वर्तुळ-कोन सिद्धांत
"
'वर्तुळ-कोन सिद्धांत' हा एक नव्याने पुढे आलेला विषय आहे. गेल्या साधारण सहा-एक वर्षांतील (माझ्या) अनुभवांवरून तो मला समजला. मग मी एक प्रयोग केला. त्या प्रयोगातून हा सिद्धांत शाबीत होतो, असे ध्यानी आले. तेव्हा त्या प्रयोगाची वारंवारिता वाढवली. काही प्रमाणे बदलली, आणि प्रयोग केले. याचवेळी माझ्या असेही ध्यानी आले की, काही जण (बहुदा अजाणता) असा प्रयोग करत असतातच. माझे प्रयोग आणि त्यांचे प्रयोग यातून असे दिसले की हा सिद्धांत शाबीत होत आहे. त्यामुळे मी असे ठरवले की माझ्या या निरिक्षणांना अधिक ठोस स्वरूप येण्यासाठी त्याची मांडणी करावी, आणि इतरांनी जाणीवपूर्वक हा प्रयोग करून तो शाबीत होतो का हे पहावे. हा माहितीपर चर्चाप्रस्ताव त्यासाठीच मांडतो आहे.
प्रयोग:
ध्येय: वर्तुळ गोल आहे, आणि त्याला कोन नसल्याने वर्तुळ ही कोनाकृतीच्या संदर्भात एक वृथा आकृती ठरते, हे मानवजातीने स्वीकारावे यासाठी वाद करता यावा.
साध्य: वर्तुळाला कोन नसतात, तर ते गोल(च) असते, हे शाबीत करणे.
साधने: एक वर्तुळ, एक कोनाकृती (कोन, त्रिकोण, चौकोन, पंचकोन वगैरे, अर्थात प्रत्येक आकृतीनुसार प्रयोग वेगळा होतो).
कृती: कोनाकृतीच्या कोणत्याही एका भुजेला आधार मानून तेथे वर्तुळ ठेवावे. वर्तुळ असे ठेवले पाहिजे की ते कोनाकृतीच्या सर्व भुजांना त्याचा स्पर्श झाला पाहिजे. म्हणजेच ते कोनाकृतीच्या आतमध्ये आले पाहिजे.
निरिक्षण: असे दिसते की, वर्तुळाच्या आत किंवा बाहेर कोनाकृतीचे कोन येतात. म्हणजे, ते वर्तुळ त्या कोनाकृतीला सामावून घेऊ शकत नाही, किंवा ती कोनाकृती वर्तुळाला सामावून घेऊ शकत नाही. थोडक्यात, असे दिसते की कोन स्वतंत्र दिसतात.
(माझ्या प्रयोगातील काही बाबी: मी वर्तुळाचा व्यास ज्या मापाचा आहे त्याच लांबीच्या भुजा असलेल्या कोनाकृती घेतल्या, त्यांचे कोन वेगवेगळे घेतले. पण सिद्धांत शाबीत होत गेला.)
निष्कर्ष: वर्तुळाला कोन नसतात, तर ते गोल असते.
सिद्धांत: कोनाकृतीचे कोन वर्तुळाच्या बाहेर राहतात, याचा अर्थ वर्तुळ गोल असते आणि वर्तुळ गोल असल्याने कोनाकृतीच्या संदर्भात ते 'वृथा' आहे. त्यामुळे कोणत्याही संदर्भात या वर्तुळाचा विचार करणे, त्याची कृती करणे किंवा त्यावर कृती करणे हेही 'वृथा' आहे. तेव्हा माणसाने कोणत्याही संदर्भात वर्तुळाचा नाद सोडला पाहिजे. माणसाच्या मर्यादित उर्जेचा यात क्षय तर होतोच, शिवाय त्याच्याकडील विचार करण्याच्या आणि विवेकाच्या क्षमतेचाही तो उपयोग करत नसल्याचे दिसते. या वर्तुळाने त्याला होत असलेले लाभ हेही 'वृथा'च आहेत, मग ते रंजनात्मक असोत वा ज्ञानप्राप्तीचे असोत वा अन्य काही.
लाभ: आधुनिक व्यवस्थापनशास्त्रात असाच एक प्रकार आहे. अॅपल टू ऑरेंज कम्पॅरिझन असं त्याला म्हणतात. पण तेथे दोन फळं आहेत, आणि चवीसंदर्भात ती खाल्ल्याशिवाय तुलना होत नाही, आणि एकदा खाल्ली की पुन्हा तुलनेची संधी संपते. वर्तुळ आणि कोनाकृती खाता येत नसल्याने एकाने एक वर्तुळ आणि एक कोनाकृती यावर केलेला प्रयोग दुसराही करू शकतो, आणि त्यातून वर्तुळ हे कोनाकृतीच्या संदर्भात वृथाच असते हे पुन्हा-पुन्हा सिद्ध करता येते.
येथील वाचकांनी हा प्रयोग करून पहावा आणि त्यांची निरिक्षणे मांडावीत ही नम्र विनंती.
याच प्रयोगाचा पुढे विस्तार करून तेथे वर्तुळाच्या जागी एक आणि कोनाकृतीच्या जागी दुसरी अशी एकेक कल्पना (ही कल्पना म्हणजे विचारप्रणाली, जीवनप्रणाली, उपचाराचे मार्ग, ज्ञानक्षेत्रातील विविध विषय असे काहीही असू शकते) ठेवून हा प्रयोग करता यावा. तेथही 'वर्तुळ-कोन सिद्धांत' शाबीत व्हावा अशी अपेक्षा आहे. सध्या मी त्यावर काम करतो आहे. माझी निरिक्षणे कालौघात मांडेन.
