सममित आकृतींचा शोध - भाग ३

सममित आकृतींचा शोध

बालमोहन लिमये

भाग ३

चार मितींच्या विश्वातील आकृती

तीन मितींच्या अवकाशातच थांबून राहणे गणितज्ञांना रुचत नाही. चार किंवा अधिक मितींच्या विश्वातील आकृती आपण डोळ्यांसमोर आणू शकत नसलो तरी एक मितीच्या सरळ रेषेकडून दोन मितींच्या प्रतलाकडे (plane) जाताना आणि तेथून तीन मितींच्या अवकाशात (space) जाताना ज्या गोष्टी घडतात तशाच काहीशा तीन मितींच्या अवकाशातून चार मितींच्या विश्वात गेल्यावर घडतील असे धरून चालले तर काही आडाखे बांधणे शक्य असते. उदाहरणे देऊन ही गोष्ट स्पष्ट करता येईल.

पहिले उदाहरण सोपे आहे. सुरुवात सरळ रेषेवरील एका रेषाखंडापासून (straight line segment) करायची. सरळ रेषेच्या बाहेर प्रतलावर एक सुयोग्य बिंदू घेऊन तो रेषाखंडाला जोडला की आपल्याला एक समभुज त्रिकोण मिळू शकतो. त्या प्रतलाच्या बाहेर अवकाशात असाच एक बिंदू घेऊन तो त्रिकोणाला जोडला की आपल्याला सुसम चतुष्फलक (tetrahedron) मिळू शकतो. त्याचप्रमाणे अवकाशाच्या बाहेरील विश्वात एक विशिष्ट बिंदू घेऊन तो चतुष्फलकाला जोडला की आपल्याला चार मितींच्या विश्वातील एक आकृती मिळू शकते; ही आकृती सोप्या रीतीने मिळत असल्याने तिला 4-सरलाकृती (4-simplex) असे नाव देतात. लागोपाठ मेरू (pyramid) बनवण्याची ही प्रक्रिया खालील चित्रात दाखवली आहे.



दुसरे एक उदाहरण असे आहे. सरळ रेषेवरील एक रेषाखंड प्रतलावर सरकवत (translate) वर नेला की आपल्याला एक चौरस मिळतो. तो चौरस त्याच्या लांबीच्या अंतराइतकाच अवकाशात पुढे आणला की आपल्याला घन (cube) मिळतो. त्याचप्रमाणे तो घन अवकाशाच्या बाहेरील विश्वात चौथ्या लंब दिशेने तितक्याच अंतरावर सरकवत पाठवला की आपल्याला चार मितींच्या विश्वातील दुसरी आकृती मिळू शकते. तिला 4-घन (4-cube) असे म्हणतात. रेषाखंडाचा लागोपाठ कार्टेशी गुणाकार (cartesian product) घेत जाण्याची ही प्रक्रिया खालील चित्रात दाखवली आहे.



तिसरे उदाहरण जरा गुंतागुंतीचे आहे. सरळ रेषेवरील एका रेषाखंडाचा लंबदुभाजक (perpendicular bisector) वर आणि खाली ठराविक प्रमाणात सारखाच वाढवला आणि त्याची दोन टोके रेषाखंडाला जोडली की आपल्याला प्रतलावरील उभा चौरस मिळू शकतो. त्या चौरसाच्या मध्यबिंदूतून प्रतलाला काटकोनात छेदून सारख्याच अंतरावर आरपार जाणारा योग्य लांबीचा रेषाखंड काढला आणि त्या रेषाखंडाची दोन टोके चौरसाला जोडली की आपल्याला अवकाशातील सुसम अष्टफलक मिळू शकतो. त्याचप्रमाणे त्या अष्टफलकाच्या मध्यबिंदूतून अवकाशाला काटकोनात छेदून सारख्याच विशिष्ट अंतरावर आरपार जाणारा रेषाखंड काढला (असे करणे चौथ्या मितीच्या विश्वातच शक्य आहे), आणि त्या रेषाखंडाची दोन टोके अष्टफलकाला जोडली की आपल्याला चार मितींच्या विश्वातील तिसरी आकृती मिळते. तिला 4-लंबाकृती (4-orthoplex) असे म्हणू या. लागोपाठ द्विमेरू (bipyramid) बनवण्याची ही प्रक्रिया खालील चित्रात दाखवली आहे.



