पर्सनल फायनान्स - भाग ७ - युटीलिटी थियरी
भाग १...भाग २...भाग ३...भाग ४...भाग ५...भाग ६...
आयुष्यात आपण नेहमी बरीच निवड करत असतो, पर्याय निवडत असतो. पर्याय म्हणजे आज मी बसने जाऊ की गाडीने जाऊ इतका सोपा असू शकतो किंवा मी स्टॉक विकत घेऊ की निम्मे म्युचुअल फंड/निम्मे सोने विकत घेऊ की त्याऐवजी ते पैसे वापरून कर्ज कमी करू, असा जरा क्लिष्टपण असू शकतो. प्रत्येक चॉईस जो आपण करतो, त्यात थोडीतरी अनिश्चितता/रिस्क असतेच. त्याचा अभ्यास डिसिजन थिअरीस्ट करतात.
खालील उदाहरण बघू:
तुम्हाला जास्त काय आवडेल?
अ) नाणेफेक करा. जर छापा आला, तर तुम्हाला १०० रुपये मिळतील, जर काटा आला तर काहीच मिळणार नाही.
ब) तुम्हाला हमखास ४६ रुपये मिळतील.
युटिलिटी म्हणजे उपयुक्तता ज्याच्यामुळे आपली गरज किंवा इच्छा पूर्ण होते. युटिलिटी थियरी ही वेगवेगळ्या पर्यायांचा अभ्यास करते. आपण बहुतेकदा मनातल्या मनात, कळत-नकळत पर्यायांचा अभ्यास करतो आणि आपल्याला वाटेल तो सर्वोत्तम पर्याय निवडतो. अपेक्षित युटीलिटी थिअरी ही डॅनियल बरनॉली या स्विस गणितज्ञ, वैज्ञानिकाने १७३८ साली मांडली. (हा तोच बरनॉली ज्याचे "बरनॉली प्रिन्सिपल" हे फ्लुइड डायनॅमिक्समध्ये प्रसिद्ध आहे.)
वरील उदाहरणात अ) मध्ये युटिलीटी आहे ५० रुपये = (१०० गुणिले ५०% शक्यता) + (० गुणिले ५०% शक्यता) = (१०० x ०.५) + (० x ०.५)
ब) मध्ये युटिलीटी आहे ४६ रुपये.
बरनॉलीने पैशाची मानसिक किंमत, पैशाची हाव (desirability of money) आणि युटिलिटी विरुद्ध पैसे यांचा अभ्यास केला. त्याने दाखवले की ज्याच्याकडे १०० ड्युकॅट (त्या काळचे पैसे) आहेत त्याला १० ड्युकॅट्चे बक्षीस जितका आनंद देते, तेव्हडाच आनंद दुसर्याला २० ड्युकॅट मिळाल्याने होतो, ज्याच्याकडे २०० ड्युकॅट आहेत. आपणसुद्धा नेहमी टक्केवारीतच बोलतो की तिला ३० टक्के पगार वाढला. ही ३०% वाढ गरीब आणि श्रीमंत यांना सारखाच आनंद देते, पण निव्वळ मूल्यात मोजलेली ५०० रुपये वाढ दोघांना सारखाच आनंद देणार नाही.
फेशनरच्या नियमाप्रमाणेच, पैशाच्या बदलामुळे मिळणारी युटिलिटी ही लॉगरिदमिक पट्टीत बदलते. याचा अर्थ रुपये १०,००० आणि १ लाख मध्ये जे मानसिक अंतर आहे, तितकेच अंतर आहे १ लाख आणि १० लाखात.
बरनॉलीच्या थिअरीआधी सगळ्यांना वाटायचे की सर्वजण फक्त आपला जास्तीत जास्त फायदा होईल ते बघतात. नेहमी जास्तीत जास्त युटिलिटी ज्यात मिळेल, तोच पर्याय नेहमी निवडला जातो. बरनॉलीने दाखवले की हे सत्य नाही.