(या प्रस्तावासाठी येथे मला एकच 'फोरम' निवडावा लागला. वास्तवात, कोणत्याही विषया हा सिद्धांत लागू होणे शक्य असल्याने अशा कोणत्याही आणि कितीही 'फोरम'ची मला निवड करता आली पाहिजे. एवढी एक मर्यादा या मांडणीत येथे आहे.)
"
लेख आवडला
लेख आवडला. स्विफ्टच्या 'A Modest Proposal' ची अाणि बिशप व्हेटलीच्या 'Historic Doubts Relative to Napoleon Buonaparte' ची अाठवण झाली.
- जयदीप चिपलकट्टी
(होमपेज)
'वृथा ' या शब्दाचा अर्थ काय?
'वृथा ' या शब्दाचा अर्थ काय? ("व्यर्थ" म्हणतात तेच का?) आणि तो या संदर्भात आणखीन स्पष्ट करू शकाल का?
अर्थ
मी हा शब्द येथे व्यर्थ, निष्फळ अशा अर्थाने योजला आहे.
मोल्सवर्थचा दुवा.
उदाहरण
वृथा ' या शब्दाचा अर्थ काय?
व्यर्थ, उगाच, निष्कारण इत्यादि.
नाट्यसंगीत आठवा: आळ वृथा की चित्त दिले मी, कोणा परपुरुषाला ....
गोंधळलेलो आहे
भूमितीतील कल्पनांचा दृष्टांत देऊन जीवनविषयक मुद्दा मांडायचा आहे, असा काहीतरी भास होतो आहे. परंतु भूमितीतला सिद्धांत समजलेला नाही.
वर्तुळ गोल आहे आणि त्याला कोन नाहीत म्हणजे काय ते नेमके समजले नाही.
समभुज कोनाकृतींमध्ये कोनांची संख्या वाढत गेली तर कोनांची संख्या अगणित होता-होता समभुज कोनाकृती वर्तुळ होते. ("limit" ही गणिती संकल्पना मराठीत मांडायची आहे.) कोनाकृतींच्या बाबतीत सिद्ध असलेली अनेक गणिते मग वर्तुळाला लागू करता येतात. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ, परिघ वगैरे गणिताने शोधून काढण्याकरिता वर्तुळ=अगणितभुज कोनाकृती असा मार्ग आहे, वगैरे.
श्री. चिपलकट्टी यांना "Modest Proposal"ची आठवण आली, म्हणजे हा व्यंग्यनिबंध असावा, खास. पण भौमितिक दृष्टांतात अजून अडखळत असल्यामुळे मी गोंधळलेलो आहे.
भौमितिक तपशील दृष्टीआड करून हा ललितनिबंध वाचावा काय? नाहीतर हा लेख दुसर्‍या कुठल्या लेखाचे विडंबन आहे काय? असे असल्यास कोणी मूळ लेखाकडे बोट दाखवल्यास मला समजायला सोपे जाईल.
स्पष्टीकरण
केवळ तसेच म्हणता येणार नाही. मुळात एक निरिक्षण आहे, त्याची गृहितकात मांडणी करून ते सिद्ध करीत त्याचे सिद्धांतात रुपांतर होऊ शकते, असे वाटते आहे.
तेच सिद्ध करावयाचे आहे. सिद्ध झाले की अधिक समजण्यासाठी सांगता येईल.
याबद्दल धन्यवाद. हा भाग माझ्या ध्यानीच आला नव्हता. त्याअर्थी माझे निरिक्षण मर्यादित आहे, आणि त्यामुळे ते तेवढ्याच मर्यादेपर्यंत सिद्धांतात रुपांतरीत होऊ शकेल, हे स्पष्ट झाले. याचाच अर्थ या प्रयोगात, याविषयीच्या मांडणीत तुम्ही दिलेल्या तथ्याचा समावेश करावा लागेल. या तथ्यानुसार विचार केला तर या सिद्धांताला छेद देता येईल, अशी किमान एक शक्यता निर्माण होते, असे दिसते आहे. कोनांची संख्या अगणीत केली तर वर्तुळ आणि ती कोनाकृती यात भेद रहात नाही, असे काही मांडता येऊ शकते. तसे झाले तर मूळ सिद्धांतच गारद होऊ शकतो, किंवा तो अत्यंत मर्यादित स्वरूपातच लागू होऊ शकतो, असे म्हणता यावे. अर्थात, हा अधिक निरिक्षणांचा आणि प्रयोगाचा विषय आहे. सध्याची आवृत्ती संपली की हा विस्तार ध्यानी घ्यावा लागेल.
@ धनंजय लेखाच्या शेवटच्या
@ धनंजय
लेखाच्या शेवटच्या भागातील करड्या रंगाच्या अक्षरातील मजकूर वाचला तर आस्तिक-नास्तिक, अ‍ॅलोपथी-होमेपदी, हिंदू-हिंद्वेतर वगैरे वादांच्या काथ्याकुटाकडे निर्देश असावा अशी शंका येते. वर्तुळ आणि कोन (संत्री आणि सफरचंदे) यांची तुलना करून दोन्ही बाजू हवे ते 'सिद्ध' करतात असा मुद्दा असावा.
--------------------------------------------
ऐसीव‌रील ग‌म‌भ‌न इत‌रांपेक्षा वेगळे आहे.
प्रमाणित करण्यात येते की हा आयडी एमसीपी आहे.
+१
+१
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
येथील वाचकांनी हा प्रयोग करून
- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!
विधान
वर्तुळ-कोन सिद्धांत येथे जालावरील चर्चांना लागू केलेला दिसतो. पण ऋषिकेश यांचा जालावर मुबलक वावर आहे, या एकमेव पात्रतेच्या आधारे हे विधान अनुभवांती आलेले असल्याने ते सत्य आहे, असे मी मानू शकेन (आणि तुला असेच मानणारे इतर मानतील). मी तसे मानतोही. पण हे विधान तथ्यांच्या आधारे सिद्ध व्हावे लागेल. त्याची चिकित्सा करता यावी लागेल. प्रयोगांती ते सिद्ध झाले, कोणालाही तपासून पाहता आले तरच ते सत्य म्हणून स्वीकारता येईल. त्यादृष्टीने याविषयी काही विदा गोळा करता येईल का, असा एक प्रश्न आहे.
