गणितज्ञांच्या इतिहासातील (काही) सोनेरी पाने...4

गणितविश्वातील महान क्रांतीकारकः आयझॅक न्यूटन

I do not frame hypothesis.
Issac Newton

17व्या शतकातील युरोपमध्ये नुकतेच जागतिकीकरणाचे वारे वाहत होते. दूर दूर पसरलेल्या वसाहती देशाबरोबरच्या व्यापारासाठी जहाजांचा वापर केला जात होता. युरोपमधील समुद्रकिनारी असलेली शहरं आंतरराष्ट्रीय व्यापाराचे नियंत्रण करत होते. याच बंदरामधून जहाजावर मालांची चढ - उतार मोठ्या प्रमाणात होत होती. अशाच वेळी केव्हातरी माल व प्रवाश्याबरोबर उंदीरही जहाजात घुसले. उंदीराबरोबर प्लेगचे विषाणूही घुसले. व जगभर जीवघेण्या प्लेगची साथ पसरली. बंदरावर उतरलेल्या प्रवाशाबरोबर हे ब्युबॉनिक प्लेगचे विषाणू इतरांच्या शरीरात प्रवेश करू लागले. पहिल्या आठवड्यात एका-दोघांच्या मृत्युची नोंद झाली. त्याच्या पुढच्या आठवड्यात हा आकडा शंभरापेक्षा जास्त झाला. महिन्याभरात हजारो मृत झाले. लंडनमध्ये त्या थोड्याशा अवधीत या साथीच्या रोगामुळे 20-30 टक्के जनसंख्येला प्राणास मुकावे लागले. लोकांना घराबाहेर पडण्यास बंदी घालण्यात आली. शाळा-कॉलेज ओस पडले. केंब्रिज विद्यापीठात शिकत असलेल्या 23 वर्षाच्या तरुण न्यूटनला त्याच्या वूल्सथॉर्प या जन्मगावी परतावे लागले.

photo 1 1642च्या क्रिसमस सणाच्या दिवशी इंग्लंडमधील एका खेडयात जन्मलेला न्यूटन जन्माआधीच पोरका झाला होता. काहीसा एकलकोंडा व अशक्त प्रकृतीचा न्यूटन काहीना काही विचार करत असे. त्याचा मेंदू हीच त्याची प्रयोगशाळा. त्याच्या कुटुंबियांच्या शेतातील सफरचंदाच्या झाडाखाली एकटाच बसून तो आपल्या विचारात गुंग होत वेळ घालवत होता. याच विश्रांतीच्या काळात न्यूटनने आपल्या प्रतिभाशक्तीने जगाला आश्चर्यचकित करून टाकणाऱ्या कित्येक नवीन नवीन कल्पनांची मांडणी केली. त्यांनी आपल्या कुशाग्र बुद्धीच्या बळावर भौतिकी आणि गणित क्षेत्रांत महान ख्याती प्राप्त केली.

या अज्ञातवासाच्या काळात स्वतःच्या अभ्यासासाठी त्यानी स्वतःचीच पुस्तकसंग्रहाची व्यवस्था केली. नोंदीसाठी हजार पानांचे एक नोटबुक शिवून घेतले. स्वतः वाचलेल्या गोष्टींची तो नोंद ठेऊ लागला. संशोधन पद्धतीतून त्याचा अभ्यास चालू होता. स्वतःच एखादी समस्या उपस्थित करत होता. त्या अनुषंगाने उत्तरं तो शोधत होता. पुन्हा प्रश्न-उपप्रश्न विचारत तो उत्तरं शोधत होता. अशा प्रकारे त्याचे संशोधन या प्लेगच्या साथीच्या काळात अखंडपणे चालू ङोते. आपण संशोधन करत आहोत याची किचितशी कल्पना त्याला त्याकाळी कदाचित नसेल. एकटाच एकांतात, कुणाबरोबरही संवाद न करता त्याचे हे संशोधन चालू होते व बघता बघता गणितातील अनेक विषयावर मूलभूत टिप्पणी करून गणित, भोतिकी, खगोलशास्त्र इत्यादीत मोठ्या प्रमाणात भर घातली.

