गणितज्ञांच्या इतिहासातील (काही) सोनेरी पाने...9

शून्याच्या शोधात...

Black holes are where God divided by zero.

– Albert Einstein

No number before zero. The numbers may go on forever, but like the cosmos, they have a beginning.
-Giuseppe Peano

क्रि. श 10 व्या शतकापर्यंत शून्य ही एक संख्या असू शकते याचा विचारही कुणी केला नव्हता. ग्रीक तज्ञांनी नाही; अरिस्टॉटल, युक्लिड, अर्किमिडिस, पायथागोरस यांच्यापैकी कुणीही नाही. रोमन्सनासुद्धा हा विचार शिवला नव्हता. भारतीयांच्याही हे लक्षात आले नव्हते. या सर्वांना गणिताचा परिचय होता. परंतु संख्यांच्या स्वरूपाविषयी ते अनभिज्ञ होते. त्याकाळी कदाचित रोजच्या व्यवहारात गणिताला स्थान नसेल. ग्रीक व रोमन्स यांच्या मते ऋण (negative) संख्या असूच शकत नाही. रिक्तपणाच्या खाली काही असू शकत नाही याची पुरेपूर खात्री त्यांना होती. त्यामुळे शून्य या संख्येची त्यांना कधीच गरज भासली नाही.

विसाव्या शतकाच्या प्रारंभीच्या काळापर्यंत मानव जातीलाच वरदान ठरलेल्या शून्य संकल्पना कुठल्या देशात पहिल्यांदा मांडली गेली याबद्दल प्रचंड कुतूहल होते व त्याबद्दल संशयाचे धुके होते. 2017मध्ये मात्र इ.स. 224–383 (लोकविभाग हे जैन पुराण) , इ.स. 680–779 (आर्यभट्ट लिखित आर्यभटिया), व इ.स. 885–993 (7व्या शतकातील ब्रह्मगुप्त यांचा ब्रह्मस्फुट सिद्धांत), या कालखंडात लिहिलेल्या हस्तलिखितांचे रेडिओकार्बन डेटिंगवरून शून्य ही संकल्पना भारतातच उदयाला आली हे निर्विवादपणे सिद्ध झाले व याबद्दलच्या वादाला अखेरचा पडदा पडला. ग्रीक व रोमन यांच्या ग्रंथात न आढळलेल्या शून्यासाठीची संज्ञा भारतीय ऋषी-मुनीनी शोधली होती व अंक म्हणून त्याचा सर्रासपणे ते वापरत होते, याला रेडिओकार्बन डेटिंगमुळे पुष्टी मिळाली.

तसे पाहता सर्व सामान्यांच्या दृष्टीने शून्य ही अगदीच क्षुल्लक वाटणारी गोष्ट. कोणत्याही गोष्टीचा अभाव, रिक्तता सूचित करणारे हे चिन्ह अथवा प्रतीक. परंतु अमूर्त स्वरूपातील हे प्रतीक तत्वज्ञ व/वा गणितज्ञ यांच्या दृष्टीने फार मोठा आवाका असलेली गोष्ट होती. शून्यामुळे जगभरातील गणिताच्या अभ्यासकांना वाटेल तेवढ्या मोठमोठ्या संख्यांचे आकडेमोड करणे शक्य झाले. परंतु भारतातील अभ्यासक त्यांच्याही पुढे गेले होते. भारतीय अभ्यासकांच्या दृष्टीने शून्य हे संख्या-पद्धतीतील फक्त स्थानदर्शक अंक नसून त्या आकड्याला एक स्वतंत्र अस्तित्वही आहे. शून्याची इतर संख्याप्रमाणे बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार भागाकारासारखे आकडेमोड करता येईल, याचा शोध त्यानीच लावला. हे एका प्रकारे 4 ते 13 व्या शतकापर्यंतच्या गणित विश्वातील क्रांतीसदृश गोष्ट होती. या पूर्वी ग्रीक व रोमन गणितज्ञ भूमितीच ‘सबकुछ’ समजत होते. मात्र शून्याची किंमत कळल्यानंतर नंतरच्या ग्रीक वंशजांनी गणिताला भूमितीपासून मुक्त करून गणिताचा वसा पुढे नेला. व याचीच परिणती बीजगणीताच्या शोधात झाली.

इ.स. 520च्या सुमारास भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट (476-550) यांनी शून्यासाठी ब्राह्मी लिपीतील ‘ख’ या अक्षराची सोय केली. आर्यभट्ट यानी स्थान दर्शविणाऱ्या दशमान पद्धतीचे वर्णन त्याच्या संकृतमधील 121 कडवे असलेल्या आर्यभटीय या ग्रंथात केले होते. संख्येच्या एकम्, दशम् हे स्थान दर्शवण्यासाठी ‘ख’ या अक्षराचा वापर त्यानी केला होता. भारतीय गणितज्ञ, संख्या फक्त वस्तूंच्या मोजमापासाठीच नसून त्या अमूर्त स्वरूपातही असू शकतात यावर भर देत होते.

