गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा -3 : शून्यातून विश्व

क्रि. श 10 व्या शतकापर्यंत शून्य ही एक संख्या असू शकते याचा विचारही कुणी केला नव्हता. ग्रीक तज्ञांनी नाही; अरिस्टॉटल, युक्लिड, अर्किमिडिस, पायथागोरस यांच्यापैकी कुणीही नाही. रोमन्सनासुद्धा हा विचार शिवला नव्हता. भारतीयांच्याही हे लक्षात आले नव्हते. या सर्वांना गणिताचा परिचय होता. परंतु संख्यांच्या स्वरूपाविषयी ते अनभिज्ञ होते. त्याकाळी कदाचित रोजच्या व्यवहारात गणिताला स्थान नसेल. ग्रीक व रोमन्स यांच्या मते ऋण (negative) संख्या असूच शकत नाही. रिक्तपणाच्या खाली काही असू शकत नाही याची पुरेपूर खात्री त्यांना होती. त्यामुळे शून्य या संख्येची त्यांना कधीच गरज भासली नाही.

6 व्या शतकात दक्षिण भारतातील गणितज्ञांनी शून्य ही संकल्पना मांडलेली असली तरी त्यांच्या दृष्टीने शून्याला स्वतंत्र अस्तित्व नव्हते. दशमान पद्धतीत एखादी संख्या लिहिताना जेथे अंक नसेल तेथे अभावसूचक म्हणून शून्य या संज्ञाचा वापर होत असे. 4+6 = 10 यात 1 दशम स्थानी व 0 एकम स्थानी दाखवले जात होते. यातून एकमस्थानी काहीही नाही हे दर्शविणाऱ्या एखाद्या संज्ञेची गरज होती व ती गरज भारतीय गणितज्ञांनी शून्य या संज्ञाद्वारे भरून काढली. अरब तज्ञांनी हीच दशमान पद्धत वापरून गणिताचा विकास केला. या शून्य संज्ञेला ते सिफर म्हणू लागले.

नंतरची सुमारे 400 वर्ष शून्याचा वापर फक्त अभावसूचक म्हणूनच होत असे. बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार भागाकार यात त्याचा वापर नव्हता. शून्य, धन की ऋण, याचेही उत्तर त्यांच्यापाशी नव्हते. संख्यामधील रिक्त स्थान भरणारी संज्ञा एवढेच स्वरूप त्याचे होते. 2003 व 2030 या संख्यांना वेगळी दर्शविणारी ती पद्धत होती. अन्यथा या दोन्ही संख्या कदाचित 23 किंवा आणखी काही तरी लांबलचक पद्धत वापरून लिहावी लागली असती.

8 व्या शतकात भारतीय संख्यापद्धत अरब जगात पोचली. अल् ख्वारिझ्मी (क्रि. श 780 - क्रि. श 850) या गणितज्ञाने सिफरला संख्या पद्धतीत सामावून घेतले. नवीनच उदयास आलेल्या बीजगणितातील समीकरणांसाठी याची नितांत गरज आहे हे त्यानी ओळखले.

इंग्रजीतील अल् जिब्रा हा शब्दच अरेबिक भाषेमधील अल् जिब्र या शब्दावरून घेतला होता. अल् जिब्र याचा अर्थ कमी करणे, वा उत्तर शोधणे. याच काळात अमेरिकेतील माया संस्कृतीनेसुद्धा अरबाप्रमाणे शून्याला संख्या पद्धतीत स्थान दिले. परंतु माया संस्कृती अस्तंगत झाली व अरब संस्कृती वृद्धींगत होत गेली.

शून्याला संख्या पद्धतीत स्थान असून संख्या रेषेवर शून्याचा समावेश झाल्यास अनेक प्रश्न सुटतील याची ही एक कथा.