आता बघुया:
१) ८०% शक्यता तुम्ही $१०० जिंकणार आणि २०% शक्यता $१० जिंकणार
२) तुम्ही $८० हमखास जिंकणार
इथे पहिल्या पर्यायात युटिलिटी आहे $८२ = (०.८ x १०० + ०.२ x १०) आणि दुसर्यामध्ये $८०
आता स्वतःला प्रश्न विचारा: यापैकी कुठला पर्याय तुम्ही बक्षिस म्हणून स्वीकाराल? $८२ चा जुगार की हमखास मिळणारे $८०. जर एक्स्पेक्टेड युटिलिटीने पर्याय निवडला जात असेल तर लोकांनी जुगार निवडला पाहिजे कारण $८२ हे नक्कीच $८० पेक्षा लाभदायक आहेत. पण बरनॉलीने दाखवले की लोक जुगाराची किंमत अश्या प्रकाराने ठरवत नाहीत.
बरनॉलीने मत मांडले की लोकांना रिस्क आवडत नाही. जर त्यांना एका बाजूला जुगाराची शक्यता दिली आणि दुसर्या बाजूला तितक्याच युटिलिटीचा पण हमखास असा पर्याय दिला तर ते हमखास पर्यायच निवडतात. खरंतर जे लोक रिस्क-टाळणारे (risk-averse) असतात, ते तर युटिलिटीपेक्षा किंचित कमी असा पर्यायसुद्धा निवडतात, कारण त्यांना रिस्क नको असते किंवा कमी रिस्क हवी असते. म्हणजे $८० ऐवजी ते कदाचित $७८ सुद्धा घेतील.
याचाच अर्थ लोकांची निवड पैशाच्या मूल्यावर अवलंबून नसते, तर त्या युटिलिटीची/पर्यायाची "मानसिक किंमत" किती आहे, याच्यावर अवलंबून असते. त्यामुळे कुठल्याही जुगाराची मानसिक किंमत ठरवताना आपण "पैशाचे अॅव्हरेज" बघत नाही, तर आपण "मानसिक किंमतीचे म्हणजे युटिलिटीचे अॅव्हरेज" बघतो.
त्यामुळे संपत्ती आणि त्याची युटिलिटी हे साधारणतः असे असते.
संपत्ती (लाखात) १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९ १०
युटिलिटी पॉइंट १० ३० ४८ ६० ७० ७८ ८४ ९० ९६ १००
१ लाख संपत्तीत अजून १ लाख मिळाले तर २० युटिलिटी पॉइंट वाढतात, पण तेव्हडेच १ लाख आधीच्या ९ लाख संपत्तीत भर पडले तर युटिलिटी पॉइंट फक्त ४ ने वाढतात. वाढणारे पैसे आणि वाढणारी युटिलिटी हे एका सरळ रेषेत नाहीत.
बरनॉलीचे म्हणणे असे होते की घटत जाणारी युटिलिटी हे आपल्या दृष्टीने रिस्क टाळण्यासाठी कारणीभूत आहे. जर युटिलिटी तितक्याच प्रमाणात वाढत नसेल, तर कोण उगीचच रिस्क घेईल? म्हणूनच जुगार जरी तुम्हाला अनुकूल असला, तरी आपण तेव्हडीच किंवा किंचित कमी युटिलिटी घेतो.
आता पुढचा जुगार बघुया:
अ) १ लाख किंवा ७ लाख मिळण्याची समान शक्यता म्हणजे प्रत्येकी ५० टक्के शक्यता (०.५x१ + ०.५x७) = ४ लाख, याची युटिलिटी आहे (१०+८४)/२ = ४७.
ब) हमखास ४ लाख मिळणार याची युटिलिटी आहे ६०.
या दोन्ही उदाहरणात "पैशाची युटिलिटी" समान आहे म्हणजे ४ लाखच आहे, पण "मानसिक युटिलिटी" वेगळीवेगळी आहे. पहिल्यात ४७ आणि दुसर्यात ६०. अर्थातच आपण दुसरा पर्याय निवडणार.
रिस्क टाळण्याची प्रवृत्ती:
एक्स्पेक्टेड युटिलिटी थिअरीने दाखवले आहे की रॅशनल (म्हणजे नीट विचार करून निर्णय घेणारे) लोक मिळणार्या युटिलिटीचा जास्तीत-जास्त फायदा करून घेण्याचा प्रयत्न करतात, पण ते सोबतच नकळत रिस्कचा पण विचार करतात आणि रिस्कचा विचार करताना ते फायदेशीर जुगार खेळायलासुद्धा नकार देतात. घटत जाणार्या युटिलिटीमुळी रिस्क टाळण्याची वृत्ती येते.