1665 व 1666 या दोन वर्षाच्या एकांताच्या कालावधीत स्वत:च्या प्रतिभाशक्तीने त्यानी नैसर्गिक सत्याचा पाठपुरावा केला. प्रकाशाचे स्वरूप काय असू शकेल, झाडावरील फळं जमीनीवर का पडतात, आकाशातील ग्रह-ताऱ्यांचे भ्रमण कशामुळे होते, इत्यादी नैसर्गिक घटनामागील सत्य जाणून घेण्यासाठी तो सतत विचार करत असे. आयझॅक न्यूटन यांना गणित विषयाप्रती खूप गोडी असल्याने त्यांनी या विषयाला अनुसरून विविध शाखांमध्ये प्राविण्य मिळविले. न्यूटन यांच्या आधी गणित क्षेत्रांत प्रसिद्धी मिळवणारे महान वैज्ञानिक पास्कल यांनी मांडलेल्या विचारांच्या आधारे त्यांनी सर्वकष स्वरूपातील बायनॉमियलचा सिद्धांत मांडला. या सिद्धांताच्या साह्याने दोन संख्यांच्या बेरजेचा वर्ग, आणि घन त्याचप्रमाणे घातांकाचे मूल्य सहज काढता येते.

या विचारामंथनाचे फलित म्हणजे त्यानी शोधलेले गुरुत्वाकर्षणासंबंधीचे व गतीसंबंधीचे ते प्रसिध्द नियम. प्रकाशिकी (optics), गुरुत्व शक्ती, गती नियम इत्यादींच्या बरोबरच गणितातील अत्यंत महत्वाचे समजलेल्या डिफरन्शियल व इंटिग्रल कॅल्क्युलसचा (differential and integral calculus) शोध न्यूटनने लावला. विसाव्या शतकातील तंत्रज्ञानाच्या विकासासाठी तरुण न्यूटनने शोधलेल्या गणितातील या दोन गोष्टी फारच उपयुक्त ठरल्या.

गणिती जगात इन्फायनेटेसिमल कॅल्क्युलस (Infinitesimal calculus) या नावाने ओळखले जाणाऱ्या या गणिती साधनांच्या सहायाने आधुनिक संशोधक ढगांचे चलन, समुद्राच्या लाटांचे ओहोटी-भरती, अवकाशातील ग्रह-ताऱ्यांचे भ्रमण, उपग्रहांचे नियंत्रण, साथीच्या रोगांचा प्रसार, वाहनांची रचना अशा अनेक गोष्टींचा अभ्यास करू शकले. आधुनिक अर्थव्यवस्थाच गणितातील या शोधामुळे उभी आहे, असे म्हटल्यास अतिशयोक्ती ठरणार नाही.

जग आहे तशी कल्पना करत त्या कल्पनांना गणितीय भाषेमध्ये मांडण्याचा त्यानी प्रयत्न केला. तार्किक मांडणी व आवश्यक पुराव्यांची जोड त्यांना दिली. नैसर्गिक घडामोडींचा विचार करताना काही गृहितकांची कल्पना करावी लागते. गृहितकांची सत्यासत्यता तपासावी लागते. अपवादांचा मागोवा घ्यावा लागतो. त्यातून सूत्रबध्दता आकार घेऊ लागते. त्यातून नियमांची मांडणी करता येते.