बगदाद शहरात रोजच्या प्रमाणे व्यवहार चालू होते. वाळवंटातील हिरवळ असलेले हे शहर मोठे व्यापारी केंद्र होते. केशराचा, मसाले सामांनाचा, रेशमी वस्त्रांचा व्यापार होत असल्यामुळे वातावरण वेगवेगळ्या वासानी दरवळत होते. बाजार उंटाच्या डेर्‍यानी घेरलेला होता. बाजारापासून थोड्याशाच अंतरावर दूरपर्यंत खजूरांची झाडं पसरली होती. बगदाद शहराला ही झाडं शोभा देत होत्या. टायग्रस नदीच्या काठच्या या शहराच्या पलिकडे तळपणारा सूर्य, लांब पसरलेले वाळवंट व जोराचा वारा यामुळे शहरात प्रवेश करण्यापूर्वी प्रवासी पूर्णपणे थकून जात असत. बाहेरचा हा थकवा शहरात शिरल्या शिरल्या कुठेतरी नाहिसा होऊन अंगात तरतरी येत होती. कापडी पडद्यांने बंद केलेल्या घरांनी वेढलेल्या लहान लहान बोळा-बोळातून फिरताना व मध्यभागी असलेल्या मोकळ्या मैदानातील बाजारात प्रवेश करताना आपण एका वेगळ्या जगात प्रवेश करत आहोत की काय असे वाटत होते. रेशमी वस्त्र विकणारे, पुस्तकांची खरेदी-विक्री करणारे, परदेशी चलन वटवणारे, जडी-बुटी विकणारे, आहार धान्याचे व्यापारी, मसाले सामांनाचे व्यापारी, इत्यादीमुळे गजबजलेल्या या बाजारात काही वेळा पाय ठेवायलाही जागा मिळत नव्हती. बाजारभर पसरलेल्या या विविध वासातून सुटका नाही असे वाटत होते. मातीची बैठी घरं व दुकानं, बुरखा घातलेल्या बायकांचा गट व त्यांची कुजबूज, हसणं खिदळणं, आडोश्याला उभारून चाललेल्या गप्पा, यामुळे बाजारातून बाहेर पडणे नकोसे वाटत होते. याच बाजारात कित्येकांचे दैव उजळून निघत होते व कित्येंकांच्यावर दुर्दैव कोसळत होते !

क्रि. श. 800 चा काळ होता. वाळवंटी प्रदेशात पावसाळा, हिवाळा व उन्हाळा याच्यांत फरक जाणवत नसला तरी बगदाद शहर त्यावेळी वसंतागमनाने न्हाऊन निघत होता, खजूराच्या झाडावर पिकलेले खजूर लटकले होते. चारी बाजूने मौजमजेची, आंनदाची चाहूल जाणवत होती. बाजाराच्या समोरच्याच एका छोट्या डोंगरावर बगदादच्या खलिफाचा राजवाडा होता. दिवसाचे 24 तास व वर्षाचे 365 दिवस थंडगार ठेवण्याची अंतर्गत व्यवस्था राजवाड्यात होती, याच राजवाड्यात आज एक मोठी चर्चा होणार होती. या चर्चेसाठी मुहम्मद इब्न मुल्ला उर्फ अल् ख्वारिझ्मी येणार होता. चाळीस वर्षाच्या या ख्वारिझ्मीचे दाढीचे व डोक्यावरच्या केसात कुठे तरी पांढरे केस नुकतेच दिसू लागले होते. अरब जगातील एक अत्यंत प्रसिध्द गणितज्ञ तो होता. भारतातील आर्यभट्टानंतर त्या काळचा महान गणिती अशी त्याची ख्याती होती.

चर्चेत भाग घेणारी दुसरी व्यक्ती म्हणजे खुद्द खलिफा अल् मामून होता. लांबवर पसरलेल्या वाळवंटी प्रदेशाचा तो राजा होता. व बगदाद ही त्याच्या राज्याची राजधानी होती. गेली वीस वर्षे तो राज्य करत होता. त्यानी आपल्या राजवाड्याला House of Wisdom असे नाव ठेवले होते. त्यामुळे जगाच्या कानाकोपर्‍यातून अनेक अभ्यासक या शहराला भेटी देत होते. खलिफाशी चर्चा करत होते. खलीफाच्या दरबारात चर्चेसाठी कुठलाही विषय वर्ज्य नव्हता.