बरनॉलीची ही थिअरी अतिशय उपयोगी आणि अचूक म्हणून नावाजली गेली. ही थिअरी वापरून त्याने सेंट पीटर्सबर्गचा पॅरॅडॉक्स सोडवला. त्याची थिअरी वापरून सांगता येते की गरीब लोक विमा का विकत घेतात आणि श्रीमंत लोक तोच विमा त्यांना विकणे का पसंत करतात. लोकांचा रिस्क घेण्याचा दृष्टिकोन आणि पैशाची युटिलिटी यावरचा बरनॉलीचा हा अभ्यास सर्वमान्य होता. खरंतर ही थिअरी २५० वर्षे काहीही बदल न होता तशीच टिकली, हे आश्चर्यकारक आहे कारण यात मोठ्ठा दोष आहे.
त्रुटी:
पुढील उदाहरण बघू:
आज राम आणि श्यामकडे प्रत्येकी ५० लाख रुपये आहेत.
काल रामकडे १० लाख होते आणि श्यामकडे ९० लाख होते.
ते दोघे आज सारखेच आनंदात आहेत का? (त्यांच्याकडे सारखीच युटिलिटी आहे का?)
बरनॉलीची थिअरी म्हणते की पैशामुळे मिळणारी युटिलिटी आपल्याला जास्त आनंदी किंवा कमी आनंदी बनवते. राम आणि श्यामकडे सारखीच संपत्ती आहे आणि त्यामुळे बरनॉलीची थिअरी म्हणते की ते दोघे सारखेच आनंदात हवेत. अर्थात तुम्हाला कोणी पटवून द्यायला नको की या परिस्थेतीत राम खूप खुश आहे आणि श्याम खूप दु:खात आहे. उलट रामकडे ५० ऐवजी २० च लाख असते आणि श्यामकडे ५० लाख असते, तरी राम जास्तच आनंदात असता. (५० लाख हे २० पेक्षा जास्त असूनही).
आता बघुया जुगाराचे उदाहरण.
रामकडे आज आहेत १ लाख रुपये.
श्यामकडे आज आहेत ४ लाख रुपये.
त्या दोघांना पुढील पर्याय दिले आणि त्यातून १ निवडायचा आहे.
१. जुगार ज्यात तुमच्याकडे उरतील १ लाख (५०% शक्यता) किंवा ४ लाख (५०% शक्यता)
२. हमखास २ लाख उरतील.
बरनॉलीच्या दृष्टीने राम आणि श्यामचा चॉईस सारखाच आहे: पर्याय १ निवडला तर एक्पेक्टेड संपत्ती असेल २.५ लाख. जर पर्याय २ निवडला तर रहातील २ लाख. बरनॉलीनुसार त्या दोघांनी एकसारखाच पर्याय निवडायला हवा, पण प्रत्यक्षात तसे होईल का? पर्याय २ मुळे राम खुष होईल, पण श्याम एकदम दु:खी. इथे बरनॉलीची थिअरी कोलमडून पडते, कारण ती वेगवेगळ्या रेफरन्स पॉइंटना लक्षात घेत नाही. आयुष्यातील आनंद हा फक्त सध्याच्या सांपत्तिक स्थितीवर अवलंबून नसतो, तर तुम्ही तिथे कसे पोचलात या इतिहासावर पण अवलंबून असतो. (म्हणजे सध्याची सांपत्तिक स्थिती येताना तुम्ही पैसे कमावलेत की गमावलेत).
ही बरनॉलीच्या थिअरीची मोठ्ठी त्रुटी आहे. पण तरीही जवळपास २५० वर्षे ही थिअरी काळाच्या कसोटीला पुरून उरली. ही त्रुटी भरून निघाली का? ते बघुया पुढच्या भागात.
प्रतिक्रिया
उच्च!!!उत्साही मंडळींना अजून
उच्च!!!
उत्साही मंडळींना अजून माहीती मिळवण्यासाठी संदर्भ पण देत चला.
.
मला भाषा मधूनच स्वीच करायला अवघड जातंय.