स्थानदर्शक दशमान पद्धतीत शून्यासकट 10 आकडे (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) असून मोठमोठ्या संख्यांचे आकडेमोड करणे यामुळे सोपे होते. तद्विरुद्ध रोमन यांची संख्यांसाठी अक्षरांचा (I, V, X, L, C, D and M, अनुक्रमे 1, 5, 10, 50, 100, 500 व 1,000) वापर केल्यामुळे आकडेमोड करणे फार कठिण असते. स्थानदर्शक शतमान पद्धतीत प्रत्येक अंकाची किंमत तिच्या स्थानावरून ठरते. दशमान पद्धतीतील पूर्णांकामध्ये उजवीकडून डावीकडील आकड्यात पहिला आकडा एकक तर नंतरचे आकडे अनुक्रमे दशक, शतक व सहस्रक ....असे 10च्या घातांकाच्या पटीत चढत जातात. (उदाः5,876 = 5,000 + 800 + 70 + 6) परंतु स्थानदर्शक नसलेल्या रोमन अंक पद्धतीत चिन्हांच्या किंमतीत बदल होत नाही. त्यामुळे 3-4 अंक असलेल्या संख्यासाठी फार मोठ्या प्रमाणात चिन्हांचा वापर करावा लागतो. 5,876 लिहिण्यासाठी MMMMMDCCCLXXVI एवढी मोठी लांबलचक अक्षरमालिकाची गरज भासते.

आताच्या उभ्या अंड्याच्या आकाराचे चिन्ह, (0), इ.स. 876 साली वापरले होते, याचा पुरावा ग्वाल्हेरजवळच्या एका शिलालेखात सापडला. त्या शिलालेखात 187X270 पुरुष( 1पुरुष=सुमारे 2 मी) क्षेत्रफळ असलेल्या बागेतील फुलांनी रोज 50 माळा चतुर्भुज मंदिरासाठी वापरल्या जातात, असे लिहिलेले होते. 270 व 50 हे आकडे आपण जसे लिहितो, तसेच त्या शिलालेखात होते. शून्याचा (0) उल्लेख करताना थोडेसे बारीक अक्षरात लिहिलेले होते, एवढा फरक सोडल्यास बाकी वर्णन शून्याच्या स्थानाचेच होते. (संदर्भः अमीर एक्झेल यांचे In Search of Zero)

केवळ शिलालेखात उल्लेख आहे म्हणून शून्याचा शोध भारतीयाने लावला हे काही सिद्ध होत नाही. 9व्या शतकात अरबस्तान, एशियाखंडातील इतर प्रदेश व पश्चिम युरोप यांच्याशी मोठ्या प्रमाणात व्यापार-व्यवहार होत होते, याचे अनेक पुरावे इतिहासात सापडतात. त्यामुळे शून्याचा उल्लेख पुरातन काळी - 9व्या शतमानात होता - म्हणून भारतीयानां त्याचे श्रेय द्यावे याला काही अर्थ नाही. अशाच प्रकारच्या शून्याचा उल्लेख कांबोडियातील ख्मेर भाषेत इस 683 मधील एका हस्तलिखित/ शिलालेखात सापडला म्हणून कांबोडियात प्रथम शून्य संकल्पना उदयास आली असे म्हणता येत नाही.

परंतु त्याही पूर्वी आर्यभट्ट व ब्रह्मगुप्ता यांच्या लेखनावरून भारतातूनच शून्याचा प्रसार झाला असावा, या विधानाला पुष्टी मिळते. 1881 मध्ये सापडलेल्या बर्च झाडांच्या सालीवर लिहिलेले गणित विषयावरील बक्षाली भूर्जपत्रांच्या पानांचे कार्बन-14 डेटिंगची चाचणी 2017मध्ये केल्यांनंतर ही पाने तिसऱ्या व चौथ्या शतकातील आहेत, हे लक्षात आले. त्यावरून शून्याचा शोध भारतीयानीच केला याचा भक्कम पुरावा मिळाला. त्यामुळे शून्याचे जनक भारतीयच होते हे निर्विवादपणे सिद्ध करता आले.

7व्या शतकातील ब्रह्मगुप्ता या गणितज्ञाने शून्य हे केवळ स्थानदर्शक नसून इतर अंकाप्रमाणे ते एक स्वतंत्र अंक आहे आणि त्याचे आकडेमोड करता येते, अशी मांडणी केली. उदाः एका संख्येतून तीच संख्या वजा केल्यास त्याचे उत्तर शून्य असते; एखाद्या संख्येत शून्याची बेरीज वा वजाबाकी केल्यास ती संख्या तशीच राहते. ब्रह्मगुप्ता यानी ऋण संख्यांची संकल्पना मांडली. त्याच्या मते ऋण संख्या म्हणजे नुकसान व धन संख्या म्हणजे झालेला फायदा. नुकसानीतून शून्य वजा केल्यास नुकसान तेवढेच राहते व शून्यातून फायदा वजा केल्यास ते नुकसान होते.

