गणितज्ञांच्या इतिहासातील (काही) सोनेरी पाने...7

केऑस(अनागोंदी) मधील सुसंगतीच्या शोधात

Chaos often breeds life, when order breeds habit.
-Henry Adams

दिवसेन दिवस जगणे अगदीच बिनभरवश्याचे होत आहे. जगभर करोडोनी अनपेक्षित घटना घडत असतात. आपल्याला असे वाटते की आपल्या नित्य जीवनावर किंवा जगातल्या कुठल्याही गोष्टीवर त्यांचे काहीही परिणाम होणार नाहीत. परंतु अशा काही अनपेक्षित घटनांचे थोडेसे विचारपूर्वक व बारकाईने विश्लेषण केल्यास त्यात एखादी सुसंगती असू शकेल वा त्यातून एखादे पॅटर्न निघू शकेल अशी एक दाट शंका मनाला चाटून जाऊ शकते. अगदी इतिहास काळापासून वैज्ञानिक, तत्वज्ञ व विचारवंत, जगभरातील घटनामागील सातत्य शोधत असताना त्यांच्या मागे काही सुसूत्रता आहे का वा त्या कुठल्यातरी नियमांच्या चौकटीत बसतात का याचा शोध घेत असतात व त्या घटनामागे कुठले नियम लागू होत असतील याचा कयास बांधत असतात. काही वेळा घटनामागील सुसंगती ठळकपणे असल्याचे लक्षात येते. उदाः घड्याळाच्या लंबकाच्या चलनातील पॅटर्न वा ग्रह-ताऱ्यांचे भ्रमणमार्ग व कालावधी, वा समुद्राची ओहोटी-भरती. यातील कार्य-कारणभाव समजून घेण्यात आपण यशस्वी झालेलो आहोत. एवढेच नव्हे तर काही नैसर्गिक घटनांच्या मागे दडलेले नियम शोधणेही आपल्याला शक्य झाले आहे.

परंतु काही नैसर्गिक घटना अजूनही आपल्याला चक्रावून टाकत आहेत. उदाः वातावरणात होत असलेले बदल वा हृदयातून व हृदयाकडे वाहत जाणारा रक्ताचा पुरवठा वा हवामानाचा लहरीपणा. गेली अनेक शतके या काँम्प्लेक्स सिस्टिम्सचे उत्तर अशक्य असेच वाटत होते. म्हणूनच या समस्यांना आपण त्यांची यादृच्छिक (random) वा दैवी घटना या सदरात टाकत होतो. खरे पाहता अशा घटनांचे गणितीय विश्लेषण करू न शकल्यामुळे त्यांच्या संरचना समजत नव्हत्या. परंतु केऑस सिद्धांताने https://www.youtube.com/watch?v=eJAs9Qr359o आपली समज पूर्णपणे बदलून टाकली. व यासाठी हेन्री पॉइनकरे (1854 –1912) व एड्वर्ड लाँरेंझ (1917 –2008) यांना आपण ऋणी आहोत.

विसाव्या शतकातल्या गणिताचा पाया हेन्री पॉइनकरे या अद्वितीय गणितज्ञानं घातला. 19व्या शतकात अनेक उत्तमोत्तम गणितज्ञं झाले. पण पॉइनकरे हा त्यांचा शिरोमणी ठरला. प्युअर आणि अप्लाईड अशा दोन्ही गणितांचा अभ्यास करणारा तो बहुधा शेवटचा गणितज्ञ असावा. अंकगणित, बीजगणित, भूमिती, गणितीय विश्लेषण, खगोलशास्त्र, गणितीय भौतिकशास्त्र अशा गणिताच्या विविध शाखावर त्याचे प्रभुत्व होते. गणिताच्या इतिहासातला अशा प्रकारचा प्रभुत्व असणारा हा शेवटचा गणितज्ञ ठरेल. या फ्रेंच गणितज्ञाचे बहुगतिक तंत्र (dynamic systems) व टोपोलॉजीसंबंधी केलेले योगदान अविस्मरणीय ठरेल. टोपोलॉजी या शाखेचा तो जनक होता.