अपवाद म्हणून संपूर्ण लेख ( किंबहुना कोणताही स्पेसिफिक विषय धरून येणारे लेख) अर्धा ईंग्लिश अर्धा मराठी करण्यापेक्षा ईंग्लिशमध्येच लिहीला/लिहीले तर? आपल्याला चर्चा नेहमीच्या पद्धतीने चालू ठेवता येईल. आणि लेखकाला लिहायला सोपं जाईल. सिनिअर लोक्स काय म्हणता??
क्षमस्व
भाषांतर पूर्ण झाले नाही. जमेल तसे करतो.
तसं नाही, लेख उत्तम जमला आहे.
तसं नाही, लेख उत्तम जमला आहे. पण संपूर्ण सलग ठेवला तर जास्त मजा येईल. आणि तुम्हाला ईंग्लिश जास्त सोयीची असेल तर तसा वेगळा प्रयोग करून पहावा काय? असं म्हणायचं होतं.
हे बरंय, बूचं मारा आणि लेखच एडीट करा :ड...
कृ.ह.घे.
एका वाचनात नीट झेपला नाही.
एका वाचनात नीट झेपला नाही. विकांताला वेळ मिळाल्यावर वाचायला बाजुला ठेवतो आहे तुर्तास पोच
तुम्ही लिहित रहाच
- ऋ
-------
लव्ह अॅड लेट लव्ह!
वाचतोय
वाचतोय
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
थोडंफार कळलं. पण जे कळलं काय
थोडंफार कळलं. पण जे कळलं काय कळलं!!! खरच आवडलं.
उच्च लेख आहे. आवडला.
उच्च लेख आहे. आवडला.
समजले नाही
दोनच पर्याय असतील तर बरनॉलीच्या थिअरीप्रमाणे श्याम 'हमखास' पर्याय निवडणार, त्यामुळे तो व्यथित झाला तरी पर्याय क्रमांक एक पेक्षा कमी व्यथित असेल, बरनॉली आनंदी असण्याबद्दल काहीच सांगत नाही, थिअरी इथे का चालत नाही हे समजले नाही. पर्याय क्रमांक २ ची युटिलिटी पर्याय क्रमांक एकच्या युटिलिटीपेक्षा अधिक असणार(शक्यता), हे नियमाप्रमाणेच आहे न?
राम आणि श्याम
राम आणि श्यामचे शेवटचे उदाहरण समजले नाही.
उदाहरण
आता बघुया जुगाराचे उदाहरण.
त्या दोघांना पुढील पर्याय दिले आणि त्यातून १ निवडायचा आहे.
१. जुगार ज्यात तुमच्याकडे उरतील १ लाख (५०% शक्यता) किंवा ४ लाख (५०% शक्यता)
२. हमखास २ लाख उरतील.
पर्याय १ ची युटिलिटी आहे २.५ लाख (१x०.५ + ४x०.५).
पर्याय २ ची युटिलिटी आहे २ लाख.
रामकडे आज आहेत १ लाख रुपये.
श्यामकडे आज आहेत ४ लाख रुपये.
याचा अर्थ रामचे पैसे वाढणार आहेत, त्यामुळे तो आनंदित होणार (त्याचा रेफरन्स पॉइंट आहे १ लाख). राम पर्याय २ निवडेल कारण तो हमखास आहे.
श्यामचे पैसे बहुधा कमी होणार आहेत, त्यामुळे तो दु:खी होणार (त्याचा रेफरन्स पॉइंट आहे ४ लाख). श्यामला दोन्ही पर्याय वाईट आहेत, त्यामुळे तो पर्याय १ निवडेल (न जाणो, कदाचित ४ लाख उरतील, या विचाराने).
बरनॉलीची थिअरी म्हणते की पैशामुळे मिळणारी युटिलिटी आपल्याला जास्त आनंदी किंवा कमी आनंदी बनवते. राम आणि श्यामकडे सारखीच संपत्ती उरली तर बरनॉलीची थिअरी म्हणते की ते दोघे सारखेच आनंदात हवेत पण प्रत्यक्षात तसे दिसत नाही.
स्पष्ट नाही
> राम पर्याय २ निवडेल कारण तो हमखास आहे. श्यामला दोन्ही पर्याय वाईट आहेत, त्यामुळे तो पर्याय १ निवडेल.
