गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा - 2: आधी भक्कम पाया!

ग्रीक, मेसापेटोमिया, इजिप्त या सारख्या प्राचीन काळच्या नागरी संस्कृतीत शिक्षणावर श्रीमंताची मक्तेदारी होती. मुळात शाळा नसायच्या. असल्या तरी बऱ्याच अंतरावर असायच्या. त्यामुळे शाळा संस्थापक वा शाळेतील शिक्षक जे काही सांगतील तीच पूर्व दिशा ठरायची. प्रत्येक शाळेतील अभ्यासक्रम वेगवेगळा असायचा. शिकविण्याची पद्धत वेगळी असायची. व प्रत्येक शिक्षकाच्या संकल्पना वेगळ्या असायच्या.

क्रि. श. पू. 310च्या सुमारास इजिप्तमध्ये अलेक्झांड्रिया म्युजियम व ग्रंथालयाची स्थापना झाली. व पुढील काही वर्षातच ती नावारूपाला आली. तत्वज्ञान, कला, खगोल, इतिहास, गणित, भूमिती इत्यादी विषयावरील जगभरातील ग्रंथांची भर पडू लागली. म्युजियम हे जरी नाव असले तरी त्याचा सर्व कारभार एखाद्या नावाजलेल्या विद्यापीठासारखा होता. प्रत्येक विषयातील तज्ञ या ठिकाणी जमत होते. चर्चा होत होती. आफ्रिका, मध्यपूर्व एशिया, भारत येथून अभ्यासक येत होते. नवीन काही तरी शिकत होते. शिकून झाल्यानंतर आपापल्या मायदेशी ज्ञानप्रसाराचे काम करत होते. त्यामुळे शिक्षणाच्या सार्वत्रीकरणाला काही प्रमाणात दिशा मिळू लागली.

इजिप्तचा राजा टॉलेमीने या म्युजियमच्या उभारणीसाठी भरपूर परिश्रम घेतले. म्युजियमच्या गणित विभागाचा प्रमुख म्हणून युक्लिड या ग्रीक तज्ञाची नियुक्ती त्यानी केली. युक्लिड त्या काळचा अत्यंत हुशार गणितज्ञ व एक आदर्श शिक्षक होता. हिप्पोक्रेटस (Hippocrates), युडोक्सियस, (Eudoxius), अरिस्टेयस (Aristeus), वा प्लॅटो (Plato) या अतिरथी महारथी प्रमाणे युक्लिडने गणितीय ज्ञानात कुठलीही भर घातली नसेल वा नवीन संकल्पनांचा शोधही केला नसेल. मात्र त्यानी गणितीय पद्धतीची शास्त्रशुद्धपणे मांडणी करणारा 'एलिमेंट्स' ('Element!')ग्रंथ लिहून गणितीय ज्ञानाला नवीन दिशा दिली.

या ग्रंथामुळे ज्यांना त्याच्या अभ्यासातून समजून घेणे शक्य आहे त्या सर्वांना गणित शास्त्र म्हणजे नेमके काय हे कळू लागले. व मानवी बुद्धीला आव्हानात्मक ठरणारा हा विषय गेली 2000 वर्षे अजूनही त्याच पद्धतीने जगभर शिकविले जात आहे. त्यामुळे युक्लिडला आवडो न आवडो, तो एक महान शिक्षक होता याबद्दल दुमत नसावे.

युक्लिडच्या एलिमेंट् या ग्रंथात मुख्यत्वेकरून सिद्धता (proof), सिद्धांत (theory), गृहितक (axiom), पूर्वानुमान (assumption), आधारतत्व (postulate) व संकल्पना (concept) यांच्यावर भर दिला असून गणिताची वाटचाल युक्लिडच्या या मार्गदर्शिकेमधीनच होत आहे. या संकल्पनेसंबंधीची ही एक काल्पनिक कथा.

इजिप्तच्या वाळवंटावरील गरम वारे नाइल नदीच्या तीरी व दर्‍यातून वाहत असताना आगीच्या भट्टीतून तापून निघाल्यासारखे वाटत होते. तरीसुद्धा जेव्हा हे वारे मेडिटेरियन समुद्राच्या काठी असलेल्या अलेक्झांड्रिया पोचल्यानंतर त्याची तीव्रता कमी झाली आहे, असे वाटत होते. गोदी कामगार जहाजात माल भरत होते. शेजारचा दीपस्तंभ व त्यामागे पसरलेला अफाट शहर स्तब्धपणे बंदरातील व्यवहाराचे निरीक्षण करत आहेत की काय असे वाटत होते.