त्याचे कारण सांगतो, धनंजय यांनी अन्य एका संस्थळावर मराठीत विरळा, मराठी आंतरजालावर तर नवीनच म्हणावा असा एक लेख लिहिला होता. समलैंगीकतेविषयी. त्या लेखावर झालेली चर्चा या विधानात बसेल का? बहुदा नाही (वर्तुळ कोनाकृतीच्या भुजांना स्पर्श होईल असे ठेवण्यासाठी जितकी घासाघीस होते तितकी तिथे झाली होती, पण तो अपवाद असल्याने नियम सिद्ध होतो, असे म्हणता येते). म्हणजेच, हे विधान शाबीत करावयाचे झाल्यास त्याचे काही मापदंड लागतील. ते लावून हे विधान इतर कोणालाही तपासून पाहता येईल, आणि ते जर सिद्ध झाले तर वर्तुळ-कोन सिद्धांत जालावरील चर्चांना लागू करता येईल. अर्थात, त्यासाठी आधी सिद्धांत सिद्ध झालेला असावा लागेल. एरवी तो जालीय चर्चेसाठीचे गृहितक अशा स्थितीत स्वीकारून विद्याद्वारे सिद्ध केला, आणि म्हणून सिद्धांत झाला आणि म्हणून तो जालीय चर्चेला लागू होतो, असा काही 'वर्तुळन्याय' तयार व्हायचा. ते मानवजातीसाठी अधिक धोकादायक. माझी अशी विनंती आहे की हे विधान तथ्यात्मक विद्याद्वारे सिद्ध करण्याचा प्रयत्न झाला पाहिजे.
मस्तच....
झकास....
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
कठिण आहे
सफरचंद आणि संत्रे यांची तुलना करता येते की नाही, ते संदर्भावर अवलंबून आहे. उदाहरणार्थ कोणाला "किती कॅलरी-व्हिटॅमिने वगैरे खात आहोत" असा प्रश्न असेल, तर संत्र्यातील घटकांची सफरचंदाच्या घटकांशी तुलना करता येतेच.
परंतु "प्रत्येक फोडीमध्ये किती पाकळ्या असतात?" या प्रश्नाच्या संदर्भात बघायचे असले, समजा. संत्र्याच्या बाबतीत मोजमाप करता येते. सफरचंदाच्या बाबतीत मोजमाप निरवकाश आहे (=उपलब्धच नाही, ही बाब "संख्या=शून्य"पेक्षा वेगळी आहे). या संदर्भात तुलना करता येत नाही.
परंतु सफरचंद आणि संत्रे यांची तुलना करता येते की येत नाही, हे साधे विधान करून ठेवता येत नाही.
---
नुकताच ऐसीअक्षरे वर झालेला एक सुसंवाद आठवला. "मनुष्यांच्या प्रसारामुळे मनुष्येतर प्रजातींमध्ये झालेली उत्क्रांती" आणि "प्रागैतिहासिक काळात फुलणार्‍या वनस्पतींच्या प्रसारामुळे इतर प्रजातींमध्ये झालेली उत्क्रांती" यांची तुलना करायची असेल.
"सध्या पर्यावरण-संरक्षण कायद्यात काय तरतुदी असाव्यात" हा संदर्भ असेल तर तुलना निरवकाश आहे. परंतु "पृथ्वीवरील जीवसृष्टीचा अवघा इतिहास" हा संदर्भ असेल, तर तुलना करता येते.
---
@नितिन थत्ते : आस्तिक-नास्तिक होमियोपथी-अ‍ॅलोपथी वगैरे जोड्यांतसुद्धा तुलना सुसंदर्भ असू शकते किंवा नि:संदर्भ असू शकते. मला वाटते सुसंदर्भ विषयांत "हवे ते सिद्ध" करता येत नाही - माहिती आणि साधनसामग्री अपूर्ण असेल, तर सिद्धता समाधानकारक नसते, इतकेच. असंदर्भ विषयांत "हवे ते सिद्ध" करता येत नाही, कारण तुलना निरवकाश असते.
---
@श्रावण मोडक
>>"वर्तुळ गोल आहे आणि त्याला कोन नाहीत" म्हणजे काय ते नेमके समजले नाही. (इति धनंजय)
> तेच सिद्ध करावयाचे आहे. सिद्ध झाले की अधिक समजण्यासाठी सांगता येईल. (इति श्रामो)
"गोल" शब्दाचा अर्थ मला कळला नव्हता. "बिंदू" "रेषा" आणि "प्रतल" या कल्पना गृहीतक म्हणून घेतल्या, शिवाय "संख्या", "आत", "अधिक", वगैरे... तर "कोन" शब्दाचा अर्थ गृहीतक म्हणून घ्यावा लागत नाही. आधीच्या गृहीतक कल्पना जोडून त्याची व्याख्या करता येते. तसेच "वर्तुळ" शब्दाची व्याख्या मला ठाऊक आहे. परंतु (वर्तुळ-समानार्थी पेक्षा वेगळा) "गोल" शब्द मला ठाऊक नाही. त्यामुळे मला वाक्य समजलेले नाही. असे म्हणायचे होते. त्यामुळे काय सिद्ध करायचे आहे, ते कळले नाही. म्हणून सिद्धता कळली नाही.
भिन्न
किंचित या विषयापेक्षा भिन्न, पण स्पर्शून जाणारा मुद्दा आपण मांडला आहे.
हे पटू शकते. या विशिष्ट प्रयोगासाठी मात्र ते स्वीकारले तर प्रयोगालाच छेद जातो. प्रयोगाची गरज संपतेही. स्वाभाविक कारणांसाठी मी थोडी प्रतीक्षा करेन...
