकडील मोहरा संपेपर्यंतच खेळ चालू राहील.
झारकडे २^१०० मोहरा असतील असे चढे-बढे गृहीतक घेतले तरी जास्तीतजास्त १०० मोहरा प्रवेश फी कल्पिता येईल.
झारच्या धनाबाबत आणखी वाजवी कल्पना असेल तर बरे.
बुद्धिबळाच्या निर्मात्याला पटावरती एक-दोन-चार-आठ दाणे धान्य सुद्धा देणे एका सम्राटाला जमले नाही. झारकडे फारफारतर २^३० मोहरा असतील, बहुतेक त्याहून पुष्कळ कमीच.
तर १०-१५ मोहरा प्रवेश फी म्हणून देणे ठीक वाटते. (माझ्याकडे तेवढ्या हव्यात, हेसुद्धा आलेच.)