माझ्या मते हे असंच होईल हे मुळीच स्पष्ट नाही. राम कदाचित असा विचार करेल की पर्याय १ मध्ये माझे पैसे जाणार तर नाहीत, पण समजा ४ लाख मिळाले तर सोन्याहून पिवळं. तेव्हा पर्याय १ चा जुगार खेळून बघू. श्याम कदाचित असा विचार करेल की माझ्याकडे चुकून १ लाखच राहिले तर जगणं अशक्य होईल, पण २ लाख राहिले तर मॅकऐवजी विंडोज वापरून कसंबसं भागवून नेता येईलही. तेव्हा पर्याय २ जास्त बरा (किंवा कमी वाईट) वाटतो.
एक्सपेक्टेट युटिलिटी थिअरी, प्रॉस्पेक्ट थिअरी, लॉस अव्हर्जन या सगळ्या सिद्धांतात तथ्य नाही असं नाही, पण त्यांच्यामागची मानसशास्त्रीय बैठक किंचित डळमळीतच आहे. तेव्हा त्यांतून निघणारे अंदाज (प्रेडिक्शन्स) नेहमीच बरोबर निघतील असं नसतं.
- जयदीप चिपलकट्टी
(होमपेज)
एक्सपेक्टेट युटिलिटी थिअरी,
सहमत.
-------
आनंद, युटिलीटी, प्रोबॅबिलिटी, पैसे हे शब्दही, समीकरणे म्हणून, एकत्र, विचित्र वाटतात.*
* हे वाक्य योग्य ते अर्धविराम, स्वल्पविराम घालून लिहिता आलेले नाही.
सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.
मला हा लेख वाचून दोन प्रश्न
मला हा लेख वाचून दोन प्रश्न पडले.
१. युटिलिटी ही नक्की कसली किंमत असते? म्हणजे तुम्ही ज्या परिस्थितीत आहात त्या परिस्थितीची स्थितिज (स्टॅटिक) किंमत असते की तुम्ही एका स्थितीतून दुसऱ्या स्थितीत जाण्याच्या प्रक्रियेची (डायनॅमिक) किंमत असते? कारण लेखात हे दोन्ही अर्थ मिश्रित झालेले आहेत. विशेषतः चार लाखावरून दोन लाख आणि एक लाखावरून दोन लाखवर जाणाऱ्या दोन व्यक्तींना त्या बदलातून लाभणाऱ्या स्थितीविषयी वेगळी भावना असणार हे उघड आहे. तरीही त्याबद्दल आश्चर्य व्यक्त व्हावं, किंवा या थियरीचाच दोष आहे की काय असा प्रश्न उपस्थित व्हावा हे मला पटत नाही. कदाचित पुढच्या लेखात याचं स्पष्टीकरण असेल अशी आशा आहे.
२. युटिलिटी ही संकल्पना काहीशी सरासरीची कल्पना आहे का? कारण वर्षाला दहा लाख मिळवणारी समान कुटुंबं बघितली तर आपल्या आर्थिक स्थितीबद्दल एक कुटुंब कमालीचं खुष असेल तर दुसरं नाखुष असेल. हा मुद्दा जयदीपने मांडलेल्या मुद्द्याप्रमाणेच आहे - व्यक्तींमध्ये असलेल्या डिस्ट्रिब्यूशनचा विचार केला नाही तर नुसत्या सरासरीवर आधारलेल्या थियरीवर मर्यादा येतात. कदाचित याचंही स्पष्टीकरण पुढच्या लेखात येईल...
शेवटच्या उदाहरणात तर काही त्रुटी दिसतात. कारण पर्याय १ आणि पर्याय २ चे जुगार हे राम आणि श्यामसाठी वेगवेगळे आहेत.
रामसाठी - पर्याय एक - दुप्पट किंवा निमपट - ५०% शक्यतेने, आणि पर्याय दोन - दुप्पट निश्चित
श्यामसाठी - पर्याय एक - एकपट किंवा चतुर्थांश - ५०% शक्यतेने, आणि पर्याय दोन - निमपट निश्चित
हे जुगाराचे पर्यायच दोघांसाठी वेगळे आहेत. त्यामुळे यात युटिलिटी थियरीचा काय संबंध? ही सफरचंद-संत्र तुलना कशी करणार?
गुड क्वेश्चन्स!