बहुफलकांनी वेढलेले बहुकोश

दोन मितींतील बहुभुज (polygon) एक मितीच्या रेषाखंडांची दोन टोके एकमेकांना जोडून त्या रेषाखंडांनी सीमित झालेला असतो; ते रेषाखंड अशा बहुभुजाच्या बाजू बनतात. उदाहरणार्थ, त्रिकोण त्याच्या तीन बाजूंनी आणि चौकोन त्याच्या चार बाजूंनी वेढलेला असतो. तीन मितींतील बहुफलक (polyhedron) दोन मितीच्या बहुभुजांच्या दोन बाजू एकमेकांना जोडून त्या बहुभुजांनी सीमित झालेला असतो; ते बहुभुज अशा बहुफलकाचे फलक बनतात. उदाहरणार्थ, चतुष्फलक त्याच्या चार त्रिकोणी फलकांनी, घन त्याच्या सहा चौकोनी फलकांनी आणि अष्टफलक त्याच्या आठ त्रिकोणी फलकांनी वेढलेला असतो. त्याचप्रमाणे चार मितींतील एखादी आकृती जर तीन मितीच्या बहुफलकांचे दोन फलक एकमेकांना जोडून त्या बहुफलकांनी सीमित झाली असली, तर त्या आकृतीला बहुकोश (polytope) असे नाव आहे; ते बहुफलक अशा बहुकोशाचे कोश (cell) बनतात. साधर्म्य राखायचे म्हटले तर आपण आतापर्यंत पाहिलेल्या चार मितींच्या विश्वातील तीन आकृतींबद्दल असे म्हणता येईल :

  1. 4-सरलाकृती पाच चतुष्फलकांनी वेढलेली म्हणजे पंचकोश असली पाहिजे; n = 2, 3, 4 असेल, तर n + 1 = 3, 4, 5 असे साधर्म्य राखले जाण्यासाठी.
  2. 4-घन आठ घनांनी वेढलेला म्हणजे अष्टकोश असला पाहिजे; n = 2, 3, 4 असेल, तर 2n = 4, 6, 8 असे साधर्म्य राखले जाण्यासाठी.
  3. 4-लंबाकृती सोळा चतुष्फलकांनी वेढलेली म्हणजे षोडशकोश असली पाहिजे; n = 2, 3, 4 असेल, तर 2n = 4, 8, 16 असे साधर्म्य राखले जाण्यासाठी.

सममित बहुकोश

आपण जसा भाग १मध्ये फक्त बहिर्वक्र बहुभुजांचा आणि बहिर्वक्र बहुफलकांचा विचार केला, तसा आता विचार करणार आहोत फक्त बहिर्वक्र बहुकोशांचा, म्हणजे ज्यांच्या आंतरभागांतील कुठलेही दोन बिंदू जोडणारी सरळ रेषा आंतरभागातच राहते अशा बहुकोशांचा. बहुफलक सममित होण्यासाठी त्याचा प्रत्येक फलक सुसम बहुभुज असावा असे आपण मानले होते. त्याचप्रमाणे बहुकोश सममित होण्यासाठी त्याचा प्रत्येक कोश सुसम बहुफलक असला पाहिजे हे ओघानेच आले. परंतु तो बहुकोश पूर्णतः सममित होण्यासाठी एवढीच गोष्ट पुरेशी नाही. 1850च्या सुमारास लुड्विग श्लेफ्लि या गणितज्ञाने बहुकोशाला सुसम, म्हणजे पूर्णतः सममित, केव्हा म्हणायचे याची व्याख्या दिली. त्याने सुसम बहुभुजाच्या {p, q} या चिह्नाप्रमाणे सुसम बहुकोशाचे {p, q, r} असे चिह्न ठरवले. हा बहुकोश {p, q} असे चिह्न असणाऱ्या सुसम बहुफलकांनी सीमित केलेला असतो; शिवाय त्या बहुकोशाच्या प्रत्येक शिरोबिंदूजवळची आकृती (vertex figure) ही {q, r} असे चिह्न असणारा सुसम बहुफलक असतो, ज्यामुळे त्या बहुकोशाच्या प्रत्येक कडेभोवती r बहुफलक असतात. सुसम बहुफलकांप्रमाणेच प्रत्येक सुसम बहुकोशाशी संबंधित असा एक प्रतिरूप बहुकोश (dual polytope) असतो; एकाचे कोश दुसऱ्याच्या शिरोबिंदूंशी निगडित असतात आणि एकाचे फलक दुसऱ्याच्या कडांशी निगडित असतात. सुसम बहुकोशाचे श्लेफ्लि चिह्न {p, q, r} असले तर त्याच्या प्रतिरूपाचे श्लेफ्लि चिह्न असते {r, q, p}.