सर्क्युलर अर्ग्युमेंट
धागा आणि प्रतिसाद वाचून असे वाटले की श्रामो हे एका भल्यामोठ्या वर्तुळावर चालून वर्तुळाच्या कोनांचा शोध घेत आहेत.
(मला साध्य कळेल असेल, आणि ते तुम्हालाही कळले असेल, तर वरील वाक्यातला विनोद दुहेरी होईल(?))
-Nile
धन्यवाद
तुमचे हे निरिक्षण या प्रयोगात मौलीक भर टाकणारं आहे. या प्रयोगाबाबत मी म्हटलं की अनेक मंडळी (बहुदा अजाणता) हा प्रयोग करत असतात. त्या प्रयोगांकडे मी पाहतो तेव्हा माझे त्यांच्याविषयीचे निरिक्षण तेच आहे. मी तोच प्रयोग स्वतःवर करतोय. मी ज्याला सिद्धांत मानतो, ते वास्तविक सार्वत्रिकासाठी गृहितकच आहे, ते सिद्ध करण्याकरता अशा सार्वजनिक स्वरूपात प्रयोग करण्यासाठी आणि त्याची चिकित्सा करण्यासाठी तो मांडला पाहिजे, या भूमिकेतून येथे मांडणी केली. तुमचे निरिक्षण अगदी योग्य असावे, असे मला वाटते आहे. माझा प्रयोग पूर्ण झाला, पुरेसा विदा मिळाला, चिकित्सेला तो पात्र ठरला की त्याची मांडणी करेन.
प्रयोगवही
शाळेतल्या प्रयोगवहीतील पानच चाळतो आहे असे वाटले. आकृत्या नसल्याने किंचित रसभंग झाला.
अवांतरः टायमिंग उत्तम जमले आहे.
वर्तुळ गोल आहे, आणि त्याला
वर्तुळ गोल आहे, आणि त्याला कोन नसल्याने वर्तुळ ही कोनाकृतीच्या संदर्भात एक वृथा आकृती ठरते हे तुमच्या निरिक्षणात नोंदवलेल्या मर्यादेमुळे सिद्ध होतही असेल. पण कोनाकृतीचे (उदा. चौरस) कोन समान ठेवले, किंवा वर्तुळाचा व्यास हा कोनाकृतीच्या भुजांपेक्षा लहान असला तर कोनाकृती वर्तुळाला, किंवा वर्तुळ कोनाकृतीला सामावून घेऊ शकेल असे वाटते. मग वर्तुळ ही कोनाकृतीच्या संदर्भात एक वृथा आकृती ठरते असे म्हणता येणार नाही, नाही का? दिलेल्या मर्यादा पाळायच्या असतील तर सिद्धांत खरा ठरेलही.
-अनामिक
रास्त
प्रयोगाविषयीचा रास्त आक्षेप आहे. पण,
हे आपले ध्येय आहे. (तिरप्या ठशातील शब्द आत्ताचा). ठळक ठसा (जो मुळात आहे) ध्यानी घ्यावा ही विनंती.
एरवी आपण म्हणता तेच खरे आहे, आणि इतर मंडळी (बहुदा अजाणता) जे प्रयोग करतात त्याविषयी माझे तेच निरिक्षण आहे.
शंका
>>>निरिक्षण: असे दिसते की, वर्तुळाच्या आत किंवा बाहेर कोनाकृतीचे कोन येतात. म्हणजे, ते वर्तुळ त्या कोनाकृतीला सामावून घेऊ शकत नाही, किंवा ती कोनाकृती वर्तुळाला सामावून घेऊ शकत नाही. थोडक्यात, असे दिसते की कोन स्वतंत्र दिसतात. <<<
हे चुकीचे वाटते.
नो आयडियाज् बट इन थिंग्ज.
हो
हो. अगदी बरोबर. हा आणि असे मुद्दे या सिद्धांताचे पोटभाग होतील. थोडक्यात सिद्धांत नेट्का मांडायला हवा अजून. तुम्ही मांडलेला हा मुद्दा याआधीच अतिवास यानी अन्यत्र मांड्ला आहे.
अन्यत्र गणितातील लिमिट या कल्पनेच्या आधारे धनंजय यांनी कोन अगणीत झाले की कोनाकृतीचे वर्तुळ होते हे लिहिले आहेच. तोही असाच मुद्दा आहे.
पण या दोन्ही बाबींमुळे कदाचित मूळ सिद्धांतच गारद होऊ शकतो. गोलाला कोन असतात आणि त्यांची संख्या अनंत असल्याने ते कळत नाहीत, किंवा कोनाकृती गोलच असते, केवळ सूक्ष्मतम निरिक्षणामुळे तिचे कोन दिसतात, असे म्हणता येऊ शकेल, असे वाटते.
एरवी, माझ्या मूळ प्रयोगात वर्तुळ हे कोनाकृतीच्या एका भुजेवर ठेवावयाचे आहे, ते येथे हुकते आहे, असे निरिक्षणांती दिसते. कोनांवर अधिक भर असल्याने हा भाग निसटला असावा तुमच्याकडून. माझे निरिक्षण असे दाखवते की, वर्तुळाचा परीघ कोनाकृतीच्या कोनांना स्पर्श करतोय, पण कोनाकृतीच्या भुजेवर वर्तुळ येत नाही. त्यामुळे कदाचित हा मुद्दा या सिद्धांताचा पोटभाग ठरू शकणार नाही.
हा प्रयोगाच्या पुढच्या आवृत्तीचा भाग आहे. ते करून पाहीन.