आजच्या चर्चेत भाग घेणार्‍यातील तिसरी व्यक्ती अहंमद बिन अझीझ होती. हाही त्या काळातील एक मोठा गणितज्ञ होता. अगदी बारीक अंगकाठीच्या या अहंमदकडे पाहिल्यानंतर हा भरपूर भुकेला असावा असेच लोकांचा ग्रह होत होता. बटबटीत डोळे असलेल्या अहंमदची चाल सुध्दा झोकांड्या खाल्यासारखी वाटत होती.या तिघामधील आजचा चर्चेचा विषय होता सिफर. सिफर म्हणजे रिक्त जागा वा आपल्या समजूतीप्रमाणे शून्य.
ख्वारिझ्मीकडे बोट दाखवत खलीफ तावातावाने बोलत होता.
"पंधरा वर्षापूर्वी तू जेव्हा भारतीय संख्या पद्धत येथे घेऊन आलास व त्यांच्या श्रेष्ठत्वाविषयी तू मला सांगू लागलास तेव्हा आम्ही सर्व त्या संख्या आनंदाने स्वीकारल्या. आमच्या प्रमाणे संपूर्ण अरब जगताने त्याचे स्वागत केले. परंतु त्या वेळी सिफर म्हणजे दशांश पद्धतीतील अभाव सुचवणारी एक प्रतीक एवढेच तू सांगत होतास. वास्तव संख्येत (real numbers) एखादी जागा रिकामी असल्यास ती भरून काढण्यासाठी सिफरचा वापर होतो हे तुझे म्हणणे आम्हाला त्यावेळी पूर्ण पटले होते. त्यामुळे या सिफरला काही किमंत नाही असे वाटत होते."
अहमंद खलिफाच्या प्रत्येक वाक्यागणिक डोके हलवत होता. " खाविंद, तुमचे म्हणणे पूर्णपणे बरोबर आहे." ख्वारिझमी सांगू लागला, "परंतु मी जेव्हा त्याचा खोलात जाऊन अभ्यास करू लागलो तेव्हा सिफर केवळ अभावसूचक नसून त्याच्यापेक्षा जास्त काही तरी आहे हे माझ्या लक्षात आले."
"जास्त म्हणजे..." खलिफा
"आणखी जास्त .... " अहंमदची पुस्ती
"इतर संख्येप्रमाणे सिफर हीसुद्धा एक संख्या आहे. व त्याला संख्येचा दर्जा दिल्यास अंकगणित व बीजगणित यातील अनेक समस्यांना उत्तर मिळू शकेल, अशी माझी खात्री झाली आहे."
"परंतु शून्य ही संख्या होऊ शकत नाही." अहंमद तावातावाने वाद घालू लागला. "संख्यात जेथे अंक नाही ते स्थान भरून काढण्यासाठी केलेली ती एक सोय आहे. त्यापेक्षा त्याला जास्त किंमत द्यायची गरज नाही. संख्या म्हणून त्याचा वापर करण्याची गरज नाही."
खलिफा दाढी कुरवाळत "अहंमदच्या विधानात सत्य आहे. सिफरला संख्यांचा दर्जा देणे योग्य ठरणार नाही. संख्यांच्यापेक्षा सिफर अत्यंत वेगळे आहे. परंतु आता एकदम ती संख्या कशी काय होऊ शकते?"
"आपण सिफरला संख्येचा दर्जा द्यायला हवी.” ख्वारिझ्मी निश्चयी स्वरात म्हणाला. “आपण तिघानी मिळून हे काम न केल्यास गणित पुढे जाऊच शकणार नाही. अल्लाची मेहरबानी हवी असल्यास ...."
" हे कसे काय शक्य आहे? जे मुळातच अस्तित्वात नाही त्यातून नवीन काही तरी कसे काय काढू शकतो?" इती अहंमद.
"सिफरला संख्या न मानल्यामुळे गणितात प्रगती का होऊ शकणार नाही? "खलिफाचा प्रश्न.