डेरिव्हेटिव्ह (चलाच्या संदर्भात फलामध्ये घडणाऱ्या बदलाचा तात्कालिक दरः अनुपात – derivative) व इंटिग्रल या त्याच्या संकल्पनेमुळे गणिती जगतात अक्षरशः क्रांती घडली. वेग व प्रवेग आणि त्यांचे वेळेशी असलेल्या संबंधाशी डेरिव्हेटिव्ह संकल्पना जोडण्यात न्यूटन यशस्वी झाला. क्षणोक्षणी होत असलेल्या बदलाचा वेध या संकल्पनेमुळे घेता आले. भूमितीत वक्ररेषेचे (curve) उतार (slope) काढण्यासाठी याचा उपयोग होऊ शकतो. या उतारावरून स्पर्षरेषा (tangent) काढणे सुलभ झाले.
photo 4
तद्विरुद्ध इंटिग्रलवरून वस्तूंचे क्षेत्रफळ, घनफळ वा गुरुत्वबिंदू काढता येऊ लागले. गंमत म्हणजे या दोन्ही संकल्पना गणितातील इन्फायनेटेसिमल कॅल्क्युलस या एका सुंदर सूत्राशी निगडित आहेत. एखाद्या नाण्याच्या दोन बाजूसारखे या संकल्पनेच्या एका बाजूला डेरिव्हेशन व दुसऱ्या बाजूला इंटिग्रेशन आहेत. अशा प्रकारे हे सूत्र वापरून डेरिव्हेशन नंतर इंटिग्रेशन वा इंटिग्रेशन नंतर डेरिव्हेशन यशस्वीपणे काढता येते.

1669मध्ये न्यूटनने डिफरन्शियल कॅल्क्युलसची संकल्पना विषद करणाऱ्या De analysi per aequationes numero infinorum terminorum,या शोधनिबंधाची हस्तप्रत इझ्याक बारो या त्याच्या गुरुस्थानी असलेल्या शिक्षकाकडे सुपूर्द केली. कदाचित जगातच पहिल्यांदाच डिफरन्शियल कॅल्क्युलसचा उल्लेख होत असावा. या निबंधात समीकरणं कशा प्रकारे सोडवता येतील याबद्दलची माहिती होती. यालाच न्यूटन-रॅफ्सन पद्धत म्हणून ओळखले जाते. या पद्धतीतून पॅराबोलाचे क्षेत्रफळ अचूकपणे काढणे शक्य झाले. न्यूटनपूर्वी जॉन वॅलेस (1616-1703 ) यानी यासाठी एक पद्धत शोधली होती. परंतु न्यूटनची ही फ्लुक्सिय़न्स पद्धत (method of fluxions) अत्यंत सुलभ व सुटसुटित होती.

न्यूटनच्या स्पर्षरेषेबद्दलच्या संकल्पना इन्फायनेटेसिमल कॅल्क्युलसशी व क्षेत्रफळाबद्दलच्या संकल्पना इंटिग्रलशी जोडलेले असले तरी प्रत्यक्ष व्यवहारात त्या एकमेकाशी व्यस्त प्रमाणात होत्या. न्यूटनचा याविषयीचा शोध निबंध, De methodis serierum et fluxionum, त्याच्या मृत्युपश्चात 1736मध्ये प्रकाशित झाला. यात त्यानी पहिल्यांदाच वेळेचे मापन म्हणून फ्ल्यूएंट्स (fluents) व वेगाचे मापन म्हणून वेळेशी संबंधित डेरिव्हेटिव्हची फ्लुक्सियॉन (fluxions) या संकल्पनांची मांडणी केली होती. त्याचबरोबर फ्लुक्सियॉनच्या गणनासाठी त्यानी अल्गॉरिदम्ससुद्धा लिहिलेले होते. आजही आपण क़ॉलेजमध्ये पहिल्या वर्षी शिकत असताना कॅल्कुलसची बेरीज, गुणाकार, भागाकार करण्यासाठी याच अल्गॉरिदम्सचा वापर करत असतो.