क्रि. श. पू. 295 सालचा एप्रिल महिना. अलेक्झांड्रियाच्या बंदरावर कपडे, वाइन, धान्य यांनी भरलेल्या पिपांचे ढीग इतस्तत पसरलेले होते. ग्रीक वास्तुरचनाशास्त्र पद्धतीने बांधलेला टॉलेमीचा राजवाडा बंदराला लागूनच होता. आणि त्याच्या शेजारीच म्युझियम व लायब्ररीची प्रचंड इमारत होती. इमारतीच्या भोवती भरपूर मोठे प्रांगण होते. जगाच्या कानाकोपर्‍यातून तज्ञ अभ्यासक या ठिकाणी शिकण्यासाठी व शिकवण्यासाठी येथे जमत होते. प्रांगणाच्या मध्यभागी असलेल्या इमारतीत प्रवेश करण्यासाठी लांबवर पसरलेल्या 15 - 20 पायर्‍या चढून जावे लागत असे. आकाशात झेपणार्‍या दोन खांबामधून लायब्ररीत प्रवेश करताना वास्तूच्या भव्यतेची कल्पना येत असे. हजारोंच्या येण्या जाण्यामुळे पायर्‍या गुळगुळीत झाल्या होत्या.

डेमिट्रियस फालेरियस (Demitrius Falereus) हा ग्रंथालयाचा प्रमुख होता. त्या दिवशी बंदराच्या दिशेकडे तोंड करून सहाय्यकाची वाट बघत होता. जहाजातून पापिरस (Papyrus)चे भेंडोळे येणार होते. त्याकाळी याच पापिरसच्या कागदावर मजकूर लिहिला जात असे. डेमिट्रियसच्या लायब्ररीत वेगवेगळ्या विषयावरील टीका टिप्पणीचे सुमारे दोन लाख भेंडोळ्या होत्या. व काही दिवसात ही संख्या कित्येक पटीने वाढणार होती. त्याला समोरून त्याचा सहाय्यक येताना दिसला. सहाय्यकाच्या मागे जहाजातील कामगार माल घेऊन ओळीने येत होते.
"सर, यात विवरणपत्रांच्या व इतर गोष्टींचे भेंडोळे आहेत. काही पेंटिंग्ससुद्धा त्यात आहेत. "
डेमिट्रियस आनंदित झाला. कारण वाटेतच समुद्रात या गोष्टी बुडून जातील की काय अशी त्याला भीती होती. सुखरूप पोहोचल्याबद्दल तो धन्यवाद देत होता.
सहाय्यक " अजून एक आनंदाची बातमी आहे. युक्लिडने आपले पुस्तक लिहून संपवले."
डेमिट्रियस आश्चर्यचकित झाला. " खरोखरच आनंदाची बातमी. पुस्तकाचा विषय कोणता होता?"
"त्याचे शीर्षक आहे The Elements”
“ म्हणजे कुठले Elements कसले Elements? "
क्षणभर सहाय्यक आवाक होऊन त्याच्या तोंडाकडे बघतच उभा राहिला. कामगार मोठमोठे पेट्या घेऊन लायब्ररीत जात होते. सहाय्यकाला युक्लिडचे ते शब्द आठवले. " माझ्या मते गणितातील मूळ सिद्धांताना पुष्टी देणार्‍या घटकांच्याबद्दलची माहिती या माझ्या The Elements पुस्तकात आहे. या पुस्तकाचे 13 खंड असून सुमारे 450 घटकांचे - वा सिद्धातांचे वर्णन त्यात आहे."
"450 सिद्धांत .... अरे बापरे... सिद्धांत म्हणजे नेमके काय याची संपूर्ण कल्पना या महान गणितज्ञाचे पुस्तक वाचून समजून घेता येईल. "
पुन्हा एकदा सहाय्यक आकाशाकडे बघत युक्लिड नेमके काय म्हणाला हे आठवत होता. युक्लिडच्या मते सिद्धांतात संख्या, समीकरण व रेषा यांची तार्किकरित्या मांडणी करत त्यातील सत्य व त्यांचा एकमेकाशी असलेला संबंध यांचे स्पष्टीकरण असते. डेमिट्रियसला हा काय बडबडतो हेच कळत नव्हते.
"सिद्धांत, समीकरण .... हे ठीक वाटतात. परंतु संख्येत विशेष काय आहे? फक्त वस्तू मोजण्याकरता त्याचा उपयोग होऊ शकतो..... काय कळत नाही...."
"तुम्हीकधी तरी त्याच्या वर्गात बसला आहात का?"
"नाही. मला वेळ मिळत नाही."
"मी कवी असूनसुद्धा तेथे जात असतो. तो एक महान शिक्षक आहे. भूमितीबद्दलची माझी उत्सुकता मी अजूनही विसरू शकत नाही."
"त्यामुळेच टॉलेमीने युक्लिडची नियुक्ती केली असेल. .... जाऊ दे. वाळूत रेघाटलेले वर्तुळ, त्रिकोन, रेषा याबाबतीत माझा वेळ बरबाद करण्यापेक्षा मला इतर कामे भरपूर आहेत. जहाजातून आणखी नवीन काय आले आहेत ते मला बघू दे."

