गणितज्ञांच्या इतिहासातील (काही) सोनेरी पाने...1

स्कूल ऑफ पायथॅगोरस

Numbers rule the world.
Pythagoras

भौतिकी, रसायनशास्त्र, वैद्यकशास्त्र या विज्ञान विषयातील अती महत्वाच्या उपयोजित संशोधनांच्या तज्ञांना 1901 सालापासून दर वर्षी लाखो डॉलर्ससकट नोबल पारितोषक देऊन सन्मानित केले जाते. परंतु गणित या विषयातील संशोधकांना मात्र या पारितोषकाच्या गडगंज पैशापासून वगळले जाते. कदाचित नोबल पारितोषकासाठी निधीची व्यवस्था केलेल्या स्विडन येथील आल्फेड् नोबल या उद्योजकाला गणिताविषयी (वा गणितज्ञाविषयी!) काही कारणामुळे घृणा असावी. त्याच्या मते गणित वा विज्ञानातील सैद्धांतिक संशोधन हे फक्त अमूर्त (वा निरुपयोगी) स्वरूपातील गोष्टी असून त्यापासून मानवी समाजाला उपयुक्त असे काही मिळणार नाही. तरीसुद्धा संगणक काळातील माहिती विस्फोटाकडे पाहिल्यास गणिताचा आवाका व त्याच्या व्याप्तीची नक्कीच कल्पना येऊ शकेल. गणिताच्या इतिहासात डोकावल्यास प्राचीन ग्रीक काळापासून, आजच्या अंत्यत आधुनिक काळापर्यंतच्या जगभरातील अर्थशास्त्रापासून अवकाश तंत्रज्ञानापर्यंतच्या सर्व समस्यांवर गणिताने आपली छाप उमटली आहे. विज्ञानाची स्वतंत्र अशी एक ‘वैश्विक भाषा’ म्हणूनच गणिताला आजसुद्धा फार महत्व आहे.

मानवी इतिहासाची पाने उलटत असताना मानवी उत्क्रांतीच्या काळापासून सुमारे तीन लाख वर्षापर्यत या मानवी समूहाला जन्म-मृत्यु, आजारपण, ऊन-थंडी, वारा-पाऊस, पीकपाणीसारख्या कुठल्याही नैसर्गिक घटनांना वा भूकंप, वादळ, ज्वालामुखी, अतीवृष्टी-अनावृष्टी इत्यादी नैसर्गिक प्रकोपांना चमत्कारसदृश दैवीशक्तीच जबाबदार आहे, अशी समजूत होती हे लक्षात येते. इ.स.पू. 6व्या शतकात मात्र प्राचीन ग्रीकमधील काही विचारवंत या नैसर्गिक घटनांच्या मागील सत्याचा तार्किकरित्या उलगडा करू लागले. बुद्धीच्या कसोटीवरून या घटनांकडे पाहत असताना विज्ञानाचा उदय झाला. स्कूल ऑफ पायथॅगोरस या नावाने ओळखले गेलेले पायथॅगोरस व त्याच्या शिष्यवर्गाने बौद्धिक चर्चेमधून काही गृहीतकांचा वेध घेतला व यातून अमूर्त गणिताचा पाया रचला गेला. इ.स.पू. 569 ते 475 दरम्यानच्या काळात पायथॅगोरस व त्यांच्या चमूने काही स्वयंसिद्धकं (axioms) व गृहीतकं (postulates) यांच्या आधारे निसर्गातील घटनांच्या मागील कार्य-कारण भावांचे वेध घेत घेत गणितशास्त्राला आकार देऊ लागले. खरे पाहता पायथॅगोरसच्या पूर्वीसुद्धा इजिप्त व मेसोपोटोमिया या देशात जमीनीची वाटणी, खरेदी-विक्री इत्यादीसारख्या व्यावहारिक समस्यांसाठी काही जुजबी नियम होते. कदाचित पायथॅगोरसला याबद्दलची माहिती त्याच्या तेथील वास्तव्यात मिळाली असेल व त्याच नियमांच्या आधारे भूमिती व अंकगणित यांच्या स्वरूपात पायथॅगोरसने या नियमांची पुनर्मांडणी केली असेल. ग्रीसमध्येही गणिताविषयी त्याकाळच्या विचारवंतामध्ये चर्चा घडत होत्या व काही नियमांची व गृहितकांची जुळणी केली जात होती. या स्वयंसिद्धकांचा वापर करून व तर्कशक्ती लढवून व्यावहारातील समस्यांना उत्तरं शोधत गणितशास्त्राची चौकट उभे करण्यात स्कूल ऑफ पायथॅगोरस यशस्वी झाली.

