गणित

शुल्बसूत्रांमधील भूमिति - एक धावती ओळख. भाग २.

प्रमाणं तृतीयेन वर्धयेत्तच्च चतुर्थेनात्मचतुस्त्रिंशोनेन। सविशेष:।
बौधायन २.१२. इतर शुल्बकारांनीहि जवळजवळ ह्याच शब्दांमध्ये हे मूल्य दाखविले आहे.

सरळ अर्थ - प्रमाण बाजूमध्ये तिचा तिसरा भाग, त्याचा चौथा भाग वाढवावा. त्याचा चौतिसावा भाग कमी करावा.  त्यात अजून काही थोडे मिळविले (की इष्ट उत्तर मिळते.)

टिप्पणी - दिलेल्या चौरसाच्या दुप्पट आकाराचा चौरस निर्माण करण्याची पद्धति येथे संक्षिप्तपणाने दर्शविली आहे.  अशा दुप्पट आकाराच्या चौरसाची बाजू = मूळच्या चौरसाचा कर्ण हे उघड आहे. मूळ चौरसाच्या बाजूचे प्रमाण = १ असे मानल्यास त्या चौरसाचा कर्ण = वर्गमूळ २.   ’२’ चे वर्गमूळ म्हणजे किती हे येथे दर्शविले आहे.  ’१ + १/३ + १/३*४ - १/३*४*३४ + थोडेसे वर (सविशेष)’ असे हे ’२’ चे वर्गमूळ दाखविले आहे.  आकडेमोड केल्यास १+१/३+१/३*४-१/३*४*३४ = १.४१४२१५६... आणि वर्गमूळ २ = १.४१४२१३... हे पाहिल्यावर असे जाणवते की शुल्बकारांना माहीत असलेले उत्तर खर्‍या उत्तराच्या खूपच जवळचे आहे.  हे उत्तर त्यांनी कसे शोधून काढले असावे?

हा विचार करण्यासाठी शुल्बकारांना उपलब्ध असलेले संख्याज्ञान कशा प्रकारचे होते आणि त्यांचे अंकगणितातील क्रियांचे ज्ञान कशा प्रकारचे होते हे पाहायला लागेल.  १, २, ३ अशा नैसर्गिक पूर्ण संख्या, हातापायाच्या १० बोटांवरून १०, १००, १००० अशा संख्या आणि ह्यांच्या संकलनाने (बेरीज) आणि व्यवकलनाने (वजाबाकी) निर्माण होऊ शकणार्‍या उर्वरित नैसर्गिक पूर्ण संख्या मनुष्यजातीने सहज निरीक्षणामधून निर्माण करून त्या भिन्नभिन्न दर्शविण्यासाठी आवश्यक ती चिह्नेहि निर्माण केली असणे स्वाभाविकच मानता येईल.  रोमन संस्कृतीने निर्माण केलेली अशी चिह्ने अजूनहि मर्यादित वापरात आहेत. शुल्बकालीन भारतीयांची अशी चिह्ने काय होती ह्याचा काहीच पुरावा उरलेला नाही, यद्यपि अशी चिह्ने असणार हे निश्चित.  तशाच नैसर्गिक विचाराने मोठया समुच्चयाचे एकाच आकाराच्या लहान समुच्चयांमध्ये विभाजन करणे - जसे की १० चे ५ आणि ५ असे दोन बिभाग, १८ चे ६,६,६ असे तीन विभाग - हेहि माहीत असणार. (परंतु १० चे ३ भाग कसे होऊ शकतील हा विचार त्यांच्या झेपेपलीकडील होता.)  दोन संख्यांचे संकलन (बेरीज) अथवा त्यांपैकी एकातून दुसरी घालविणे असे व्यवकलन (वजाबाकी) ह्या कृतीहि नैसर्गिकत: सुचणार्‍या आहेत.  मात्र ’शून्य’ ह्या संकल्पनेची निर्मिति आणि तिचा वापर करून संख्येच्या स्थानावरून तिचे मूल्य १० च्या पटीत बदलणे हे ज्ञान अजून काही शतके दूरच होते आणि त्याशिवाय गुणाकार आणि भागाकार हेहि शक्य नव्हते.  (रोमन आकडे वापरून गुणाकार करता येत नाही ह्यावरून हे स्पष्ट होईल.)  शेती आणि पशुपालन हे मुख्य व्यवसाय असलेल्या आणि संपूर्णत: यन्त्रविरहित असलेल्या समाजाला आपले दैनंदिन जीवन चालविण्यासाठी ह्याहून अधिक गणितज्ञानाची आवश्यकताहि नव्हती.

अशा स्थितीत एका संख्येपासून ज्याला आपण ’वर्ग’ म्हणतो अशी दुसरी संख्या कशी काढायची?  उत्तर सरळ आहे.  ५ चा वर्ग काढायचा म्हणजे धान्याचे दाणे ५ च्या ओळींमध्ये एकाखाली एक अशा ५ वेळा ठेवायचे आणि एकूण दाणे मोजायचे.