"अहंमद, तुझा प्रश्न अगदी साधा आहे." ख्वरिझ्मी सांगू लागला. "इतर संख्यांना जे नियम लागू होत असतात तेच नियम सिफरलाही लागू केल्यास सिफरसुद्धा संख्या होऊ शकेल. जंहापनाह, तुमच्या प्रश्नाचे उत्तर जरा कठिण आहे." अल् ख्वारिझ्मी येरझारा घालत घालत खजुराच्या भांड्यातील एक खजूर घेतला. " संख्या मोजण्यासाठी आपल्याला सिफरची गरज नाही. ग्रीक व रोमन्स सिफर माहित नसतानासुद्धा संख्या मोजतच होते. त्यांना कधी अडचण आली नाही. संख्यांची बेरीज व गुणाकार यातील रिक्त स्थान दाखवण्याची पद्धत भारतीय गणितज्ञांनी अंमलात आणली. सिफरचा वापर कसा करावा हे आपण त्यांच्याकडून शिकलो. वजाबाकी व भागाकार यांची गोष्टच वेगळी. 8 मधून 8 वजा केल्यास काय शिल्लक राहील? "
"काही नाही." अहंमदचे उत्तर.
" चूक, 8 मधून 8 वजा केल्यास सिफर शिल्लक राहते. यात पुन्हा 7 जमा झाल्यास काय उत्तर येईल?"
" सात" खलिफाचे उत्तर
" खाविंद मला हेच म्हणायचे आहे." ख्वारिझ्मी उत्तेजित स्वरात सांगू लागला. "सिफर जर संख्या नसती तर त्यात 7 जमा करताच आल्या नसत्या. सिफर संख्या नसल्यास तुम्ही तसे करू शकणार नाही. कारण संख्येतच संख्येची बेरीज होऊ शकते. गुणाकार होऊ शकतो. 8-8 चे उत्तर संख्या नसल्यास त्यात 7 ची बेरीज करताच आली नसती. त्यामुळे 0 ही संख्या असलीच पाहिजे. अन्यथा वजाबाकी अशक्य! "
अहंमदचा अस्वस्थपणा जाणवू लागला. त्याचे डोळे विस्फारले. ओठावर जीभ फिरू लागली. खलिफा डोळे मिटून स्वस्थ बसला. त्याला काही सुचतच नव्हते. उत्तर देण्याच्या स्थितीत तो नव्हता.
"अरे यार, मला तुझे हे म्हणणे नक्कीच पटते. तू महान गणितज्ञ आहेस याबद्दल माझ्या मनात बिलकुल संशय नाही. परंतु सिफरच्या बाबतीत माझा एक प्रश्न आहे. कुठलिही संख्या एकतर धन असते किंवा ऋण असते. सिफर या दोन्हीपैकी कुठलीही नाही. तरी आपण तिला संख्या का म्हणावे?"
"हुजूर, तुम्ही बरोबर ओळखलात. सिफर ही एकच अशी संख्या आहे की त्याला आपण धन किंवा ऋण ही संज्ञा त्याच्याशी जोडू शकत नाही. या दोन्ही प्रकारच्या संख्यांना balance करणारी व संख्यारेषेच्या मध्यभागी असणारी अशी ही संख्या आहे. धनसंख्यांची, समीकरणांची वा आलेखांची (graphs) सुरुवातच या संख्येतून होते. अनंतापर्यंत जाणारे धन संख्या संच व ऋण संख्या संच यांना सिफर जोडून ठेवते. "