कलेसाठी कला याप्रमाणे गणितासाठी गणित असे त्याचे स्वरूप त्यानंतर न राहता सर्व ज्ञानशाखांचे मूलस्रोत म्हणून पायथॅगोरस व त्याचे स्कूल या ज्ञानशाखेकडे पाहू लागले. मुळात नैतिकतेच्या अधिष्ठानावर रचलेली एक आखीव-रेखीव, पक्की एकजूट असलेली ही पायथॅगोरियन कम्युनिटी होती. त्यांचे कपडे-लत्ते, आहार-विहारसारख्या सर्व दैनंदिन व्यवहारामधील शिस्तबद्धता पायथॅगोरसने आखून दिलेल्या नियमांच्यावरच आधारित होत्या. कदाचित गणितप्रेमींचा पंथ असेच स्वरूप या कम्युनिटीला आले होते.

पायथॅगोरसच्या व्यतिरिक्तसुद्धा त्याच्या स्कूलच्या अनेकांनी गणिताच्या विकासाला हातभार लावला होता. ज्या काळात स्त्रियांना व्याख्यानं ऐकायलासुद्धा बंदी होती त्याकाळात त्याच्या अगदी जवळच्या 235 शिष्यांपैकी 17 महिला होत्या. अथेनियनच्या समकालीन महिलांप्रमाणे निमूटपणे पुरुषांच्या ‘हो’ला ‘हो’ म्हणणाऱ्या त्या नव्हत्या तर या पायथॅगोरियन महिला प्रत्यक्ष चर्चेत भाग घेणाऱ्या होत्या. या महिलांनी केलेली टीका-टिप्पणी वा विनोदी शेरेबाजींचा उल्लेख नंतरच्या काळातील तत्ववेत्त्यानी केला आहे. त्या महिलांपैकी थिअ‍ॅनो (Theano) या महिलेचा गणित विषयासाठी दिलेले योगदान फार मोठा आहे.
तिने गणितातील π व e या अपरिमेय संख्यांच्या पङ्तीत बसणाऱ्या गोल्डन मीन वा गोल्डन रेश्यो या नावाने ओळखणाऱ्या φ या अपरिमेय संख्याची भर घातली. एका सरळ रेषेचे अ व ब (अ>ब>0) असे दोन भागात विभागणी करून (अ+ब)/अ हा गुणोत्तर अ/ब या गुणोत्तराशी जुळल्यास अ/ब या गुणोत्तरास गोल्डन रेश्यो या नावाने ओळखले जाते. या गुणोत्तरची किंमत जवळपास 1.61803339887..... असते.

गणितातील या गोल्डन रेश्योने गेली 2500 वर्षे अनेक गणितज्ञांना व तत्त्ववेत्त्यांना मोहून टाकले आहे. पायथॅगोरस, युक्लिड, लिओनार्डो दा व्हिन्सी, केप्लर यांच्यापासून अगदी अलीकडील रॉजर पेनरोझपर्यंत सर्व गणितज्ञांना गोल्डन रेश्योने भुरळ घातली आहे. सोळाव्या शतकातील केप्लर या खगोल-शास्त्रज्ञाच्या मते भूमितीमधील पायथॅगोरसच्या काटकोन-त्रिकोणासंबंधीच्या सिद्धांताइतकेच सुवर्ण गुणोत्तरही बहुमूल्य आहे. एका जर्मन मानसशास्त्रज्ञाने डोळ्यांना आल्हाददायक वाटणाऱ्या खिडक्या, फोटो, पत्रं, ग्रीटींग कार्ड्स, आरसे, पुस्तकं, तैलचित्रं इत्यादी असंख्य गोष्टींच्या चौकटींचे मोजमाप गोल्डन रेश्योशी मिळते-जुळते आहेत हे लक्षात आणून दिले. कित्येक इजिप्टॉलॉजिस्ट्सना इजिप्शियन् पिरॅमिड्समध्येही अनेक ठिकाणी गोल्डन रेश्यो दिसले आहेत.