हे सगळे प्रश्न खूप महत्त्वाचे आहेत. पण एकदा या विषयात शिरलं की गुंतागुंत फार झपाट्याने वाढत जाते, आणि निर्विवाद अशा बाबी फार थोड्या उरतात. तेव्हा गळ्यापर्यंत येऊ न देता काही मुद्दे मोघमपणे मांडतो.
> युटिलिटी ही नक्की कसली किंमत असते? म्हणजे तुम्ही ज्या परिस्थितीत आहात त्या परिस्थितीची स्थितिज (स्टॅटिक) किंमत असते की तुम्ही एका स्थितीतून दुसऱ्या स्थितीत जाण्याच्या प्रक्रियेची (डायनॅमिक) किंमत असते?
क्लासिकल थिअरीमध्ये ती स्टॅटिक असते. म्हणजे समजा माझं युटिलिटी फंक्शन u(x) = log (x+100) असं आहे. तर याचा अर्थ 'हजार डॉलर्स' या पातळीवर माझा आनंद u(1000) = log (1100) = 3.04 units इतका असतो. मला आणखी हजार मिळाले तर तो u(2000) = log(2100) = 3.32 units इतका होतो, म्हणजे 0.28 ने वाढतो वगैरे. अर्थात 'तुझं युटिलिटी फंक्शन सांग बघू' असं कुणा माणसाला विचारून काही साधणार नाही. ते अॅब्सट्रॅक्शन आहे, म्हणजे माणूस कसा वागतो याची संगती लावण्यासाठी रचल्या जाणाऱ्या मॉडेलचा तो भाग आहे. क्लासिकल थिअरीमध्ये 'इतिहासाला' महत्त्व नसतं, म्हणजे माझा आनंद सध्या माझ्याकडे किती पैसे आहेत यावरच अवलंबून असतो, काल किती होते यावर नसतो. पण लोक प्रत्यक्षात तसे वागत नाहीत (म्हणते त्यांच्या मनस्थितीवर इतिहासामुळे फरक पडतो) असं सर्वसाधारण निरीक्षण असल्यामुळे काहनिमन आणि त्वेरस्की यांनी क्लासिकल थिअरी नाकारून 'प्रॉस्पेक्ट थिअरी' हा पर्याय मांडला. (त्याचं थोडक्यात वर्णन करणं अवघड असल्यामुळे तो प्रयत्न करत नाही.)
> युटिलिटी ही संकल्पना काहीशी सरासरीची कल्पना आहे का?
म्हटलं तर हो आणि म्हटलं तर नाही. समजा 'विदर्भातले कापूस पिकवणारे छोटे शेतकरी' या गटाचा विचार करायचा असेल तर प्रत्येकाचं युटिलिटी फंक्शन सारखंच आहे आणि 'एकाच' युनिटस मध्ये आहे (आणि अमुकतमुक निर्यात धोरणामुळे त्यांच्यावर एकसारखाच प्रभाव पडतो) असं ढोबळ मानाने गृहीत धरून सरासरी काढता येईल. पण समजा 'एक गुलाम आणि त्याचा मालक' असा गट असेल तर वांधे येतात, कारण 'slave-units' आणि 'master-units' यांची तुलना कशी करणार? 'इंटरपर्सनल युटिलिटीस' ची 'बेरीज' कशी करायची हा एक नेहमीचा तिढा आहे, आणि त्याला काही समाधानकारक उत्तर आहे असं मला वाटत नाही.
- जयदीप चिपलकट्टी
(होमपेज)
मस्त
सगळ्यांच्याच माहितीतून आणि प्रश्नातूनही चार नवीन गोष्टी समजताहेत; किंवा काही इंटरेस्टिंग प्रश्नही पडताहेत.
विशेषतः हा प्रतिसाद फारच मस्त वाटला.
विचार करावा लागतोय.
सर्वांचेच आभार.
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
अ) १ लाख किंवा ७ लाख
हे काही झेपल नाही.
प्रकाश घाटपांडे
http://faljyotishachikitsa.blogspot.in/
फेशनरच्या नियमाप्रमाणेच,
सबब उदाहरणात लॉगरिदमचा १० हा बेस (पैशाच्या युटिलिटीच्या बाबतीत बर्नोलीला) अपेक्षित आहे का?
सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.
त्या दोघांना पुढील पर्याय
आजच ४ लाख असलेला माणूस असला गेम का खेळेल?
सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.