अहंमद फळ्यावरील काही संख्या पुसून काढत " तू जे काही सांगत आहेस ते अंशत: खरे असू शकेल. सिफर हे आकडे मोजण्यासाठी नक्कीच उपयोगी पडू शकते याबद्दल दुमत नाही. संख्यांच्या बाबतीतील काही प्रश्नांची उत्तरं ही संख्या देऊ शकते हेही मान्य. उदाहरणार्थ, जेथे काहीही नसल्यास तेथे किती आहेत या प्रश्नाचे उत्तर सिफर होऊ शकेल. बेरीज - वजाबाकीबद्दलचे तुझे हे प्रयत्न नक्कीच प्रशंसनीय आहेत. परंतु संख्यांचा वापर गुणाकार व भागाकारासाठीसुद्धा व्हायला हवा." असे म्हणत त्यानी फळ्यावर काही आकडे काढले व तो म्हणाला " तुझे सिफर हे करू शकत नाही हे तुला मान्य असायला हवे. "
खलिफाचे लक्ष ख्वारिझ्मी काय उत्तर देतो याकडे होते.
" भागाकारासंबंधी मी विशेष प्रयत्न केले आहेत व त्यासाठी भरपूर वेळही घालवला आहे. परंतु आपण प्रथम गुणाकारापासून सुरुवात करू या. ते तुलनेने सोपे आहे." अल् ख्वारिझ्मीने कमरेला बांधलेल्या पिशवीमधून मूठभर नाणी बाहेर काढून ठेवत " मी तुला याच्यातील एक नाणं देतो " असे म्हणत अहंमदच्या समोर एक नाणे ठेवला. " याला 4 ने गुणिल्यास किती नाणी होतील?"
" 4 " अहंमदचे उत्तर.
" म्हणजे मी तुला एकेक नाण्याचे चार वाटे द्यायला हवेत. मी तुला आता 2 नाणी देतो. व त्याचे 4 पट म्हणजे किती नाणी?"
" 8, ख्वारिझ्मी, हे सर्व आपण अंकगणितात शिकलेलो आहोत. याचा या सिफरशी काय संबंध? " अहंमदचा प्रतीप्रश्न.
अल् ख्वारिझ्मी त्याला गप्प बसण्याची खूण करत " तुझं 8 उत्तर बरोबर आहे. यासाठी मला दोन दोन नाण्याचे 4 वाटे द्यायला हवेत. "
ख्वारिझ्मी अहंमदच्या हातातील दोन्ही नाणी परत घेतो. "आता मी तुला सिफर नाणे दिलेले आहेत. आणि सिफरला तू जर 4 ने गुणिल्यास मला सिफरचे 4 वाटे द्यावे लागतील. बरोबर?"
अहंमदचे डोळे गरागरा फिरू लागले. " तू सिफरचा गुणाकार करू शकत नाही. ते अशक्य आहे. " अहंमद.
"चूक, मित्रा, मी तुला अगोदर सांगितल्याप्रमाणे चार वाटे देतो. फक्त त्यात एकही नाणं नसणार. "
खलिफा डोळे विस्फारत म्हणाला. "म्हणजे तुझ्या मते शून्याशी गुणाकार केल्यास उत्तर शून्यच येणार. परंतु दुसर्‍या कुठल्याही संख्येला 4 ने गुणिल्यास उत्तर म्हणून तीच संख्या कधीच येणार नाही. "
"बरोबर आहे हुजूर, सिफर ही एक अजब, मजेशीर व एकमेव अशी संख्या आहे. तरीसुद्धा आपण त्यापासून दूर जाऊ नये व त्याची भीती बाळगू नये. गणितातील इतर नियम सिफरलाही लागू करावे."
"मग 0 x 0 याचे उत्तर काय असेल? " अहंमदचा खोडकर प्रश्न.
अहंमदकडे एक नजर टाकत "नाण्याचा एकही वाटा नाही व त्या वाट्यात एकही नाणं नाही. असे असल्यास त्याचे उत्तर सिफरच असणार."
"गंमतीशीर आहे. भागाकाराचे काय?" खलिफा
अल् ख्वारिझ्मीला हा कठिण प्रश्न अपेक्षितच होता. " हुजूर, शून्याने भागाकार हे समजून घेण्यासाठी थोडेसे कष्ट घ्यावे लागतील. तरीसुद्धा मी प्रयत्न करतो. 100 नाण्यामधून एकेक नाण्याचा वाटा करायचे असल्यास 100 वाट्या होतील. 10 वाटे केल्यास प्रत्येक वाट्यात 10 नाणी असतील. कमी वाट्या म्हणजे वाट्यातील नाण्यांची संख्या जास्त."
