गणितज्ञांच्या इतिहासातील (काही) सोनेरी पाने...10

युक्लिडची अजरामर कृतीः एलिमेंट्स

No employment can be managed without arithmetic, no mechanical invention without geometry.
----Benjamin Franklin

जगभरातील इतिहासाचा अभ्यास केल्यास धर्म व विज्ञान या विषयावरील पुस्तकांचा खप सर्वात जास्त आहे, हे लक्षात येईल. बायबल या धर्मग्रंथाच्या पाठोपाठ इ.स.पू 300 साली ग्रीक गणितज्ञ, युक्लिड (इ.स.पू. 330-275) यानी लिहिलेल्या एलिमेंट्स या ग्रंथाचे आजपर्यंत हजारो आवृत्त्या छापले गेले असतील. 13 खंड असलेल्या या पाठ्यपुस्तकात भूमिती व अंकगणित या विषयावरील 300 वर्षाच्या विचारमंथनांचे संकलन युक्लिडने केले होते. कोपर्निकस (1473-1543), गॅलिलिओ 1564-1642), केप्लर (1571-1630) व न्यूटन (1642-1727) यांनी मांडलेले सिद्धांत या पाठ्यपुस्तकांच्या अभ्यासावरच बेतलेले आहेत. एवढ्या वर्षानंतरसुद्धा यातील विचारांची जादू ओसरली नसून फक्त गणितशास्त्रासाठीच नव्हे तर भौतशास्त्र, खगोलशास्त्र इत्यादींच्यासाठीसुद्धा संदर्भग्रंथ म्हणून याची उपयुक्तता आजही टिकून आहे.

टॉलेमी I (इ.स.पू 367 – 283) या इजिप्तच्या राजाच्या आधिपत्याखाली असलेले ग्रीसमध्ये विद्येचं माहेरघर समजलेल्या अलेक्झांड्रिया शहरात युक्लिड रहात होता. त्या काळी या शहराची प्रसिद्धी बुद्धीवंताचे शहर म्हणून होते. जगभरातील काना-कोपऱ्यातून अभ्यासक येथे येत असत. येथील समृद्ध ग्रंथालय व वस्तु संग्रहालय अभ्यासकांचे ठिकाण म्हणून ओळखले जात होते. युक्लिड यानी येथेच स्वतःच्या अकॅडेमीची स्थापना केली व येथेच त्यानी एलिमेंट्सचे तेरा खंडांचे लेखन केले. पायथॅगोरस, प्लेटो, थेल्स वगैरेंच्या संशोधनातील त्रुटी दुरुस्त करून आणि त्यात स्वतःचे संशोधन मिळवून युक्लीडने ’एलिमेंट्स ऑफ जॉमेट्री’ हा भूमितीवरचा जगप्रसिद्ध ग्रंथ लिहून तेरा भागात प्रकाशित केला. जरी त्यांनी लिहिलेली मूळ प्रत आज जरी उपलब्ध नसली तरी नंतरच्या काळातील ग्रीक, लॅटिन व अरब प्रती जतन केलेले आहेत.

युक्लिडचे शिक्षण प्लेटो (इ.स.पू. 429?–347)या ग्रीक तत्वज्ञाच्या अकॅडेमीत झाले होते. त्याच्यावर प्लेटोचा प्रभाव होता. लहानपणापासून जिथे जिथे मोकळी जागा सापडेल तेथे युक्लिड आकृत्या काढायचा. लहानपणीच आई-वडील वारल्यामुळे चेटकीण असे समजले गेलेल्या पेट्रिका नावाच्या बाईने त्याला सांभाळले. युक्लिडचे आकृत्या काढण्याचे वेड व पेट्रिकाची बदनामी यामुळे युक्लिड ‘सैतानाचा उपासक असून भूमिती नावाच्या गूढ भाषेत सैतानाला गुप्त संदेश पाठवत असल्यामुळे दुष्काळ व दारिद्र्याचे आगमन झाले’ असे त्याचे शेजारी-पाजारी तक्रार करत असत. काही काळांनंतर युक्लिडवरचे किटाळ दूर झाले व नंतर त्यानी स्वतःची अकॅडेमी काढून तो शिकवू लागला.