दिलेल्या चौरसाच्या दुप्पट क्षेत्रफळाचा वर्ग कसा काढायचा?  दिलेला चौरस शेजारीशेजारी दोन वेळा मांडायचा आणि त्यातील दाणे खालील आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे मांडून नवा चौरस मिळतो का हे पाहायचे.  आकृतीत ५ इतकी बाजू असलेले दोन चौरस शेजारीशेजारी काढून तेच धान्याचे दाणे वेगळ्या मार्गाने  मांडून नवा चौरस मिळतो काय हे पाहण्याचा प्रयत्न केला आहे.  असे दिसते की ७ बाजू असलेला नवा चौरस ह्यातून निघतो पण १ दाणा शिल्लक राहतो.  हा प्रयोग कोठल्याहि संख्येवर केला तरी सगळे दाणे वापरून नवा चौरस निर्माण करता येत नाही हे लवकरच ध्यानात येते.  प्रत्येक वेळी काही दाणे उरतात तरी किंवा कमी पडतात.  म्हणजेच केवळ पूर्णांक आणि पूर्ण विभाजन देणारे भागच केवळ वापरून दुप्पट आकाराचा चौरस निर्माण करता येत नाही हे लक्षात येते.

हे नाही तर नाही पण ’सर्वनाशे समुत्पन्ने अर्धं त्यजति पण्डित:’ असा विचार करून सर्वसाधारणत: अदमासाने दुप्पट म्हणता येईल असा चौरस तरी सापडेल काय असा विचार सुरू होतो.  त्यासाठी प्रथम एक संख्या घ्यायची, तिच्या चौरसाचे मान काढायचे, त्याची दुप्पट करायची आणि त्या दुपटीच्या जवळ येईल अशी वर्गसंख्या कोठल्या संख्येची आहे असा शोध घ्यायचा.  (हे सर्व कार्य वर दिलेल्या अंकगणिताच्या मर्यादेत राहून करणे शक्य आहे.)  असे केले म्हणजे (५,७), (१७.२४), (२९,४१), (३४.४८) अशा अनेक जोडया नजरेस येतात पण त्या सर्वांमध्ये एक दोष आहे आणि तो असा की पहिल्या संख्येच्या वर्गाची दुप्पट आणि दुसया संख्येचा वर्ग ह्यांमध्ये बर्‍यापैकी अंतर आहे आणि ही ढोबळ चूक जितकी पट करू तितक्या प्रमाणात वाढत जाईल.  समाधानकारकरीत्या लहान अशी चूक मिळण्यासाठी बरेच पुढे जावे लागेल पण तसे केले की (४०८,५७७) ही जोडी मिळेल जेथे ह्या संख्यांच्या आकारच्या मानाने चूक अगदीच क्षुल्लक आहे.  ४०८ चा वर्ग = १,६६,४६४, त्याची दुप्पट ३,३२,९२८ आणि ५७७ चा वर्ग = ३,३२,९२९.  म्हणजेच ४०८ प्रमाणक इतकी बाजू असलेला चौरस घेतला तर त्याच्या दुप्पट आकाराच्या चौरसाची बाजू ५७७ पेक्षा अगदी क्षुल्लक फरकाने लहान आहे. हाच ’सविशेष’.

आता प्रश्न येतो की ४०८ प्रमाणक लांबीने प्रारंभ करून आणि वर उल्लेखिलेल्या अंकगणिती मर्यादेत राहून ५७७ प्रमाणक इतकी लांबी कशी मिळवायची.  ४०८ चा अर्धा भाग त्याच्या पुढे ठेवला तर आपण ६१२ ला पोहोचतो, जी संख्या ५७७ च्या बरीच पुढे आहे.  ४०८ चा तिसरा भाग १३६ त्यापुढे मांडला तर आपण ५४४ ला पोहोचतो.  त्या तिसर्‍या भागाचा चौथा भाग त्यापुढे ठेवला तर आपण ४०८+१३६+३४ = ५७८ ला पोहोचतो.  आता आपली उडी ५७७ च्या पुढे १ प्रमाणक इतकी पडली आहे.  तो १ (= ४०८ च्या तिसर्‍या भागाच्या चौथ्या भागाचा चौतिसावा भाग) कमी केला म्हणजे आपण ५७७ ला पोहोचतो.  ह्यात ’सविशेष’ मिळवला म्हणजे इष्ट त्या दुप्पट आकाराच्या चौरसाची बाजू मिळेल.  वेगळ्या शब्दात लिहायचे तर मूळ चौरसाची बाजू १ प्रमाणक मानली तर इष्ट चौरसाची बाजू =

शुल्बसूत्रांमध्ये वापरलेले लांबीचे कोष्टक ३४ यवाचे दाणे = १ अंगुलि, १२ अंगुलि = १ प्रदेश असे असते. कोष्टकांसाठी साधारणत: निवडले जाणारे २,४,८.१६ असे सोपे आकडे सोडून शुल्बकारांची नजर ३४ वर का पडली असावी ह्याचाहि उलगडा येथे होतो.  दिलेल्या चौरसाची बाजू = १ प्रदेश असे मानल्यास इष्ट चौरसाची बाजू आता १ प्रदेश + ५ अंगुलि + १ यव असे मांडता येते.  तसे मांडता यावे म्हणून ३२ वा ३६ हे ’सोयीस्कर’ आकडे वगळून तेथे शुल्बकारांनी ३४ यव = १ अंगुलि असे ठरविले असले पाहिजे.

(पहिल्या भागात उल्लेखिलेले थिबो ह्यांचे पुस्तक थोडी वेगळी उपपत्ति देते. तिच्याहून मी येथे दिलेली उपपत्ति अधिक सुकर आहे असे वाटते.)