त्यांना आपण जे काही सांगत आहे ते कळले की नाही यासाठी खलिफा व अहमदकडे नजर टाकून तो पुढे सांगू लागला. "वाट्याची संख्या कमी केल्यास वाट्यात जास्त नाणी बसणार. मी भाजक (diviser) जितका लहान लहान करत जाईन त्याच प्रमाणात भागाकाराचे उत्तर मोठे मोठे होत जाणार. भाजक 1 असल्यास उत्तर 100 ला पोचले. मी आणखी कमी करत करत सिफर पर्यंत आणल्यास उत्तर आणखी मोठे मोठे होत जाईल."
"मोठे म्हणजे किती मोठे?" अस्वस्थ खलिफाचा प्रश्न, खलिफाच्या या अस्वस्थेमुळे चवरीने घालणाऱ्या नोकरांची तारांबळ उडत होती.
"खाविंद, आपण प्रथम अपूर्णांकाचे बघू या. अपूर्णांकाने भागाकार करता येते हे आपल्याला माहित आहे. 100 ला 1/2 ने भागाकार करणे म्हणजे 2 ने गुणाकार केल्यासारखे. व त्याचे उत्तर 200 येईल. जर 1/10 ने भागाकार केल्यास उत्तर 1000 येईल. 1/1000 ने भागिल्यास उत्तर 100000 येईल. परंतु सिफर यापेक्षा कित्येक पटीने लहान आहे. त्यामुळे सिफरने भागिल्यास उत्तर फारच मोठा असणार.”
"मोठा म्हणजे किती मोठा.... " खलिफा
"हुजूर, माफ करा, मी जरा जास्तच वेळ घेत आहे. याचे उत्तर शोधण्यासाठी मी शेवटी आलेखांचा वापर केला. वाटा इतका लहान होत गेला की नंतर त्यात काही शिल्लक राहिले नाही. त्याचवेळी संख्या वाढत वाढत अनंतापर्यंत (infinity) पोचली. परंतु इन्फिनिटी ही संख्या नाही हे आपल्याला माहित आहे. त्यामुळे सिफरने भागिल्यास उत्तर इन्फिनिटी येणार हे मात्र नक्की. "
"याचाच अर्थ सिफर काही कामाचा नाही, हे तुला मान्य असायला हवे." अहंमद तिरकसपणे म्हणाला.
"तरीही सिफर ही एक संख्या होऊ शकते. काऱण जरी याच्या भागाकारातून एक निर्दिष्ट उत्तर येत नसले तरी सिफरने भागाकार करणे शक्य आहे, हे मान्य करायला हवे. सिफर संख्या नसती तर भागाकाराचा प्रश्नच उपस्थित झाला नसता."
अहंमदच्या पदरी निराशा. खलिफा दाढी खाजवत विचार करू लागला. तितक्यात एक नोकर खलिफासाठी निरोप घेऊन आला. आणि त्याच्या कानात कुजबुजला. अल् मामूम खलिफा उभा राहिला. "मला आता जायला हवे. या नवीन संख्याचे फार छान समर्थन केलस. तू जेव्हा भारतीय अंक पद्धती घेवून आलास तेव्हा मला तेवढे महत्व कळले नव्हते. परंतु माझ्या अपेक्षेपेक्षा किती तरी पटीत त्या पद्धतीचे मूल्य आहे हे आता कळू लागले. बीजगणित व अंकगणित यांना या सिफरच्या अभावसूचकतेमुळे वेगळी कलाटणी मिळाली. तरीसुद्धा मी अजूनही सिफरला संख्या म्हणण्यास धजत नाही. याची आपण उद्या चर्चा करू या." असे म्हणत सर्व उपस्थितांचे निरोप घेत लवाजम्यासह तो बाहेर पडला.