पुरवणी
माझे निरिक्षण असे आहे:
यातील 'ते वर्तुळ त्या कोनाकृतीला सामावून घेऊ शकत नाही' हे चुकीचे वाटते, हे खरे आहे. पण 'ती कोनाकृती वर्तुळाला सामावून घेऊ शकत नाही' असे निरिक्षणातील पुढचे वाक्य आहे. त्यामुळे मी दोन्ही शक्यता वर्तवलेल्या आहेत; ती दुसरी शक्यताच आपण येथे दाखवली आहे, असे वाटते. बरोबर आहे का?
(दोन प्रतिसादांतील वेळेविषयी प्रश्न निर्माण झाला का? हा प्रतिसाद मी त्यासंबंधातच तीनदा संपादित केला आहे.)
विचारप्रवर्तक लेख
विषय विचारप्रवर्तक वाटल्याने कळ-बडवेगिरी करतो.
१. धनंजय म्हणतात : "समभुज कोनाकृतींमध्ये कोनांची संख्या वाढत गेली तर कोनांची संख्या अगणित होता-होता समभुज कोनाकृती वर्तुळ होते."
-हे भूमितीच्या दृष्टीने बरोबर आणि समाजशास्त्राच्याही. जेवढे दृष्टीकोन अधिक तेवढे अंतिम मत सर्वसमावेशक ...(अथवा सबगोलंकार/गुळमुळीत).
२. वर्तुळ तयार करण्याचा आणखी एक प्रॅक्टिकल मार्ग आहे - सर्व कोन तासून/घासून काढणे. जितके जास्त घासावे तितके गोलाकार योग्य बनतो. (असे करण्यासाठी उपलब्ध असलेल्या काही खास उपकरणांची उदाहरणे आहेत.)
- हे भारतासारख्या अजस्त्र आणि पिकलेल्या (की सडलेल्या) संस्कृतीला लागू होते. इतका काळ घासघासल्यावर कोणतेही आदर्शवादी कंगोरे शिल्लकच राहू शकत नाहीत.
३.शून्याला वर्तुळाचा आकार भारतीय तत्त्वज्ञ/ गणितींनी का दिला असेल?
- जे वर्तुळाकार आहे त्याला काहीच अर्थ नाही (म्हणजे एकंदर विश्वालाच) असे त्यांना सुचवायचे होते काय?
आणि शेवटी हे अवांतर-
४. यावरून उगाचच आठवले - 'अजब न्याय वर्तुळाचा' किंवा 'कॉकेशियन चॉक सर्कल' किंवा त्याच्याही मूळच्या चिनी नाटकात खडूने वर्तुळच का काढले असावे? चौकोन किंवा त्रिकोन किंवा षट्कोन का काढला नसेल?
मार्मीक
मार्मीक मुद्दे आहेत. त्यात कळबडवेगिरी या शब्दाने तर चार चांद लावले. या सिद्धांताच्या सिद्धतेनंतर बहुदा तो विविध विषयांना लावल्यानंतर या चारही मुद्यांची मार्गदर्शिका देता यावी. त्यात कळबडवेगिरी हा मुद्दाही समाविष्ट केला जाईल. धन्यवाद.
आणि हो, ;)
आणि हो, ते एक राहिलेच की! {- असे म्हणणेही, वर्तुळाला आणखी गोल (म्हंजे? म्हंजे,म्हंजे- वाघाचे पंजे,कुत्र्याचे कान आणि जिराफाची की उंटाची मान)करणारे असते.}
तर, हे घ्या ते राहिलेले-
केक्युलेचे स्वप्न (स्वतःची तोंडात शेपटी पकडणारा साप), फूट-इन-माऊथ डिसीझ आणि पिंपळपानावर पायाचा आंगठा चोखणारा श्रीकृष्णनारायण हे सारे त्या वर्तुळाचेच आविष्कार नव्हेत काय?
अवांतर
बुद्धीला ताण देऊन सदस्यांना शीण आला असेल तर मधे थोडे अवांतर.
दोन वेडे 'वर्तुळाकृती' चंद्राकडे एकटक बघत होते.
वेडा१: मला तिथे जावसं वाटताय.
वेडा२: जा नं, मी टॉर्च मारतो, तू त्या त्रिकोणी झोतावरुन चालत जा.
वेडा१: नको बाबा.
वेडा२: का रे ?
वेडा१: तू मधेच टॉर्च बंद केलास तर ?
वर्तुळात फिरताना श्रामोंना
वर्तुळात फिरताना श्रामोंना "मी कोन?" असा प्रश्न पडून हा लेख प्रसवला गेला वाट्टं
--------------------------------------------
ऐसीव‌रील ग‌म‌भ‌न इत‌रांपेक्षा वेगळे आहे.
प्रमाणित करण्यात येते की हा आयडी एमसीपी आहे.
वर्तुळाचा 'न'वा कोन
हाहा. श्रामो नेहमीच वर्तुळाचा नवा कोन (nth angle)शोधत असतात.
भूमितीतील कल्पनांचा दृष्टांत
मलाही तसाच भास झाला.
दुसरा लेख वाचला नाही, म्हणून त्यावर टिप्पणी करता येत नाही. पण मॉडेस्ट प्रपोझलला जी धार आहे, आणि मांडणीमध्ये जो स्पष्टपणा आहे, त्याची सर या लेखाला नाही. धनंजयने सुचवल्याप्रमाणे, सैद्धांतिक आणि भौमितिक भाषेत एक भोंगळपणा आलेला आहे. तो दुरुस्त केल्यास लेख परिणामकारक होऊ शकेल.
'वर्तुळ हे गोल आहे, कोनाकृती नाही' हे सिद्ध करण्याच्या प्रयत्नापेक्षा 'एखादी आकृती वर्तुळ आहे की नाही, हे ठरवण्याचे निकष' या पद्धतीने लेखाची मांडणी परिणामकारक होईल.
सिद्धांत
आपल्या मताचा आदर आहे. कदाचित, ते सत्यही असेलच.