आपण भाग २मध्ये पाहिले आहे की {p, q} या चिह्नाचा सुसम बहुफलक मिळायला हवा असला तर p, q या संख्यांना (p – 2)(q – 2) < 4 ही असमानता (inequality) पाळावी लागते. त्याचप्रमाणे {p, q, r} या चिह्नाचा सुसम बहुकोश मिळायला हवा असला, तर p, q, r या संख्यांना cos(π/q) < sin(π/p) sin(π/r) ही असमानता पाळावी लागते. या मर्यादेमुळे चार मितींच्या विश्वात फक्त सहा सुसम बहुकोश मिळतात; त्यांची श्लेफ्लि चिह्ने अशी आहेत :

{3, 3, 3}, {4, 3, 3}, {3, 3, 4}, {3, 4, 3}, {5, 3, 3}, {3, 3, 5}.

या यादीतील पहिले तीन सुसम बहुकोश म्हणजे आपण आधी वर्णन केलेले पंचकोश, अष्टकोश, षोडशकोश होत; ते अनुक्रमे सुसम चतुष्फलक {3, 3}, सुसम षट्फलक {4, 3}, सुसम अष्टफलक {3, 4} या सुसम घनाकृतींशी साधर्म्य राखतात. त्यांपैकी पंचकोश स्वप्रतिरूप (self-dual) आहे, तर अष्टकोश आणि षोडशकोश एकमेकांचे प्रतिरूप (dual) आहेत. वरील यादीतील चौथा सुसम बहुकोश अगदी वेगळा आहे आणि तो स्वप्रतिरूप आहे. मात्र पाचवा आणि सहावा सुसम बहुकोश हे द्वादशफलक {5, 3} आणि विंशतिफलक {3, 5} या सुसम घनाकृतींशी साधर्म्य राखतात, आणि ते एकमेकांचे प्रतिरूप आहेत.

चार मितींच्या विश्वातील सुसम बहुकोशांच्या वर दिलेल्या यादीतील पहिल्या तीन बहुकोशांबाबत प्रथम चर्चा करू या. ते तीन मितींच्या अवकाशातील ज्या घनाकृतींशी साधर्म्य राखतात त्यांची चित्रे संदर्भासाठी खाली दाखवली आहेत.

चतुष्फलक
षट्फलक
अष्टफलक

यांपैकी चतुष्फलकाच्या आकृतीत चार त्रिकोण, व षट्फलकाच्या आकृतीत सहा चौकोन दिसतात, तर अष्टफलकाच्या आकृतीत आठ त्रिकोण व तीन चौकोन दिसतील. अष्टफलकाचे प्रतलावरील प्रक्षेपण (projection) असे दिसते :

अष्टफलकाचे प्रक्षेपण

आपल्या अपेक्षेनुसार या प्रक्षेपणात आठ त्रिकोण आणि तीन आयत दडून बसलेले आढळतील. चार मितींच्या विश्वातील सुसम पंचकोश, सुसम अष्टकोश, सुसम षोडशकोश या बहुकोशांची प्रतलावरील प्रक्षेपणे खाली चित्रित केली आहेत.

पंचकोश
अष्टकोश
षोडशकोश

वरील आकृतींची आणि संदर्भासाठी आधी दाखवलेल्या सुसम चतुष्फलक व सुसम षट्फलक, आणि सुसम अष्ठफलकाचे प्रक्षेपण यांच्या आकृतींची तुलना केली आणि आपण केलेल्या या बहुकोशांच्या रचना लक्षात ठेवल्या तर काही गोष्टी नमूद करता येतील :

  1. सुसम पंचकोश पाच सुसम चतुष्फलकांनी सीमित केला जातो व त्याला पाच शिरोबिंदू असतात. त्याच्या प्रक्षेपणात पाच चतुष्फलक दडून बसलेले सापडतील. पंचकोशाचा प्रत्येक शिरोबिंदू बाकी सर्व शिरोबिंदूंना रेषाखंडांनी जोडलेला असल्याने तो घट्ट विणीचा झाला आहे.
  2. सुसम अष्टकोश आठ सुसम षट्फलकांनी सीमित केला जातो व त्याला सोळा शिरोबिंदू असतात. त्याच्या प्रक्षेपणात आठ षट्फलक दडून बसलेले सापडतील, पण एकही त्रिकोण सापडणार नाही.
  3. सुसम षोडशकोश सोळा सुसम चतुष्फलकांनी सीमित केला जातो व त्याला आठ शिरोबिंदू असतात. त्याच्या प्रक्षेपणात सोळा चतुष्फलक आणि चार अष्टफलक दडून बसलेले सापडतील. षोडशकोशाचा प्रत्येक शिरोबिंदू त्याच्या समोरचा एक शिरोबिंदू वगळून बाकी सर्व शिरोबिंदूंना रेषाखंडांनी जोडलेला आहे.