दुसऱ्या दिवशीची दुपारची वेळ होती. नेहमीप्रमाणे दरबार भरला. सिंहासनावर खलिफा व खालच्या मऊ गालिच्यावर मांडी घालून अहंमद व ख्वारिझ्मी बसले.
“मी तुला आज दोन प्रश्न विचारणार आहे. तुझे उत्तर बरोबर असल्यास तुझ्या या सिफरला संख्येचा दर्जा देऊन टाकू.”
“तुझ्या म्हणण्याप्रमाणे कुठल्याही संख्येला शून्याने भागिल्यास उत्तर म्हणून अती प्रचंड संख्या येते व त्याची व्याख्या करता येत नाही. हे बरोबर आहे ना? आता तू मला सांग, शून्याने शून्याचा भागाकार करता येते का ? व करता येत असल्यास त्याचे उत्तर काय असू शकेल?"
हा प्रश्न ऐकून अहंमद गालातल्या गालात हसत होता. मात्र ख्वारिझ्मी क्षणाचाही विलंब न लावता सांगू लागला. "हुजूर, ज्या भागाकाराचा आपण उल्लेख करत आहात ती एक भागाकारामधील अपवादात्मक बाब आहे. अस्तित्वातच नसलेल्या वस्तूंचे वाटे करून ठेवता येत नाही व विशेषकरून त्यात काहीही नसताना. ही एक असाधारण स्थिती आहे. व अव्याख्यात व अनिश्चित अशी ही बाब आहे."
" याचाच अर्थ सिफर ही संख्या नाही का?" अहंमदचा प्रतीप्रश्न.
"याचा अर्थ गणिताविषयीचे आपले अज्ञान असे म्हणता येईल. व हे अज्ञानच विशिष्ट बाब समजून घेण्यातील मुख्य अडथळा आहे."
"म्हणजे सिफर ही संख्या आहेच!" खलिफा
" शंभर टक्के!" ख्वारिझ्मी
खलिफा म्हणाला " ठीक आहे. आता माझा दुसरा प्रश्न. अरिस्टॉटल यानी घातांकाची कल्पना मांडली. त्यामुळे त्याच त्याच संख्येचा अनेक वेळा गुणाकार लिहिणे सोपे झाले.. उदा,
4x4 = 4²;
4x4x4 = 4³. यावरून 4⁰ वा सामान्यपणे X⁰याचे उत्तर काय असू शकेल?"
" खाविंद, फार सुरेख प्रश्न!" अहंमदची टिप्पणी.
" मला माहित आहे.” खलिफाची प्रतिक्रिया. “याचे उत्तर काय?”
अल् ख्वारिझ्मी उत्तर देऊ लागला " x³ याचे गुणक x², x किंवा x, x, x (यात x तीनदा) असे असतील. x² चे गुणक x, x (यात x दोनदा) येतील त्याचप्रमाणे x¹मध्ये x एकदाच येईल. बीजगणिताच्या प्राथमिक नियमानुसार......”
“ते मला कळले. म्हणजे x⁰ यामध्ये x ही नसणार व 0 ही नसणार.”
“तसे नव्हे हुजूर, कारण x¹ म्हणजे x⁰ गुणिले x. असणार. जर x⁰ याचे उत्तर 0 असल्यास x¹ ही शून्य झाले असते. कारण 0 गुणिले 0 ही शून्यच झाली असती. परंतु तशी स्थिती नाही. हुजूर, x¹ म्हणजे x च असणार. त्यामुळे x⁰ ची किंमत 1 असायला हवी."
"काय...!" अहंमद जवळ जवळ ओरडला.
खलिफा मात्र गालातल्या गालात हसत होता. "ख्वारिझ्मी, फारच छान. तू पुन्हा एकदा बाजी मारलीस. मित्रा, फार सुंदर मांडणी. तू चांगल्या प्रकारे शून्याचे समर्थन करू शकलास. सिफरची गणना संख्यामध्ये होत राहणार. व केवळ अभावसूचक म्हणून नव्हे. आपली संख्या रेषा ऋण इन्फिनिटीपासून धन इन्फिनिटीपर्यंत जात असल्या तरी त्याच्या मधोमध शून्य असणार."

अरबस्तानच्या त्या उन्हाळ्यातील या एका आविष्कारामुळे बीजगणित, कॅल्क्युलस, भूमिती, या विषयांना कलाटणी मिळाली. शिवाय अभियांत्रिकी, विज्ञान इत्यादींच्या वापरातील गणित शाखा समृद्ध झाल्या. संख्यारेषेवर शून्याचे अस्तित्व नसते तर आपण एवढे प्रगती करू शकलो नसतो.

तरीसुद्धा पुढील 500 वर्षे या शून्याचे अस्तित्व नाकारण्यात आले. त्याच्या कारणाचा शोध हा एक वेगळा लेख होऊ शकेल!

संदर्भ: मार्व्हेल्स ऑफ मॅथ: फॅसिनेटिंग रीड्स अँड ऑसम ऍक्टिव्हिटीज, ले: केंडाल हॅवन
........क्रमशः