युक्लिड हसत खेळत भूमिती शिकवत असल्यामुळे तो विद्यार्थ्यांचा अत्यंत लाडका शिक्षक होता. ॲरिस्टोटलपासून प्रेरणा घेऊन युक्लीडने गणितात अलौकिक संशोधन केले. प्लेटोच्या प्रभावामुळे प्लेटोविषयक (चार, आठ, बारा व वीस सपाट समभुज त्रिकोणाकृती पृष्ठांच्या) नियमित घनाकृतीबद्दल तो जास्त विचार करत होता.

त्या काळच्या ग्रीक गणितातील धागे-दोरे पकडून युक्लिडने त्यांची एक शिस्तबद्ध रचना करून त्यात एक सुसूत्रता आणली. मूठभर कल्पनेतून त्यानी मोठ्या प्रमाणात निष्कर्ष काढले. गणितीय तर्क नेमके काय असू शकतो याची मांडणी केली. त्यानी या पूर्वीच्या व्यावहारिक असलेल्या तरीसुद्धा विस्कळित वाटणाऱ्या कल्पनांना निगम पद्धतीतील नियम वापरून (deductive rules) त्यांना सिद्धांताचे स्वरूप दिले. स्वयंसिद्धकं व गृहितकं वापरून त्यांना एका चौकटीत बसविले. एलिमेंट्स मध्ये 131 व्याख्या, 5 गृहितकं 5 सर्वसामान्य अधिकल्पना (common notions) व 465 प्रमेय आहेत. त्याच्या 13 खंडापैकी 8 खंड प्रतल (plane) व अवकाश यातील भूमिती व उरलेल्या खंडात समानुपाती सिद्धांत (theory of proportion), अंकगणित, व अपरिमेय सिद्धांत (theory of incommensurability) यासंबंधी आहेत. अपरिमेय सिद्धांतातूनच अपरिमेय संख्यांना महत्व प्राप्त झाले.

मुळात एलिमेंट्स हे काही आताच्या स्वरूपात दिसणाऱ्या बांधीव ग्रंथासारखे नव्हतेच. त्या 13 भूर्जपत्राच्या गुंडाळ्या होत्या. सुरुवातीची भूर्जपत्रे काळाच्या ओघात नाहिश्या झाल्या व त्या नोंदींची पुस्तकस्वरूपात जतन करण्यात आल्या. या जतन केलेल्या एलिमेंट्सच्या नोंदीवरून युक्लिडने अजून एक ‘कोनिक्स’ नावाचे पुस्तक लिहिले होते, हे कळते. परंतु आज त्याचा मागमूसही नाही. एलिमेंट्समध्ये बिंदू, सरळ रेषा, वर्तुळ, काटकोन, पृष्ठभाग (surface), प्रतल इत्यांदींच्या व्यांख्या आहेत. गृहितकात दोन बिंदू एक सरळ रेषा निश्चित करतात; सरळ रेषा दोन्ही बाजूल हवी तेवढी वाढवता येते ; केंद्रबिंदू व त्रिज्या यावरून वर्तुळ काढता येते; सर्व काटकोन सारखेच असतात; दोन समांतर रेषांना छेदणारी तिसरी रेषा जिथे छेदते तिथले कोन काटकोन असतात व तसे नसल्यास रेषा समांतर नाहीत (याला पाचवा पॉस्च्युलेट म्हणतात.) अशा प्रकारची सोपी व सरळ पॉस्च्युलेट्सची मांडणी त्यानी केलेली आहे. एलिमेंट्समधील कॉमन नोशन्सही साधे, सोपे व सरळ आहेत. कुठल्याही प्रकारच्या गुंतागुंतींच्या साधनांचा वापर न करता केवळ कंपास व अंतराच्या खुणा नसलेल्या सरळपट्टीच्या सहायाने त्यानी वर्णन केलेल्या आकृती काढता येतात.