1887मध्ये गणित विषयात विशेष रुची असलेल्या नार्वे-स्वीडनचा राजा, ऑस्कर II यानी गणिताच्या अभ्यासकांसाठी स्पर्धा जाहीर केली. स्पर्धेचा विषय होता: न्यूटनच्या गतिकी नियमांचे व समीकरणांचे वापर करून सौरमालिकेतील ग्रहांचे यापूर्वीच्या काळातील व भविष्यातील स्थान याबद्दलची माहिती. पॉइनकरेनी व्यवस्थेतील अनिश्चिततेविषयी काही ठोकताळ्यावरून प्रारंभीच्या स्थितीतील काही बारीक-सारीक फरकसुद्धा अंतिम स्थितीवर फार मोठे परिणाम करू शकतात, अशी मांडणी केली. सुरुवातीची थोडीशी चूक शेवटी शेवटी बृहदाकार घेत असल्यामुळे निश्चित असे काही सांगता येत नाही. त्यामुळे समस्येला उत्तर मिळू शकत नाही. या मांडणीबद्दल पॉइनकरेला स्पर्धेचे पारितोषक मिळाले.

पॉइनकरे याच्या अनिश्चितेच्या मांडणीकडे पुढील शंभर वर्षे दुर्लक्षित केले गेले. परंतु एड्वर्ड नॉर्टो एन लॉरेंझ या गणितज्ञ -हवामानतज्ञामुळे https://www.youtube.com/watch?v=bZ6yxt_o_CQ पुन्हा एकदा त्या मांडणीला जीवदान मिळाले. हवामानातील हवेच्या प्रवाहाच्या एका गणिती प्रारूपाचा अभ्यास करत असताना पॉइनकरेचा शोधनिबंध तो वाचत होता. त्यावरून त्यानी या प्रारूपाची फेरमांडणी केली. प्रारूपाचे सदृशीकरण करण्यासाठी सुरुवातीच्या इन् पुट्स (inputs) ऐवजी पहिल्या प्रारूपातील मधलेच इन् पुट्स घेत नंतरच्या प्रारूपासाठी वापरू लागला.

संगणक सहा दशांशपर्यंतच्या संख्या आकडेमोडीसाठी वापरते व तीन दशांशापर्यतच प्रिंट करते. लॉरेंझसुद्धा प्रिंट केलेल्या संख्याच इन् पुटसाठी वापरत होता. या दोन्ही संख्यामध्ये 0.0001 पेक्षा कमी फरक असल्यामुळे पहिल्या प्रारूपासरखेच दुसऱ्या प्रारूपाचेही सदृशीकरण अपेक्षित होते. परंतु या दोन्ही प्रारूपाप्रमाणे केलेल्या हवामानाच्या अंदाजात फार मोठा फरक आहे असे त्याला जाणवले. त्यानी या सर्व गोष्टी त्याच्या “Predictability: Does the flap of a butterfly’s wing in Brazil set off a tornado in Texas?” शोधनिबंधात मांडल्या. व एका परिषदेत त्याचे वाचन केले. या शोधनिबंधाच्या वाचनाच्या वेळी त्यानी बटरफ्लाय इफेक्ट या शब्द समुच्चयाचा पहिल्यांदा वापर केला.

काही वर्षानंतर गणितातील सर्वोच्च पारितोषक असे मानले गेलेल्या फील्ड मेडल हे पारितोषक मिळवणाऱ्या स्टीफन स्मेल या कॅलिफोर्निया विद्यापीठातील गणितज्ञाने 'स्मेल हॉर्सशू' नावाच्या संकल्पनेच्या मांडणीतून केऑस कमी करणाऱ्या पदावलीचा शोध लावला. ही एक भौमितीय परिवर्तन असून त्यात एखाद्या चौकोनाचे अनेकवेळा आकुंचन, प्रसरण वा घडी करत राहिल्यास एका विशिष्ट क्षणी त्याचा आकार घोड्याच्या नालासारखा दिसू लागतो. संकल्पना सोपी असली तरी त्यातून जगभर अनुभवात येणाऱ्या केऑसकडे वाटचाल होऊ शकते.

परंतु सुसंगतेचा केऑसमध्ये कसा काय बदल होऊ शकतो? 1970च्या सुमारास गणीतीय भौतशास्त्रज्ञ, मिचेल फेनबॉम यानी एक मूलभूत प्रस्ताव मांडला. संगणकांच्या अफाट कार्यक्षमतेचा वापर करून सुसंगतीचे केऑसमध्ये रूपांतर करणाऱ्या गणीतीय फंक्शन्सचे उत्तर शोधत असताना एका स्थिरांक दिसू लागतो. हा स्थिरांक सुमारे 4.6692… असून हा स्थिरांक फेनबॉम स्थिरांक या नावाने गणित विश्वात ओळखला जातो.