23 वर्षे वयाचा थीओक्लीज (Theoclese) शेताच्या जवळ असलेल्या त्याच्या घरात शिरला. या वर्षीचे पीक पेरलेले होते. वीतभर त्या वाढल्याही होत्या. नाइल नदीच्या काठच्या शेती हिरवेगार दिसत होत्या. थीओक्लीज वडिलांना हाक मारत " मला काय करायचे आहे हे तुम्हाला माहित आहे का? " विचारला.
"म्हणजे तू पिकांच्या मधे मधे वाढलेले गवत कापणार की काय?" डेंटिसचा प्रश्न.
"नाही, डॅडी, नाही. मी एक मजेशीर पुस्तक वाचत आहे."
"म्हणजे तू सकाळपासून शेतात काम करण्याऐवजी पुस्तक वाचत बसला होतास की काय?" समोरच्या टेबलावर मूठ आपटत "महत्वाची वेळ वाया घालवण्यासाठी मी तुला शिकवले नव्हते ..". डेंटिसचा राग अनावर झाला होता.
"डॅडी, हे एक फार वेगळ्या प्रकारचे पुस्तक आहे." थीओक्लीज अजीजीच्या स्वरात वडिलांना विनंती करू लागला. "एलिमेंट्स या पुस्तकात युक्लिडने गणिताविषयी भरपूर काही लिहून ठेवले आहे. भूमितीबद्दलही त्यानी लिहिले आहे. मला अलेक्झांड्रियाला गेलेच पाहिजे. युक्लिडपासून हे सर्व शिकून घेतलेच पाहिजे. ..."
डेंटिसला काय बोलावे हेच सुचेना. स्वत:शी पुटपुटल्यासारखा त्याचा आवाज झाला.
"अलेक्झांड्रिया काही जवळ नाही. जायलाच सात तास लागतील. एवढ्या प्रवासानंतर युक्लिडची भेट व त्याच्याशी बोलणे संपवून येणार कधी व शेतातील कामं आटपणार कधी... काही कळत नाही. ..."
थीओक्लीजच्या आवाजात निर्धार होता.
"नाही, डॅडी. मला अलेक्झांड्रियाला गेलेच पाहिजे. मी पूर्ण वेळ युक्लिडचा विद्यार्थी होणार आहे. शेती जमेल की नाही, हे सांगता येत नाही...."
डेंटिस हळू हळू थीओक्लीजच्या खांद्यावर हात ठेवत "माझा मुलगा गणितज्ञ होणार..." असे क्षीण आवाजात म्हणाला.