भारतीय अभ्यासक शून्याच्या संकल्पनेत भर घालत राहिले. 9व्या शतकातील महावीर या गणितज्ञाने शून्याला शून्याने गुणिल्यास उत्तर शून्यच येते अशी माडणी केली. परंतु एखाद्या संख्येला शून्याने भागिल्यास संख्या बदलत नाही अशी चुकीची मांडणी केली. 12व्या शतकात भास्कराचार्य II या गणितज्ञाने ही चूक सुधारून उत्तर अव्यक्त (indeterminate quantity) असते अशी मांडणी केली. आजही आपण शाळेत शिकत असलेल्या बहुपदी द्विघात समीकरणाची (ax² + bx + c = 0) मांडणी याच भास्कराचार्य II यानी 12व्या शतकात केली होती.

पश्चिमेतील शास्त्रज्ञांना या गोष्टी समजून घेण्यासाठी पुढील काही शतके लागली. भारतीय गणिताचा प्रवास अरबस्तानातून युरोपात गेला. संस्कृतमधील ग्रंथांचा अरेबिकमध्ये व अरेबिकमधून इंग्रजीत अनुवाद होत होत शून्य ते सिफर ते झिरो हे ज्ञान युरोपमधील तज्ञापर्यंत पोचले. 8 व्या शतकात भारतीय संख्यापद्धती अरब जगात पोचली. अरेबिक सिफरचे इंग्रजीतील झिरो नामकरण फिबोनाकी या गणितज्ञाचे. ऋण संख्यांचा दरवाजा शून्याजवळ आहे व कर्जाची वा अक्कलखाती जमा झालेल्या रकमेची नोंद शून्याच्या डाव्या बाजूला मांडता येते हे त्यांना फार उशीरा कळाले.

अल् ख्वारिझ्मी (इ.स.780 – इ.स. 850) या गणितज्ञाने सिफरला संख्या पद्धतीत सामावून घेतले. नवीनच उदयास आलेल्या बीजगणितातील समीकरणांसाठी याची नितांत गरज आहे हे त्यानी ओळखले. मध्य युगातसुद्धा आर्यभट्ट (6वे शतमान), ब्रह्मगुप्त (7वे शतमान), महावीर (9वे शतमान) व भास्कराचार्य 2 (13वे शतमान) या भारतीय गणितज्ञांनी केलेली कामगिरी नक्कीच कौतुकास्पद ठरली.

19व्या शतकात गणिताच्या मागील तर्कशास्त्राचा (Logic of Mathematics) अभ्यास करण्यात आला होता. त्यावेळी गिसेपे पीनो (Giuseppe Peano) या इटालियन गणितज्ञाने अंकगणितातील संख्यासंबंधींच्या गृहितकांचे नियमन करत असताना शून्य ही संख्या आहे असे ठामपणे प्रतिपादन केले. शून्याशिवाय भूमापन करणे वा ऋण – धन या संख्येतील फरक समजून घेणे जड ठरले असते, यावर त्याचा भर होता.

शून्याचे ‘स्थळ महात्म्य’ गणितज्ञांच्या लक्षात येऊ लागले. आणि संपूर्ण (गणितीय) जग शून्याच्या प्रेमात पडले. परंतु शून्याची महती सेट सिद्धांताच्या वेळी लक्षात आली. 1874 मधील एका संशोधन प्रबंधातून सेट सिद्धांताची कल्पना जिऑर्ग कँटर (1845 -1918) या गणितज्ञाने पहिल्यांदा मांडली. सेट सिद्धांत हा गणिताचा पाया समजला जातो. सेट म्हणजे एक अमूर्त भांडं वा पात्र. या भांड्यात काहीही ठेवता येते. हिमगौरी व सात बुटके या परीकथेतील सात बुटक्यापासून आठवड्यातील सात दिवसापर्यंत काहीही. फक्त सेटची मांडणीचा संदर्भ देत असताना त्यातील घटकांचे स्वरूप काय आहे हे माहित असायला हवे. त्या सेटमध्ये सात दिवस वा बारा महिने किंवा धृतराष्ट्राची शंभर मुलं असू शकतील. त्याचप्रमाणे रिक्त सेटची मांडणी केल्यास त्यात शून्य घटक आहेत हे नक्कीच लक्षात येईल.

क्रमशः

...सोनेरी पाने...1
...सोनेरी पाने...2
...सोनेरी पाने...3
...सोनेरी पाने...4
...सोनेरी पाने...5
...सोनेरी पाने...6
...सोनेरी पाने...7
...सोनेरी पाने...8