तथापि, मला यासंदर्भात आणखी एक कोन मांडायचा आहे. 'वर्तुळ-कोन सिद्धांत' या शीर्षकाखालील मजकूर लेख या आकृतीबंधात मोडतो का, हे आधी ठरवावे लागेल. माझ्या मते ते एका प्रयोगाचे वर्णन आहे. आणि त्या दृष्टीने पाहिल्यास ते प्रयोग-कृतीच्या वर्णनाच्या संशोधन-लेखन पद्धतीत बसते का, हे पाहणे अधिक महत्त्वाचे ठरावे. त्या दृष्टीने मी अन्यत्र या लेखनात 'गृहितक'च नाही, असे निरिक्षण नोंदवले आहे. या लेखनासंबंधात अशा मर्यादा, चुका, उणिवा, त्रुटी अधिक दाखवल्या जाव्यात, अशी माझी अपेक्षा आहे. लेखनातील चुकीमुळे संपूर्ण सिद्धांतच गारद व्हायचा, असे होता कामा नये, यासाठी ते आवश्यक आहे.
या मजकुराला 'लेख'च्या मापदंडातून पाहणे हा वर्तुळ-कोन सिद्धांताचा प्रयोगच झाला त्याबद्दल मात्र आपल्याला धन्यवाद. माझ्या लेखनातील करड्या रंगातील कल्पनांचा प्रयोग आपण केला आहे, तो इथे किंवा अन्यत्रही मला दिसला नाही. प्रयोगाला अधिक धार आणण्याकडे त्यामुळे एक पाऊल पडले आहे हे नक्की.
आपली अशीच आणखी निरिक्षणे मांडावीत ही विनंती. विशेषतः (मला काय सांगायचे आहे ते असो, पण त्यापेक्षा) काय सिद्ध करण्याचे प्रयत्न केले जावेत हेही त्यात यावे. प्रयोगाचे दूरगामीत्व ध्यानी घेता त्यात भविष्यात अशा शक्यता समाविष्ट कराव्या लागतीलच. अशा शक्यता तपासणे हीदेखील चिकित्साच आहे. प्रश्नांना सामोरे गेल्याशिवाय सिद्धांत मांडता येणार नाहीच. किंवा मांडला तरी तो अपुरा, भोंगळ असेल. म्हणजेच, निरुपयोगी.
या मजकुराला 'लेख'च्या
मला त्याला नुसतं मजकूर म्हणायलाही हरकत नाही. लेख हा शब्द मी साधारण त्याच अर्थाने वापरला होता. अर्थात मजकूर म्हणणं, किंवा 'प्रयोगाचे वर्णन' म्हणणं हाही तसाच प्रयोग म्हणता येईल मग. शब्दांचे विशविशीत अर्थ ही गृहितकं आहेतच. काय करणार?
संशोधन पद्धती
माझा मुद्दा निसटतो आहे बहुदा. विशविशीतपणाबाबत आपण म्हणताहात म्हणजे ते बरोबरच असणार. ते मला मान्य आहे. त्यामुळे त्या मुद्यावर काही चर्चा करण्याची गरज नाही. त्याजागी माझे प्रयोगवर्णन अधिक नेमके होणे हा मुद्दा महत्त्वाचा.
असे नसावे, असे मला वाटते. संशोधन-लेखन कसे करावे याची पद्धत असावीच. विज्ञानाच्या प्रत्येक शोधामध्ये ती असत असावीच. नसेल तर ती व्यक्तीसापेक्ष सत्ये होत जातील. त्या दृष्टीने मी केलेले प्रयोगाचे वर्णन संशोधन-लेखन पद्धतीत बसते का, याविषयी मार्गदर्शन हवे आहे. विशेषतः वैज्ञानिक पद्धती कशी असते, असावी, वगैरे. येथे हाती घेतलेला विषय मानव्य या क्षेत्रातील असला तरी तिथे ती पद्धती लावता येत असावीच, असे वाटते म्हणून ही पृच्छा.
धागा रोचक आहे. समभुज
धागा रोचक आहे. समभुज कोनाकृतीमध्ये कोनांची संख्या वाढत गेल्यावरची लिमिटिंग केस म्हंजे वर्तुळ, हा मुद्दा ध्यानात आलाच होता.
धनंजय यांच्या प्रतिसादातील जीवनविषयक भाष्याचा वास आला होता, पण नितिन थत्ते यांचा प्रतिसाद वाचल्यावर संदर्भ आणि युक्त्या-प्रयुक्त्या अंमळ पचनी पडल्यागत वाटले. पण न जाणो, हाही एक कोन ठरेल म्हणून मी गप्प बसलो
धनंजय यांच्या सुसंदर्भ आणि नि:संदर्भ वाल्या मुद्द्याशी सहमत. मतामतांचा गल्बला लैच माजणे म्हंजे मूळ विषय किंवा त्याची मांडणी यांत कुठेतरी भोंगळपणा आहे असे मलाही वाटते.
बाकी राजेश घासकडवी यांच्या प्रतिसादातील
हा मुद्दा रोचक आहे. बस वर्तुळाकार प्रतिपादनाने कोनाचे वर्तुळत्व प्रतिपादिले जाऊ नये म्हंजे मिळवले
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
अवांतर
हे अवांतर आहे. धाग्याच्या मूळ विषयाशी थेट संबंधित नाही.
येथे मूळ विषय लिहिणाऱ्यावर अन्याय होतो, असे वाटत नाही का? या मतेमतांतरांच्या जोरावर मूळ लेखनातील भोंगळपणा कसा जोखता यावा, हे कळत नाही. मूळ लेखन वर्तुळाकार आहे, आणि त्यात कोन शोधायचा प्रयत्न केल्यानंतर कोन सापडत नसल्याने ते वर्तुळ गोलाकार आहे, असे गर्जत सुटणे, असाच हा प्रकार वाटतो, हे बरोबर आहे का?