शुभ्र दाढी कुरवाळत युक्लिड म्युजियमच्या एका प्रशस्त हॉलमध्ये बसला होता. टेबलावर बोटं आपटत असलेल्याचा आवाजही येत होता.
"हे काही बरोबर झाले नाही...." ते स्वत:शी पुटपुटत होता.
त्याच्या समोर अथेन्सच्या एका श्रीमंत व्यापार्‍याची मुलगी, लिओनारा व तिच्या शेजारी आफ्रिकेतील एक राजपुत्र बसला होता. युक्लिडकडे न बघताच
"शहरभर भरपूर अफवा पसरल्या आहेत. नवीन विद्यार्थी गटा-गटाने आलेले आहेत. हे काही बरोबर नाही....” राजपुत्र सांगू लागला.
लिओनारा, "काय बरोबर नाही.. ?"
"सर्वांना असे वाटत आहे की एलिमेंट्समधील सर्व संकल्पनांचा शोध मीच एकट्याने लावला आहे. त्याचे सर्व श्रेय ते मला देऊ पाहत आहेत." युक्लिड
"हे एक महान ग्रंथ आहे यात शंका नसावी. पद्धतशीरपणे तर्कसुसंगत व स्पष्टीकरणासह.... त्यामुळे तुम्हालाच श्रेय द्यायला हवे..." लिओनारा.
"परंतु मी काही यातील सिद्धांताचा वा गृहितकांचा शोध लावला नाही. मी एक साधे सोपे असे एक पाठ्यपुस्तक लिहून काढले आहे. हे मात्र खरे की त्यात मी तर्कशुद्ध व सुसंगत मांडणी केली आहे. तरीसुद्धा....." युक्लिड
"त्यातील काही सिद्धांतांचे प्रूफ तुमचेच आहेत." राजपुत्र म्हणाला, " शिवाय तर्कसुसंगत मांडणी करणे हे लहान काम नाही."
युक्लिड होकार देत म्हणाला, " ते सर्व खरे आहे. परंतु माझ्याही अगोदरचे अनेक महान गणिती आहेत. त्यांचे ऋण लक्षात ठेवायला हवे. हिपोक्रेटस, थियुडिअस, युडोक्लियस, अरिस्टेअस, प्लॅटो... त्यानी शोधलेल्या या संकल्पना आहेत. या विद्यार्थ्यांनी त्याना श्रेय द्यायला हवे. मी फक्त त्यांची मांडणी केली आहे ."
लिओनारा खिडकीतून बाहेर बघत होती. अँफिथिएटर दिसत होते. येथेच युक्लिड लेक्चर देणार होता. "तुमच्या या लेक्चरची 300 विद्यार्थी उत्सुकतेना वाट बघत आहेत. तुम्हाला श्रेय नको असल्यास प्रथम तुम्ही त्याना पटवून द्या. "
युक्लिड टेबलावरील नोट्स गोळा करू लागला.
"मी एक पाठ्यपुस्तक लिहिलेला साधा शिक्षक आहे. " असे म्हणत बाहेर पडला.

युक्लिड अँफिथिएटरमध्ये पाय ठेवल्या ठेवल्या संपूर्ण गर्दी उठून उभी राहिली. टाळ्या वाजवून सगळ्यानी त्याचे स्वागत केले. थिओक्लीज कसाबसा पहिल्या रांगेत पोचला. उभे राहून हातातील The Elementsचे खंड फडकावू लागला. युक्लिडला या गर्दीची मानसिकता बुचकळ्यात टाकत होती.
"हे काही ठीक नाही. मी एक साधा शिक्षक आहे. जे काही श्रेय आहे ते गणिताला द्यायला हवे. मला नाही.:” असे सांगण्याचा तो प्रयत्न करत होता.

परंतु गर्दी असले काही ऐकण्याच्या मनस्थितीत नव्हती. जोरजोराने घोषणा दिल्या जात होत्या. युक्लिड थिएटरच्या कडेला येऊन बोलू लागला. थिएटरमध्ये शांतता पसरली. त्यातील प्रत्येकाला युक्लिडचा शब्द न शब्द ऐकण्याची घाई होती. युक्लिडच्यात अंगभूतपणे असलेल्या तर्कशक्तीला व त्याच्या शहाणपणाला मनापासून ते दाद देत होते.

"गणितात पाच गृहितकं वा पूर्वानुमान असून त्यांना आपण कुठल्याही पुराव्याशिवाय स्वीकारायला हवे. गणितातील तार्किक पद्धतीचे ते पाया आहेत. या गृहितकापैकी मागच्या वेळी तीन गृहितकाबद्दल मी चर्चा केली होती; दोन बिंदूंना जोडून सरळ रेषा काढता येते; ही सरळ रेषा दोन्ही बाजूने पहिजे तेवढी लांब करता येते आणि दोन बिंदू असल्यास त्यातून वर्तुळ काढता येते व त्यापैकी एक वर्तुळाचा मध्यबिंदू व दुसरा वर्तुळाचा परिघावरील बिंदू असेल. "

प्रेक्षागृहात नीरव शांतता होती. युक्लिड काही तरी नवीन रहस्यभेद करत आहे की काय असे वाटत होते. सर्व प्रेक्षक एकाग्र चित्ताने कान टवकारून त्याचे भाषण ऐकू लागले.
"या गृहितकाच्या आधारे सर्व सिद्धांतांना व समस्यांना उत्तरं सापडू लागल्या. आज मी चौथ्या गृहितकाबद्दल चर्चा करणार आहे. या आधारतत्वानुसार सर्व लंबकोन एकमेकाशी समसमान असतात. "
युक्लिड एक क्षणभर थांबला. व प्रेक्षागृहावर नजर फिरवली. खरे पाहता युक्लिडच्या गणिताच्या चर्चेच्या विषयापेक्षा युक्लिडला प्रत्यक्ष बघणे व त्याच्या तोंडावाटे आलेले शब्द न शब्द झेलणे याचेच कौतुक तेथे जमलेल्या विद्यार्थ्यांच्या चेहर्‍यावर ओसंबडून वाहत होते.
"कुणाला तरी मी काय सांगत आहे हे कळत असेल की… "
युक्लिड स्वत:शी पुटपुटला.
"दोन लंब रेषा एकमेकांना छेद दिल्यानंतर तयार होणारे काटकोनं वैशिष्ट्यपूर्ण व अती महत्वाचे कोन आहेत. एकमेकांना छेद दिलेल्या रेषेमुळे चार समान कोन तयार होत असल्यास त्या रेषांना आपण लंबरेषा म्हणू शकतो. यावरून लंबकोन हा संपूर्ण वर्तुळाचा एक चतुर्थांश हिस्सा असतो....... “
भाषण ऐकण्यासाठी गर्दीत अजूनही भर पडत होती……