गोल्डन रेश्योव्यतिरिक्त थिअ‍ॅनोने बहुभुज घनाकृतीच्या भुजा आणि त्यांचे कोनवरील काढलेले निष्कर्षसुद्धा वाखाणण्यासारखे आहेत. विशेषकरून 12 भुजं असलेली द्वादशपृष्टक (dodecahedron) घनाकृती अंकगणितातील विस्मयकारक आकृती अशी समजली जाते.
तिने भरपूर काही लेखनही केले होते परंतु ते कधीच प्रसिद्ध होऊ शकले नाही. तिला गणिताबरोबरच खगोलशास्त्र व वैद्यकशास्त्र व नीतीशास्त्र इत्यादीतही रुची होती
.
थिअ‍ॅनोचे पायथॅगोरसशी असलेल्या नातेसंबंधाबद्दल अनेक आख्यायिका आहेत. काहींच्या मते ती फक्त त्याची मैत्रिण होती तर काहींच्या मते ती त्याची पत्नी होती. काही अभ्यासकांच्या मते ती पायथॅगोरसचा शिष्य, ब्राँटिनोची मुलगी तर काहींच्या मते ती ब्राँटिनोची पत्नी होती. एका आख्यायिकानुसार ती खूप मन लावून गणित शिकवत असल्यामुळे त्याच्यापेक्षा ३४ वर्षानी लहान असलेल्या थिअ‍ॅनोच्या प्रेमात पायथॅगोरस पडला, त्यानी लग्न केलं व या जोडप्याला पाच मुलं झाली.

पायथॅगोरियन्सना संख्यांच्या वैशिष्ट्याविषयी जबरदस्त आकर्षण होते. त्यांच्या मते सर्व वस्तूंच्या रचनेत संख्या अती आवश्यक असतात. एकतारी वापरून केलेल्या प्रत्यक्ष प्रयोगातून संगीतातील विविध स्वर व आकाशातील ग्रह-ताऱ्यांचे भ्रमणदिशा व काल यांचे नेमके वर्णन हे गणिताद्वारे सप्रमाण सिद्ध करून ते दाखवू शकले.

संख्यांच्या स्वरूपावरून सम व विषम संख्या अशी विभागणी त्यांनी केली. त्यांना अपरिमेय संख्या माहित होत्या. त्यांना परफेक्ट संख्यांचा - ज्या संख्यांच्या विभाजकांची बेरीज त्या संख्येएवढी असते त्या संख्यांचा परिचय होता. उदाः 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 (इतर परफेक्ट संख्याः496, 8128, व 33550336...)

त्यांना फ्रेंड्ली संख्यांच्या जोडींची (अमिकेबल पेर्स) – एकमेकाच्या विभाजकांची बेरीज जुळत असलेल्या संख्यांच्या जोडींची - माहिती होती. उदाः 220 व 284 या फ्रेंड्ली संख्यांची जोड आहे. कारण 220 च्या 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 व110 या विभाजकांची बेरीज 284 होते व 284च्या 1, 2, 4, 71 व 142 या विभाजकांची बेरीज 220 होते. पहिले दहा मित्रसंख्यांच्या जोड्या असे आहेतः (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), व (66928, 66992)

(आय इ डिक्सन या गणितज्ञाने मित्रसंख्यांच्या जोड्याप्रमाणे अमिकेबल ट्रिप्लेटची भर घातली. उदाः1980, 2016, 2556 या संख्यांच्या त्रिकुटामध्ये एका संख्याच्या विभाजकाची बेरीज उरलेल्या दोन संख्यांच्या बेरिजेएवढी असते. (2016 च्या विभाजकाची बेरीज 4536 असून उरलेल्या 1980+2556 = 4536 आहे.)

पायथॅगोरियन्सना प्रत्येक संख्येभोवती गूढ वलय असते व ते उकलणे गरजेचे आहे अशी भावना होती. त्यांना 1 ही मूळसंख्या असून सर्व सम संख्या पुरुष आहेत व सर्व विषम संख्या स्त्रिया आहेत असे वाटत होते. संख्यांच्यामुळेच मूळवस्तूंची स्थिती बदलते व वस्तूंच्या स्थिरता/अस्थिरतांचा शोध घेता येतो, याबद्दल त्यांचा ठाम विश्वास होता. संख्यांच्या मागील चमत्कारांचा शोध घेण्याच्या या दृष्टीकोनामुळे ते वास्तवापासून दूर दूर गेले व त्यांच्या याच समजुतीमुळे पायथॅगोरियन्सची पुढील प्रगती खुंटली. वास्तव केवळ पूर्णांक वा अपूर्णांकातून समजून घेता येत नसून त्यासाठी आणखी काही तरी हवी याची जाणीव नंतरच्या काळात झाली. वर्तुळाचे गूढ उकलताना पूर्णांक व अपूर्णाकासारखे आणखी काही गुंतागुंतीच्या, समजण्याच्या पलिकडच्या चक्राकार अंकांची श्रेणी न देऊ शकणाऱ्या (π सारखे) इरॅशनल (अपरिमेय) संख्या अस्तित्वात असू शकतात, हे त्यांच्या लक्षात आले. या अपरिमेय संख्यामुळे त्यांना वास्तवाचे भान आले व हे जग ते समजत होते तितके साधे, सरळ नसून भरपूर गुंतागुंतीचे आहे याची त्यांना जाणीव झाली.

क्रमशः