photo 2 त्यानी वक्ररेषेखालील क्षेत्रफळ कसे काढावे, याची पद्धतही त्यात विषद केली होती. त्यानी मांडलेल्या फ्ल्यूएंट्स पासून फ्लुक्सियॉन काढण्याच्या रीतीला आता आपण the primitive of a function म्हणतो. न्यूटनपूर्वी इटलीतील बोनाव्हेंच्युरा कॅव्हिलियरी व इव्हांजिलिस्टा टोरिसेल्ली, फ्रान्स येथील रेने देकार्ते व पियरे डि फेर्मा सारख्या अनेक गणितज्ञ/वैज्ञानिकांनी एखाद्या वक्राकृतीचे कमाल (maximum) व किमान (minimum) घटक काय असू शकतात या भौतिकीतील समस्येवर तोडगा काढण्याचे प्रयत्न केले होते. परंतु म्हणावे तसे यश त्यांना मिळाले नव्हते. परंतु न्यूटनच्या नवीन कॅल्क्युलसच्या सोप्या पद्धतीमुळे या समस्येला उत्तर मिळाले.

त्यानी मांडलेले अवकलन व समाकलन (डेरिव्हेटिव्ह व इंटिग्रल) हे मूलभूत गणिती पद्धत म्हणून व भौतिकीतील चलनाचे विश्लेषक म्हणून आजही त्यांचा वापर होतो. त्याच्या या संकल्पनेमुळे गणितशास्त्रात मॅथेमॅटिकल अ‍ॅनालिसिस ही स्वतंत्र शाखा भरभराटीस आली. आजही या शाखेचे संशोधक/अभ्यासक मोठ्या प्रमाणात कार्यरत आहेत.

गंमत म्हणजे या तरुण न्यूटनने आपल्या या संशोधनाचा अजिबात गाजावाजा केला नाही. त्याच्या निबंधाच्या प्रती इसॅक बारो व गणिती वर्तुळातील काही मोजक्या अभ्यासकांना 1669मध्ये त्यानी पाठवले असले तरी त्याची अधिकृत प्रत 1711मध्ये प्रकाशित झाली. या मध्यंतरीच्या काळात गॉटफ्रिड लेब्निझ या फ्रेंच गणितज्ञाने अशाच प्रकारच्या सिद्धांताचा शोध लावला व कॅल्क्युलसचा प्रथम संशोधक आपण आहोत, असे दावा केला. न्यूटननेसुद्धा वेळ न दवडता या संकल्पनेवर आपला हक्क आहे असा प्रतिदावा केला. परंतु गणित व विज्ञान जगतात या दावे-प्रतिदावेमुळे खळबळ उडाली व कित्येक वर्षे हे तुमुल युद्ध चालू होते. खरे पाहता १७व्या शतकाच्या प्रारंभीच्या काळात या दोन्ही महान गणितज्ञांना ही संकल्पना एकाच वेळी सुचली असेल याबद्दल शंका नसावी. त्या काळात वक्ररेषेअंतर्गत क्षेत्रफळ-घनफळ वा किमान-कमाल घटक यासाठी योग्य व सुलभ पद्धत शोधण्यासाठी अनेक गणितज्ञ श्रम घेत होते. म्हणूनच कदाचित न्यूटनने “मी अनेक महान व्यक्तींच्या खांद्यावर उभे राहून जगाकडे लांबवर पाहू शकलो तर…” असे त्याकाळचे त्याचे सहकारी रॉबर्ट हूक यांच्याशी केलेल्या पत्रोत्तरात उद्गार काढले होते.

त्याच्या या विधानातील नम्रपणा थोडेसे बाजूला ठेवले तरी न्यूटनने स्वतःतील प्रतिभेमुळे जगाला एक नवी दिशा दिली याबद्दल तिळमात्र संशय नाही. म्हणूनच त्याच्या मृत्युशिलेवर कोरलेले ‘मानवजातीला अलंकार वाटावा अशी एक प्रतिभावान व्यक्ती अस्तित्वात होती, म्हणून मर्त्य मानव आनंदित होतील,’ (“Mortals rejoice that there has existed such and so great an ornament of the human race!”) हे वाक्य आपल्या कायमचे लक्षात राहील.

क्रमशः
...सोनेरी पाने...1
...सोनेरी पाने...2
...सोनेरी पाने...3

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
0
No votes yet