भाषण संपल्या संपल्या युक्लिड बाहेरच्या दरवाज्याकडे जाऊ लागला. विद्यार्थ्यांनी वाटेतच त्याला गराडा घातला. त्यातील प्रत्येकाला युक्लिडनी पांघरलेली शाल, कपडे, पायातले वहाणं यांना स्पर्श करायचे होते. एका महान गणितज्ञाशी जवळीक साधण्यासाठी ते एकमेकाशी स्पर्धा करत होते. याच गर्दीने थिओक्लीजला युक्लिडच्या समोर उभे केले. घामाघूम झालेला थिओक्लीज हातातील The Elementsचे दोन - तीन खंड संभाळत "तुमच्या पुस्तकाने माझ्या आयुष्याला कलाटणी दिली." असे अडखळत म्हणाला.
"गणित तुझ्या आयुष्याला बदलू दे. माझी ही पुस्तकं इतर महान गणितज्ञांनी मांडलेल्या सिद्धांताचे मार्गदर्शक म्हणून काम करतील."
"नाही. तुमच्या या पुस्तकानेच मला स्फूर्ती दिली. त्यांच्या प्रेरणेमुळे माझे जीवन बदलले. " थिओक्लीजचे आग्रही वक्तव्य.
युक्लिड दरवाज्यातून बाहेर पडताना "मी फक्त शिक्षक आहे.." असे पुटपुटत होता.

युक्लिड हा साध्या सरळ शिक्षकाहून फारच वेगळा होता. युक्लिडने भूमितीचे ज्ञान आत्मसात केल्यानंतर त्याच्याच पठडीतील गणितज्ञांच्या भूमितीवरील कार्यांचा बारकाईने अभ्यास केले. प्रथम त्याने या विषयाची मूलतत्वे व काही स्वयंसिद्धे सांगितली. त्यांच्या आधारे प्रमेयांची तर्कशुद्ध मांडणी, पुरावे, व शेवटी निष्कर्ष असे शिस्तबद्ध स्वरूपात सर्व लिहून काढले. व The Elements या नावाने प्रसिद्ध केले. जगप्रसिद्ध झालेला हा भूमितीवरील ग्रंथ आहे. त्यातील तार्किक, अनुक्रमिक व निगमात्मक मांडणीमुळे भूमितीतील अनेक संकल्पनांचा अभ्यास 2300 वर्षानंतरही त्याच पद्धतीने होत आहे. त्यानी मांडलेले पाच आधारतत्वे - विशेष करून पाचवा आधार तत्व (दोन रेषांना छेदणाऱ्या तिसऱ्या रेषेमुऴे एका बाजूच्या दोन कोनांची बेरीज दोन काटकोनापेक्षा कमी असल्यास, त्या रेषा कुठेना कुठे तरी एकमेकांना छेदतात. समांतर रेषांचे आधारतत्व म्हणून हा ओळखला जातो) हा भूमितीचा पाया समजला जातो. व त्यालाच युक्लिडियन भूमिती म्हणून ओळखतात.

बायबलचा अपवाद वगळता युक्लिडच्या The Elementsचाच सर्वात जास्त अभ्यास, वापर, उजळणी झाली असेल. मुद्रण यंत्राचा शोध (1482) लागल्यानंतरच्या गेल्या 500 वर्षात त्याच्या हजारो आवृत्त्या छापल्या असतील. त्यापूर्वी लाखो लोकांनी हस्तप्रती तयार करून अभ्यास केला असेल. गेली 2000 वर्षे या पुस्तकानी गणित जगावर साम्राज्य केले.

तरीसुद्धा या ग्रीक शिक्षकांच्या कृतीतून आधुनिक जगाला खरोखरच फायदा झाला की नाही हाही चर्चेचा विषय होऊ शकतो.

संदर्भ: Marvels of Math: Fascinating Reads and Awesome Activities by Kendall Haven.
.........क्रमशः