हम्म. माझे विधान हे मुख्यतः
हम्म. माझे विधान हे मुख्यतः सुसंदर्भ आणि निश्चित, नेमकी विधाने करता येणार्‍या विषयांना ( मोर ऑर लेस 'एग्झॅक्ट' सायन्सेस) केंद्रीभूत ठेवून लिहिलेले होते. मानव्य शास्त्रांतील बरेचसे विषय इतके नेमके नसतात, पण निव्वळ मतामतांच्या गल्बल्यामुळे ती शास्त्रे गंडकी ठरत नाहीत हेही बरोबर. हे आधी लक्षात आले नव्हते.
त्यामुळे माझे विधान त्या विशिष्ट चौकटीसंदर्भात पाहिले असता ठीक वाटेल. शेवटच्या प्रश्नाचे उत्तर माझ्या मते "बरोबर" असे आहे.
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
रोचक धागा
एका वर्तुळाचे १० समान भाग करुन. त्या दहा बिंदूपासुन १ ते १०च्या पाढ्यांचे [शेवटच्या अंकाचा बिंदू घेउन] आकार आठवले. एकाच वर्तुळात सर्व पाठ्यांचे आकार काढले तर जे काय दिसते ते रोचक आहे. प्रत्येक आकृतीचा रंग वेगवेगळा... समजवण्याकरता अजुन लिहावे लागेल त्यापेक्षा खालील व्हिडीओच बघा.
मस्त
प्रयोग मस्त पण गणित कच्चे असलेल्यांची थोडी पंचाईत होते.
अल्पावधीसाठी हा प्रयोग वृथा असला/वाटत असला तरी, दीर्घकालात ही तुलना वृथा असल्याचे जबाबदार पक्षकारांना जाणवते हा या प्रयोगाचा फायदा नक्की आहे, तसेच ज्यांचे ह्या आकृतींच्या संदर्भात काहीच मत नसते त्यांचे अमूक एक मत ह्या प्रयोगाच्या निमित्ताने बनते हा साईड इफ्फेक्ट आहेच, तसेच ह्या निमित्ताने आपआपल्या वस्तर्‍याला(पेन्सिलींना) धार करता येते, व एकदा पारावर जमल्यावर हे थोडंफार होणारच असंही वाटत.
वर धनंजयने दिलेले अगणित कोनांचे उदाहरण रोचक आहे, ते ह्या प्रयोगात कसे बसु शकते हे बघितले पाहिजे.
गणित
दीर्घकालात तुलना वृथा असल्याचे जाणवणे हा एक फायदा असणे हे या प्रयोगाचे महत्त्व ठरावे. आपण म्हणता त्याप्रमाणे, गणित सोपे करता येईल का?
इथे पंचाईत झालेली बरी,
इथे पंचाईत झालेली बरी, सुलभीकरणात 'लॉस्ट इन ट्रान्सलेशन' चा धोका असतो असा माझा अनुभव आहे, किंवा सुलभ सुलभीकरण करता न येणे हा माझा दुर्गुण असावा. पण प्रत्येकाने प्रयोग स्वतः न केल्यास लाभ-प्राप्ती होत नाही असं वाटतं, तसं असल्यास इथे सापेक्ष प्रयोग-भुमिका मांडण्यात काय फायदा आहे असा विचार करतो आहे.
तूर्त
आपले म्हणणे अधिक घासून पाहण्यास माझ्याकडे काही (प्रमाणे, तथ्ये, सत्ये, सापेक्ष सत्येही) नसल्याने तूर्त मी आपल्याशी सहमत आहे. नव्या निरिक्षणांती नवे तथ्य सामोरे आले तर माझे म्हणणे बदलेल.
अवांतर पण बरेचसे समांतर
गणिती सूक्ष्मता थोडीशी बाजूला ठेवून स्थूलपणे असे म्हणता येईल :
वर्तुळ हे जरी अनंत समभुज कोणांचे मिळून बनत असले तरी वर्तुळ ही एक स्वतंत्र एन्टिटी असते. तिची स्वतंत्र ओळख असते. कोणाची सर्वच प्रमेये वर्तुळावर सिद्ध करता येतील असे नाही आणि उलटही. रसायनशास्त्रात अनेक अणू एकत्र आल्यावर एक रेणू(मॉलेक्यूल्)बनतो आणि त्याचे गुणधर्म मूळ अणूंपेक्षा वेगळे असतात तसेच काहीसे. वर्तुळ हा कोणसमूह मानला तर समूहाची वागणूक (बिहेविअर) तिच्या एककापेक्षा भिन्न असू शकते. समूहाचा भाग असलेली व्यक्ती जेव्हा समूहात असते तेव्हा तिला समूहाचे नियम लागू होतात म्हणून वैयक्तिक वर्तणूक आणि समूहाची वर्तणूक यांची सांगड कित्येकदा घालता येत नाही.जेव्हा व्यक्तीचा वैयक्तिकपणा संपून रेजिमेंटेशन होते,डावा पाय एकसमयावच्छेदेकरून सर्वांचा खाडकन डावाच पडला पाहिजे असे मेंदूमार्जन होते तेव्हा अशी सांगड घालता येते.
श्रेणी
मार्मीक! मला प्रतिसादाला श्रेणी देता येत नसल्याने (या धाग्यावर) येथे दिली.
स्थूलपणे म्हणता म्हणता एक
स्थूलपणे म्हणता म्हणता एक गणिती तत्वच सांगितले आहे आपण
इंडिव्हिज्युअल आणि अ‍ॅग्रिगेट बिहेवियर हे एकमेकांपासून बर्‍याचदा वेगळे असते किंवा सारखेच(फक्त पॅरामीटर व्हॅल्यूज बदलून). स्टॅटिस्टिक्समध्ये याची उदाहरणे चिकार सापडतील. उदा. नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन फॉलो करणार्‍या व्हेरिएबल्सच्या व्हॅरियन्सचे डिस्ट्रिब्यूशन मात्र काय-स्क्वेअर असते.