यांपैकी काही गोष्टी जरा तीक्ष्ण नजरेने शोधाव्या लागतात हे मात्र खरे.

चार मितींच्या विश्वातील सुसम बहुकोशांच्या आपण दिलेल्या यादीतील शेवटच्या तीन बहुकोशांची श्लेफ्ली चिह्ने आहेत {3, 4, 3}, {5, 3, 3}, {3, 3, 5}; ते अनुक्रमे 24 अष्टफलकांनी, 120 द्वादशफलकांनी आणि 600 चतुष्फलकांनी सीमित केले जातात, व त्यांना 24, 600 आणि 120 शिरोबिंदू असतात. या बहुकोशांची प्रतलावरील प्रक्षेपणे खाली चित्रित केली आहेत.

उच्चतर मितींच्या विश्वातील आकृती

गणितज्ञ श्लेफ्लि चार मितींच्या विश्वातच थांबला नाही, तर पाच आणि पाचपेक्षा अधिक मितींच्या विश्वात कोणत्या आकृतींना सुसम म्हणायचे हे त्याने पक्के केले व त्यांना चिह्नांकित केले. त्याने दाखवून दिले की पाच मितींच्या विश्वात फक्त तीनच सुसम आकृती सापडतात; त्यांची श्लेफ्लि चिह्ने आहेत {3, 3, 3, 3}, {4, 3, 3, 3}, {3, 3, 3, 4}. इतकेच नव्हे तर पाचपेक्षा अधिक मितींच्या विश्वातदेखील फक्त तीनच सुसम आकृती सापडतात; आपण त्यांची श्लेफ्लि चिह्ने

{3, 3, 3, 3, …, 3}, {4, 3, 3, 3, …, 3}, {3, …, 3, 3, 3, 4}.

अशी लिहू शकतो. यांपैकी पहिली आकृती स्वप्रतिरूप आहे, तर दुसरी व तिसरी एकमेकांच्या प्रतिरूप आहेत. या तीन आकृती सुसम चतुष्फलक, सुसम षट्फलक, सुसम अष्टफलक या तीन घनाकृतींशी व तसेच सुसम पंचकोश, सुसम अष्टकोश, सुसम षोडशकोश या बहुकोशांशी समधर्मी (analogous) आहेत; त्या मेरूप्रक्रिया, कार्टेशी गुणाकार प्रक्रिया, द्विमेरूप्रक्रिया ह्यांतूनच निर्माण होतात. त्यामुळे तीन मितींच्या अवकाशातील द्वादशफलक व विंशतिफलक या दोन बहुफलकांना आणि चार मितींच्या विश्वातील चोवीस, एकशेवीस आणि सहाशे कोशांनी सीमित केलेल्या तीन सुसम बहुकोशांना उपटसुंभ, म्हणजे अपवादात्मक, मानले पाहिजे. उच्चतर मितींच्या विश्वांत अशा अपवादात्मक सुसम आकृतींना थारा मिळत नाही. तेथे फक्त त्रिकोणांचा आणि चौकोनांचा कारभार असतो, पंचकोनालासुद्धा वाव नाही.

श्लेफ्लिचे शोध तो 1895 साली मरण पावेपर्यंत उघडकीस आले नाहीत ही खेदाची बाब आहे, पण त्याला जे सापडले आणि त्याने जे सिद्ध केले ते विलक्षण आहे.

समारोप

वेगवेगळ्या मितींच्या विश्वात किती सुसम आकृती मिळतात, हे खालील कोष्टकावरून चटकन लक्षात येईल.

ही असमतोल (lopsided) आकडेवारी गणिती जगतातील एक अद्भुत गोष्ट आहे.

समजा n हा कोणताही दोनपेक्षा मोठा पूर्णांक (positive integer) आहे. या परिशिष्टाच्या सुरूवातीला दिलेल्या मेरू प्रक्रिया, कार्टेशी गुणाकार प्रक्रिया, द्विमेरू प्रक्रिया या तीन प्रक्रिया आपण करत राहिलो, तर n मिती असणाऱ्या तीन सुसम आकृती आपल्याला मिळत जातात. गणिताच्या पाठ्यपुस्तकांमध्ये निर्देशांक (coordinates) वापरून त्या आटोपशीरपणे अशा लिहिलेल्या आढळतात :

आपण n-simplex, n-cube, n-orthoplex यांना n-सरलाकृती, n-घन, n-लंबाकृती असे संबोधू या.