1980च्या दशकात केऑस चर्चेसाठी हा फार मोठा विषय होता. अनेक विद्यापीठात व संशोधक केद्रात गणितज्ञांचे गट रेखीव नसलेले गतिक nonlinear dynamics व जटिल प्रणाली या विषयासाठी वाहून घेत होते. बायफर्केशन (बारीक-सारिक बदलामुळे प्रणालीचे द्विविभाजन होणे), फ्रॅक्टल (केऑसची प्रतिकृती) सारख्या पदांची रेलचेल वाढू लागली. त्याचबरोबर बटरफ्लाय इफेक्ट तर गटातील सर्वांच्या तोंडी होते.

केवळ गणित नव्हे तर हवामान शास्त्र, मानववंश शास्त्र, समाज शास्त्र, भौतिकशास्त्र , तत्वज्ञान, संगणक शास्त्र, यांत्रिकी इत्यादी सर्व संलग्न ज्ञानशाखेच्या शास्त्रज्ञांना निसर्गातील यदृच्छतेपलीकडे बघावेसे वाटत होते. निसर्गाची मनमानी असे वाटणाऱ्या घटनांच्यातून काही अर्थबोध होऊ शकतो का याचा विचार करत होते. अर्थशास्त्रज्ञसुद्धा अनपेक्षितरित्या चढ-उतार होत असलेल्या आर्थिक बाजाराच्या विश्लेषणासाठी व हवामानतज्ञ हवामान बदलातील मागोवा घेण्यासाठी या केऑस सिद्धांताचा उपयोग होईल का याचा अंदाज घेत होते. खगोलशास्त्रज्ञसुद्धा अवकाशातील ग्रह-ताऱ्यांच्या भ्रमणातील काही अनुत्तरित प्रश्नांची उत्तरं शोधण्यासाठी या सिद्धांताचा उपयोग करून घेण्यात रुची दाखवत होते. या सर्व क्षेत्रामध्ये केऑस सिद्धांतामुळे काही क्रांतीकारक बदल होऊ लागले.

निसर्गातील मनमानी वा अनागोंदी सदृश असलेल्या लाखो-करोडो घटनामध्येसुद्धा काही सुसंगती असू शकते याचा शोध घेण्यासाठी केऑस सिद्धात हे एक महत्वपूर्ण गणीतीय साधन म्हणून पुढे येऊ लागले. हा सिद्धांत खालील दोन कल्पनांच्या भोवती विकसित झाला आहेः

1. अगदी गुंतागुंतीच्या समजल्या गेलेल्या घटनाक्रमामध्येसुद्धा सुसंगती असू शकते, व
2. या काँम्प्लेक्स सिस्टिम्सच्या दूरगामी परिणामाचा वेध घेत असताना प्रारंभीच्या स्थितीतील थोडासा फरकसुद्धा (उदाः तापमानातील किरकोळ बदल वा वाऱ्याच्या वेगातील फरक वा पाण्याच्या प्रवाहाच्या वेगातील किरकोळ फरक) फार मोठा परिणाम घडवू शकतो व त्याचे मोजमाप करणे अशक्य ठरते. (गणीतीय भाषेत या स्थितीला प्रारंभीच्या स्थितीवर निर्भर असलेली प्रणाली असे म्हटले जाते.)

याचा अर्थ असे नव्हे की काही यादृच्छिक घटकांना वगळून प्रारंभीची स्थिती समजली म्हणून जे काही होणार आहे ते टाळता येत नाही. त्यामुळे नियतीवादी गुणधर्म असणाऱ्या या सिस्टिम्सबद्दल पुढे काय होणार हे निश्चितपणे सांगता येणार नाही. फार फार तर केऑस सिद्धांताचा वापर करून काँम्प्लेक्स सिस्टिम्सचा भविष्यवेध का घेऊ शकत नाही याचे विश्लेषण करणे शक्य होईल.

क्रमशः

...सोनेरी पाने...1
...सोनेरी पाने...2
...सोनेरी पाने...3
...सोनेरी पाने...4
...सोनेरी पाने...5
...सोनेरी पाने...6