युक्लिडने प्रतल भूमितीतील मांडलेल्या गृहितकांनी गेली अनेक शतके गणितज्ञांना भरपूर बौद्धिक खाद्य दिले. पहिल्या चार गृहितकावर आधारित आकृत्या अगदी सोप्या आहेत. बिंदूंना जोडून रेषा काढणे वा दोन काटकोनामधील समानता सिद्ध करणे यासाठी विशेष काही करावे लागत नाही. पाचव्या पॉस्च्युलेटने मात्र नंतरच्या काळातील गणिताच्या अभ्यासकांची झोप उडवली. तरीसुद्धा पाचही पॉस्च्युलेट्स पूर्ण करणाऱ्या प्रतलावरील भूमितीला युक्लिडियन प्लेन म्हणण्याचा प्रघात आहे. व त्यालाच युक्लेडियन भूमिती म्हणून संबोधले जाते.

काही गणितज्ञांना प्रतलाच्या भौमितीय गुणधर्माबद्दलच्या पाचव्या पॉस्च्युलेटची युक्लिडने केलेली मांडणी वादग्रस्त आहे असे वाटत होते. काही अभ्यासकांच्या मते हे जटिल विधान सोपेकरून सांगता आले असते. विधान सोपे करताना त्याला आणखी फांदे फुटले. उदाः “एखाद्या ऱेषेच्या बाहेर असलेल्या बिंदूतून रेषेला समांतर रेषा काढता येते” वा “त्रिकोनातील तिन्ही कोनाची बेरीज १८० अंश असते” अशा प्रकारची विधानं करून भर घालता येते. असे काहीही केले तरीही ती युक्लिडियन भूमितीच ठरते.

१९व्या शतमानाच्या सुरुवातीला जानोस बोलाय (János Bolyai (1802-1860)), निकोलाय लोबाचेव्ह्स्की (Nikolai Lobachevsky (1792-1856)) व कार्ल गाऊस या गणितज्ञांनी युक्लिडियन भूमितीतील पाचव्या पॉस्च्युलेटला वेगळे वळण देत नॉन-युक्लिडियन भूमितीचा पाया रचला. ही काल्पनिक भूमिती हायपरबोलिक भूमिती (hyperbolic geometry) या नावाने ओळखली जाते. पाचव्या पॉस्च्युलेटची जागा या भूमितीने घेतली. या भूमितीत त्रिकोनातील तिन्ही कोनांची बेरीज180 अंशा पेक्षा कमी असते. हे विधान योग्य वाटत नसले तरी गणितीय तर्कदृष्ट्या बरोबर ठरते. लोबाचेव्ह्स्कीच्या या भूमितीला सुरुवातीला मोठ्या प्रमाणात आक्षेप घेण्यात आले. नंतर मात्र निसर्गातील या संबंधीच्या घडामोडींचा अभ्यास केल्यावर हायपरबोलिक भूमितीला मान्यता मिळाली.
गणित विषयात तर्कशुद्धतेला फार महत्व आहे. युक्लिडची भूमिती पूर्णपणे तर्काला धरून केलेली मांडणी आहे. त्यामुळे युक्लिडला तर्कशास्त्राचा जनक असेही म्हटले जाते. युक्लिड फक्त भूमितीचा नव्हे तर अंकगणिताचाही अभ्यासक होता. एलिमेंट्समध्ये अंकगणिताशी संबंधित काही प्रमेय आहेत. एक (१) या अंकाबद्दल लिहिताना युक्लिडने या एककात जगातल्या सगळ्या गोष्टी साकार होतात, असे उद्गार काढले आहेत. युक्लिडने थिअरम ऑफ प्राईम नंबर्सचा प्रमेय वापरून या संख्या अगणित असतात असे लिहिले आहे.
युक्लिड हा जगातला महान गणिती कोषकार होता हे त्याच्या ‘एलिमेंट्स’च्या तेरा खंडावरून नक्कीच लक्षात येईल. युक्लिड हा नुसत्या ग्रीकांचाच नव्हे तर, संपूर्ण जगाच्या गणितावर प्रभाव टाकलेला महान गणिती होता!

समाप्त
...सोनेरी पाने...1
...सोनेरी पाने...2
...सोनेरी पाने...3
...सोनेरी पाने...4
...सोनेरी पाने...5
...सोनेरी पाने...6
...सोनेरी पाने...7
...सोनेरी पाने...8
...सोनेरी पाने...9