जर n = 3 असेल, तर 3-सरलाकृती, 3-घन, 3-लंबाकृती म्हणजेच सुसम चतुष्फलक, सुसम षट्फलक, सुसम अष्टफलक हे बहुफलक होत; तसेच जर

n = 4 असेल, तर 4-सरलाकृती, 4-घन, 4-लंबाकृती म्हणजेच सुसम पंचकोश, सुसम अष्टकोश, सुसम षोडशकोश हे बहुकोश होत.

जर n हा पूर्णांक पाच किंवा पाचपेक्षा मोठा असेल, तर n-सरलाकृती, n-घन, n-लंबाकृती या फक्त तीनच सुसम आकृती n मितींच्या असतात; इतर कुठल्याही उपटसुंभ आकृतींना मज्जाव असतो. सगळे कसे शिस्तबद्ध.

अधिक उत्सुकता शमवण्यासाठी हॅरोल्ड कॉक्सिटर (Harold S. M. Coxeter) यांनी 1973 साली लिहिलेले ‘रेग्युलर पॉलिटोप्स’ (Regular Polytopes) हे पुस्तक वाचनीय ठरेल. त्यांची या विषयातील कामगिरी पाहता त्यांना श्लेफ्लीचा खरा उत्तराधिकारी मानता येईल. सर्वसामान्य वाचकांसाठीही त्यांनी सोप्या भाषेत भूमिती उलगडून सांगणारी अनेक पुस्तके लिहिली आहेत. सममित आकृतींच्या शोधाने बऱ्याच गणिती संकल्पना जन्माला आल्या, उदाहरणार्थ Coxeter groups, simplicial complexes, simplicial and cubical sets वगैरे. परावर्तन मांडण्यांचे (reflection arrangements) वर्गीकरण करणाऱ्या कॉक्सिटर रेखाकृती (diagrams) आणि श्लेफ्ली चिह्ने यांचा घनिष्ठ संबंध आहे. या सगळ्यांनी विसाव्या शतकातील गणितावर आपली छाप उमटवली.

(खूपशा आकृती आंतरजालावरून साभार उसनवार)
(समाप्त)
---

बालमोहन लिमये

(balmohan.limaye@gmail.com)

Balmohan Limaye 2020

लेखकाचा अल्प-परिचय : मुंबईच्या आय्. आय्. टी.मधील गणित विभागात ४२ वर्षे काम केल्यानंतर आता गुणश्री प्राध्यापक (Professor Emeritus). पवईलाच रहिवास.

बालमोहन लिमये यांचे इतर लिखाण

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
0
No votes yet

प्रतिक्रिया

या मालिकेतल्या आधीच्या दोन लेखांच्या आधारे मी माझ्या ७ वर्षांच्या मुलाला सममित आकृती म्हणजे काय, त्या कशा ओळखायच्या आणि काढायच्या हे शिकवायचा प्रयत्न केला. त्याला शाळेत अजून भूमिती नाही पण तरीही प्रोट्रॅक्टर घेऊन कोन म्हणजे काय इतपत त्याला समजलं. त्यानंतर आम्ही जराशा जाड कागदापासून तीन मितींमधल्या काही आकृती तयार करून बघितल्या. हा प्रयोग फारच यशस्वी झाला आणि अजूनही चालू आहे.
मागल्या पायथॅगोरसच्या लेखांनंतर त्रिकोण किंवा हायपोटेन्यूस न काढताच त्याची लांबी किती असेल हे ओळखता येणे हे काहीतरी नवीन होतं आणि त्यामुळे त्यावरही खूप प्रयोग झाले. कदाचित शाळेचं पुस्तक जसंच्या तसं समोर आलं असतं तर असा खेळ करून बघितला गेला नसता. आता पायथॅगोरस ट्रिपलेट म्हणजे काय कळल्यामुळे तसे संचही तो शोधून काढायचा प्रयत्न करतो आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

ही प्रतिक्रिया वाचून फार बरे वाटले. गणिताच्या बाबत अशा प्रकारचा उत्साह आणणे हा महत्त्वाचा हेतू आहे माझ्या लिखाणाचा. लहानपणापासूनच खेळातून गणिती संकल्पना परिचित करून दिल्या तर गणिताचा कधीच बाऊ वाटणार नाही. शिवाय संपूर्ण विचारसरणीच शुद्ध व्हायला मदत होईल, मग पुढील आयुष्यात गणिताचा अभ्यास कुणी करो वा न करो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0