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
काय स्क्वेअर्ड असते?
काय स्क्वेअर्ड असते? - काय की!
- स्लेष करण्याचा एक χῖण प्रयत्न.:)
'काय'रस आवडल्या गेला आहे
'काय'रस आवडल्या गेला आहे
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
१. स्वतंत्र ओळख म्हणजे काय? २. समूहांची वागणूक
बहुधा प्राचीन काळापासून तत्त्वज्ञानात चर्चिला जाणारा प्रश्न "व्यक्ति की जाति" ("द प्रॉब्लेम ऑफ युनिव्हर्सल्स" येथे) काहीसा निगडित आहे.
"स्वतंत्र एन्टिटी" म्हणजे काय? (कोनाकृतीचे कुठले प्रमेय आहे, जे वर्तुळावर सिद्ध करता येत नाही? त्रिकोणाबाबत अशी काही प्रमेये मला माहीत आहेत, पण ती प्रमेये चौकोनावरदेखील सिद्ध करता येत नाहीत. पण मग त्रिकोण, चौकोन, ... सर्वच स्वतंत्र एन्टिटी आहेत. त्याच प्रमाणे समभुज-त्रिकोणावर, काटकोन-त्रिकोणावर वगैरे वेगवेगळी सिद्ध करता येणारी कित्येक प्रमेये आहेत. त्यामुळे प्रत्येक वेगवेगळा त्रिकोण स्वतंत्र एन्टिटी आहे. असे करता-करता आपल्याला जाणते की प्रत्येक "व्यक्ती" स्वतंत्र ओळखीची आहे, आणि जाति=युनिव्हर्सल करिता अर्थ्पूर्ण जागाच राहत नाही. वगैरे.)
समूहांची वागणूक हा वेगळा मुद्दा आहे. तो बहुधा खरोखर अवांतर आहे. पण हे लक्षात घेण्यालायक आहे की ३ कोनांच्या समूहाची वागणूक आणि चार कोनांच्या समूहाची वेगवेगळी वागणूक आहे. त्यामुळे वर्तुळ एकीकडे आणि वर्तुळ-सोडून-उर्वरित-बहुकोनीय-आकृती एकीकडे असे वैशिष्ट्य कळत नाही. (रसायनशास्त्रीय दृष्टांतात २ ऑक्सिजनांचे सुंयुग आणि ३ ऑक्सिजनांचे संयुग ओझोन यांची वागणूक वेगळी आहे. त्यामुळे "संयुगे" एकीकडे आणि क्ष-अणूंचे स्वतंत्र अस्तित्वाचे संयुग एकीकडे असे वैशिष्ट्य सांगता येत नाही.)
> वैयक्तिक वर्तणूक आणि समूहाची वर्तणूक यांची सांगड कित्येकदा घालता येत नाही.
येथे "कित्येकदा" कळीचा शब्द आहे. कधीकधी घालता येते आणि कधीकधी घालता येत नाही. फक्त कवायती मेंदूमार्जनाच्या अवस्थेतच सांगड घालता येते, असे म्हणणे ठीक वाटत नाही. उदाहरणार्थ धोबीघाटावर सुद्धा "वैयक्तिक साबणाचे पाणी नाल्यात जात आहे" आणि "सामूहिक साबणाचे पाणी नाल्यात जात आहे" असे म्हणता येते. एक धोबी उजव्या हाताने कपडे धूत असेल, दुसरा डाव्या हाताने...
---
वर्तुळ-कोन म्हणा, रासायनिक संयुग म्हणा... या दृष्टांतांशी माझे तसे भांडण नाही. परंतु हे दृष्टांत कुठल्या परिस्थितीत लागू आहेत आणि कधी लागू नाहीत याबाबत मार्गदर्शन मिळत नाही. त्यामुळे मला दृष्टांत असमाधानकारक वाटतात. ललित वाङ्मयात दृष्टांत-उपमा जितक्या जोरकस अनुभव करून देतात, तितपत वैचारिक वाङ्मयात नाही. कधीकधी स्पष्टीकरणाचा भास करवून मुद्दे गढूळ करतात. ललित वाङ्मयातीत दृष्टांत कथावस्तूला लागू केलेले असतात, म्हणून असेल, कदाचित.
अवांतर : दोन इंग्रजी म्हणी/दृष्टांत घ्या (अ) Many hands make light work. (आ) Too many cooks spoil the broth. दुसर्‍या दृष्टांतात गडबडून घोटाळा करणारे अनेक आचारी डोळ्यासमोर येतात. पहिल्या दृष्टांतात अवजड ओझे अनेक कामकर्‍यांनी हात लावल्यामुळे (प्रत्येकाकरिता) हलके झाल्याचे अंगाला जाणवते. ती-ती म्हण ऐकतात मुद्दा स्पष्ट झाल्याचा भास होतो. परंतु दोन्ही म्हणींचा/दृष्टांतांचा निर्देश अगदी उलट आहे.
खरे तर घटना घडून गेल्यानंतर पश्चाद् बुद्धीने म्हणण्याकरिता या म्हणी उपयोगी आहेत, इतकेच. घटना अशी असली की सांघिक कार्य फिसकटले, तर दुसरी म्हण वापरायची, सांघिक काम फत्ते झाले तर पहिली म्हण. परंतु भावी कार्य योजताना दोन्ही म्हणी एकमेकांना छेद देऊन निष्प्रभ करतात. तारतम्याने बघावे, काम हलके होईस्तोवर संघ वाढवावा, एकमेकांत अडखळल्यास संघ छोटा करावा... असा मुद्दा पैकी कुठल्याच दृष्टांतात नाही.
हे म्हणजे
अप्रॉक्झिमेट द अप्रॉक्झिमेशन, असे झाले!
-Nile
मस्त चर्चा
मस्त चर्चा
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars