शुल्बसूत्रांमधील भूमिति - एक धावती ओळख. भाग २.
शुल्बसूत्रांमधील भूमिति - एक धावती ओळख. भाग २.
प्रमाणं तृतीयेन वर्धयेत्तच्च चतुर्थेनात्मचतुस्त्रिंशोनेन। सविशेष:।
बौधायन २.१२. इतर शुल्बकारांनीहि जवळजवळ ह्याच शब्दांमध्ये हे मूल्य दाखविले आहे.
सरळ अर्थ - प्रमाण बाजूमध्ये तिचा तिसरा भाग, त्याचा चौथा भाग वाढवावा. त्याचा चौतिसावा भाग कमी करावा. त्यात अजून काही थोडे मिळविले (की इष्ट उत्तर मिळते.)
टिप्पणी - दिलेल्या चौरसाच्या दुप्पट आकाराचा चौरस निर्माण करण्याची पद्धति येथे संक्षिप्तपणाने दर्शविली आहे. अशा दुप्पट आकाराच्या चौरसाची बाजू = मूळच्या चौरसाचा कर्ण हे उघड आहे. मूळ चौरसाच्या बाजूचे प्रमाण = १ असे मानल्यास त्या चौरसाचा कर्ण = वर्गमूळ २. ’२’ चे वर्गमूळ म्हणजे किती हे येथे दर्शविले आहे. ’१ + १/३ + १/३*४ - १/३*४*३४ + थोडेसे वर (सविशेष)’ असे हे ’२’ चे वर्गमूळ दाखविले आहे. आकडेमोड केल्यास १+१/३+१/३*४-१/३*४*३४ = १.४१४२१५६... आणि वर्गमूळ २ = १.४१४२१३... हे पाहिल्यावर असे जाणवते की शुल्बकारांना माहीत असलेले उत्तर खर्या उत्तराच्या खूपच जवळचे आहे. हे उत्तर त्यांनी कसे शोधून काढले असावे?
हा विचार करण्यासाठी शुल्बकारांना उपलब्ध असलेले संख्याज्ञान कशा प्रकारचे होते आणि त्यांचे अंकगणितातील क्रियांचे ज्ञान कशा प्रकारचे होते हे पाहायला लागेल. १, २, ३ अशा नैसर्गिक पूर्ण संख्या, हातापायाच्या १० बोटांवरून १०, १००, १००० अशा संख्या आणि ह्यांच्या संकलनाने (बेरीज) आणि व्यवकलनाने (वजाबाकी) निर्माण होऊ शकणार्या उर्वरित नैसर्गिक पूर्ण संख्या मनुष्यजातीने सहज निरीक्षणामधून निर्माण करून त्या भिन्नभिन्न दर्शविण्यासाठी आवश्यक ती चिह्नेहि निर्माण केली असणे स्वाभाविकच मानता येईल. रोमन संस्कृतीने निर्माण केलेली अशी चिह्ने अजूनहि मर्यादित वापरात आहेत. शुल्बकालीन भारतीयांची अशी चिह्ने काय होती ह्याचा काहीच पुरावा उरलेला नाही, यद्यपि अशी चिह्ने असणार हे निश्चित. तशाच नैसर्गिक विचाराने मोठया समुच्चयाचे एकाच आकाराच्या लहान समुच्चयांमध्ये विभाजन करणे - जसे की १० चे ५ आणि ५ असे दोन बिभाग, १८ चे ६,६,६ असे तीन विभाग - हेहि माहीत असणार. (परंतु १० चे ३ भाग कसे होऊ शकतील हा विचार त्यांच्या झेपेपलीकडील होता.) दोन संख्यांचे संकलन (बेरीज) अथवा त्यांपैकी एकातून दुसरी घालविणे असे व्यवकलन (वजाबाकी) ह्या कृतीहि नैसर्गिकत: सुचणार्या आहेत. मात्र ’शून्य’ ह्या संकल्पनेची निर्मिति आणि तिचा वापर करून संख्येच्या स्थानावरून तिचे मूल्य १० च्या पटीत बदलणे हे ज्ञान अजून काही शतके दूरच होते आणि त्याशिवाय गुणाकार आणि भागाकार हेहि शक्य नव्हते. (रोमन आकडे वापरून गुणाकार करता येत नाही ह्यावरून हे स्पष्ट होईल.) शेती आणि पशुपालन हे मुख्य व्यवसाय असलेल्या आणि संपूर्णत: यन्त्रविरहित असलेल्या समाजाला आपले दैनंदिन जीवन चालविण्यासाठी ह्याहून अधिक गणितज्ञानाची आवश्यकताहि नव्हती.
अशा स्थितीत एका संख्येपासून ज्याला आपण ’वर्ग’ म्हणतो अशी दुसरी संख्या कशी काढायची? उत्तर सरळ आहे. ५ चा वर्ग काढायचा म्हणजे धान्याचे दाणे ५ च्या ओळींमध्ये एकाखाली एक अशा ५ वेळा ठेवायचे आणि एकूण दाणे मोजायचे.
दिलेल्या चौरसाच्या दुप्पट क्षेत्रफळाचा वर्ग कसा काढायचा? दिलेला चौरस शेजारीशेजारी दोन वेळा मांडायचा आणि त्यातील दाणे खालील आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे मांडून नवा चौरस मिळतो का हे पाहायचे. आकृतीत ५ इतकी बाजू असलेले दोन चौरस शेजारीशेजारी काढून तेच धान्याचे दाणे वेगळ्या मार्गाने मांडून नवा चौरस मिळतो काय हे पाहण्याचा प्रयत्न केला आहे. असे दिसते की ७ बाजू असलेला नवा चौरस ह्यातून निघतो पण १ दाणा शिल्लक राहतो. हा प्रयोग कोठल्याहि संख्येवर केला तरी सगळे दाणे वापरून नवा चौरस निर्माण करता येत नाही हे लवकरच ध्यानात येते. प्रत्येक वेळी काही दाणे उरतात तरी किंवा कमी पडतात. म्हणजेच केवळ पूर्णांक आणि पूर्ण विभाजन देणारे भागच केवळ वापरून दुप्पट आकाराचा चौरस निर्माण करता येत नाही हे लक्षात येते.
हे नाही तर नाही पण ’सर्वनाशे समुत्पन्ने अर्धं त्यजति पण्डित:’ असा विचार करून सर्वसाधारणत: अदमासाने दुप्पट म्हणता येईल असा चौरस तरी सापडेल काय असा विचार सुरू होतो. त्यासाठी प्रथम एक संख्या घ्यायची, तिच्या चौरसाचे मान काढायचे, त्याची दुप्पट करायची आणि त्या दुपटीच्या जवळ येईल अशी वर्गसंख्या कोठल्या संख्येची आहे असा शोध घ्यायचा. (हे सर्व कार्य वर दिलेल्या अंकगणिताच्या मर्यादेत राहून करणे शक्य आहे.) असे केले म्हणजे (५,७), (१७.२४), (२९,४१), (३४.४८) अशा अनेक जोडया नजरेस येतात पण त्या सर्वांमध्ये एक दोष आहे आणि तो असा की पहिल्या संख्येच्या वर्गाची दुप्पट आणि दुसया संख्येचा वर्ग ह्यांमध्ये बर्यापैकी अंतर आहे आणि ही ढोबळ चूक जितकी पट करू तितक्या प्रमाणात वाढत जाईल. समाधानकारकरीत्या लहान अशी चूक मिळण्यासाठी बरेच पुढे जावे लागेल पण तसे केले की (४०८,५७७) ही जोडी मिळेल जेथे ह्या संख्यांच्या आकारच्या मानाने चूक अगदीच क्षुल्लक आहे. ४०८ चा वर्ग = १,६६,४६४, त्याची दुप्पट ३,३२,९२८ आणि ५७७ चा वर्ग = ३,३२,९२९. म्हणजेच ४०८ प्रमाणक इतकी बाजू असलेला चौरस घेतला तर त्याच्या दुप्पट आकाराच्या चौरसाची बाजू ५७७ पेक्षा अगदी क्षुल्लक फरकाने लहान आहे. हाच ’सविशेष’.
आता प्रश्न येतो की ४०८ प्रमाणक लांबीने प्रारंभ करून आणि वर उल्लेखिलेल्या अंकगणिती मर्यादेत राहून ५७७ प्रमाणक इतकी लांबी कशी मिळवायची. ४०८ चा अर्धा भाग त्याच्या पुढे ठेवला तर आपण ६१२ ला पोहोचतो, जी संख्या ५७७ च्या बरीच पुढे आहे. ४०८ चा तिसरा भाग १३६ त्यापुढे मांडला तर आपण ५४४ ला पोहोचतो. त्या तिसर्या भागाचा चौथा भाग त्यापुढे ठेवला तर आपण ४०८+१३६+३४ = ५७८ ला पोहोचतो. आता आपली उडी ५७७ च्या पुढे १ प्रमाणक इतकी पडली आहे. तो १ (= ४०८ च्या तिसर्या भागाच्या चौथ्या भागाचा चौतिसावा भाग) कमी केला म्हणजे आपण ५७७ ला पोहोचतो. ह्यात ’सविशेष’ मिळवला म्हणजे इष्ट त्या दुप्पट आकाराच्या चौरसाची बाजू मिळेल. वेगळ्या शब्दात लिहायचे तर मूळ चौरसाची बाजू १ प्रमाणक मानली तर इष्ट चौरसाची बाजू =
शुल्बसूत्रांमध्ये वापरलेले लांबीचे कोष्टक ३४ यवाचे दाणे = १ अंगुलि, १२ अंगुलि = १ प्रदेश असे असते. कोष्टकांसाठी साधारणत: निवडले जाणारे २,४,८.१६ असे सोपे आकडे सोडून शुल्बकारांची नजर ३४ वर का पडली असावी ह्याचाहि उलगडा येथे होतो. दिलेल्या चौरसाची बाजू = १ प्रदेश असे मानल्यास इष्ट चौरसाची बाजू आता १ प्रदेश + ५ अंगुलि + १ यव असे मांडता येते. तसे मांडता यावे म्हणून ३२ वा ३६ हे ’सोयीस्कर’ आकडे वगळून तेथे शुल्बकारांनी ३४ यव = १ अंगुलि असे ठरविले असले पाहिजे.
(पहिल्या भागात उल्लेखिलेले थिबो ह्यांचे पुस्तक थोडी वेगळी उपपत्ति देते. तिच्याहून मी येथे दिलेली उपपत्ति अधिक सुकर आहे असे वाटते.)
प्रतिक्रिया
त्या तिसर्या भागाचा चौथा भाग
तुमच्या अंकगणिती डिटेक्टिव्हगिरीला सलाम! मी १+१ च्या ०.५ घाताचं बायनॉमिअल एक्स्पान्शन सोडवून त्याच्या पहिल्या काही टर्म्सचं या सूत्रात वर्णन केलेलं आहे का हे शोधत होतो. पण चौतीस हा आकडा तुम्ही दिलेल्या विचारपद्धतीशिवाय येणं कठीण आहे.
पुराणकाळात डीडक्टिव्ह ऐवजी इंडक्टिव्ह विचार होत होता असं दिसतं. कदाचित हे वर्णन पुरेसं किंवा न्याय्य नसेल. म्हणजे सूत्र तयार करण्यासाठी सर्वोत्तम अॅप्रोक्झिमेशन घ्यायचं, आणि त्यापासून जनरलाइझ करायचं ही पद्धत दिसते. चौतीस या आकड्यामुळे ४०८-५७७ हीच सर्वोत्तम जोडी वापरली गेली असणार हा युक्तिवाद पटतो. आणि ही जोडी घेऊन सूत्र तयार करण्यामध्ये 'सर्वोत्तम उदाहरणावरून सर्वसाधारणीकरण' ही विचारपद्धती अमलात आली गेलेली दिसते.
(माझा हा विचार बदललेला आहे हे खालच्या प्रतिसादांवरून स्पष्ट व्हावं...)
थोडी आणखीन आकडेमोड केल्यावर
थोडी आणखीन आकडेमोड केल्यावर आणखीन एक गोष्ट लक्षात आली.
वर्गमुळात दोनचं पहिलं अॅप्रॉक्झिमेशन करायचं झालं तर जोडी १२,१७ अशी मिळते. त्यांचे वर्ग १४४ आणि २८९ असे आहेत. १७/१२ = १.४१६६६... म्हणजे उत्तराची अचूकता सुमारे ०.२%. आता हे उत्तर अधिक अचूक कसं करायचं? तर त्यासाठी सक्सेसिव्ह अॅप्रोक्झिमेशन वापरायचं.
समजा आपलं १७/१२ हे उत्तर थोडं अधिक आहे हे माहित आहे.
root2 + x = 17/12 आपल्याला x ची किंमत काढायची आहे. दोन्ही बाजूंचा वर्ग करून
(root2+x)^2 = 289/144, वर्ग विस्तारून
2 + 2*root2*x + x^2 = 2 + 1/144 (x खूप लहान असल्याने x^2 अत्यंत लहान, त्यामुळे दुर्लक्ष करायचं)
2*root2*x = 1/144
2*17/12 *x = 1/144 (root2 साठी 17/12 ही प्राथमिक किंमत वापरली)
17/12 *x = 1/288 =
x = 1/12* 1/34
हे आपल्या १७/१२ मधून वजा करायचं. म्हणजे १+४/१२+१/१२-१/(१२*३४) [तिसऱ्या राशीच्या एक चौतिसांश वजा करावा]
१७/१२ हे पहिल्या तीन स्थळांपर्यंत अचूक आहे, तर येणारं उत्तर किमान पाच स्थळांपर्यंत अचूक असणार आहे. कारण आता त्रुटी x ऐवजी x^2 च्या प्रमाणात असणार आहे.
हीच पद्धत आपण वर्गमुळात ३
हीच पद्धत आपण वर्गमुळात ३ साठी वापरून पाहू. लहानात लहान आकड्यांनी वर्गमुळात ३ = १२/७
root3 + x = 12/7 आपल्याला x ची किंमत काढायची आहे. दोन्ही बाजूंचा वर्ग करून
(root3+x)^2 = 144/49, वर्ग विस्तारून
3 + 2*root3*x + x^2 = 3 - 3/49 (x खूप लहान असल्याने x^2 अत्यंत लहान)
2*root3*x = -3/49
(2*12/7)*x = -3/49 (root3 साठी 12/7 ही प्राथमिक किंमत वापरली)
x = - 1/(7*8)
म्हणजे १२/७ + १/५६ हे वर्गमुळात ३ साठी खूपच बरोबर उत्तर असायला हवं.
१.७३२१४... ?= १.७३२०५... उघडच आहे की फरक सहाव्या स्थानात आहे.
वर्गमुळात ५ साठी ९/४ ने सुरूवात करून उत्तर ९/४ - १/७२ असं येतं
२.३६११११ ?= २.३६०६७ ... त्रुटी पाचव्या स्थानात आहे. ३८/१७ ने सुरूवात केली तर अधिकच अचूक उत्तर येईल.
वर्गमुळात ६ साठी २२/९ ने सुरूवात करून २२/९ + १/१९८ येतं
२.४४९४९४९...?= २.४४९४८९७ ... त्रुटी सातव्या स्थानात आहे.
हेच हेच.. असंच माहितीपूर्ण
हेच हेच.. असंच माहितीपूर्ण लेखन मराठी विकीवरही येणं गरजेचं आहे..
- ऋ
-------
लव्ह अॅड लेट लव्ह!
"गरज" कुणाची
"गरज" कुणाची ?
त्यासाठी काम करणार्याला इन्सेन्टिव काय असे विचारनआर्यांना काय उत्तर द्यायचे?
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
भारिच
पण ह्या भागात दिलेली पद्धत तुम्ही तर्काने/अंदाजाने इथे दिली आहे, की प्रत्यक्ष वर्णन एखाद्या ग्रम्थात कीम्वा श्लोकात वगैरे उपलब्ध आहे?
.
शुल्बकालीन भारतीयांची अशी चिह्ने काय होती ह्याचा काहीच पुरावा उरलेला नाही, यद्यपि अशी चिह्ने असणार हे निश्चित.
मात्र ’शून्य’ ह्या संकल्पनेची निर्मिति आणि तिचा वापर करून संख्येच्या स्थानावरून तिचे मूल्य १० च्या पटीत बदलणे हे ज्ञान अजून काही शतके दूरच होते
म्हणजे?
शून्य नक्की वापरात कधी आले?
त्यापूर्वी ०,१,२,३,४,५,६,७,८,९ ह्या संख्या अशाच पद्धतीने वापरात नव्हत्या का?
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
हे मला कसे जाणवले?
<पण ह्या भागात दिलेली पद्धत तुम्ही तर्काने/अंदाजाने इथे दिली आहे, की प्रत्यक्ष वर्णन एखाद्या ग्रम्थात कीम्वा श्लोकात वगैरे उपलब्ध आहे?>
ह्याच मालेच्या पहिल्या भागात थिबो आणि गुर्जर ह्यांच्या पुस्तकांचा आधार म्हणून उल्लेख केलेला आहेच.
थिबो ह्यांचे प्रतिपादन साधारण असे आहे. २ गुणिले १२ वर्ग म्हणजे २८८ आणि १७ वर्ग म्हणजे २८९. म्हणून १२ प्रमाणक बाजू असलेल्या चौरसापासून सुरुवात केली तर असे स्थूलमानाने म्हणता येईल इष्ट चौरसाची (ज्याचा आकार मूळच्या चौरसाच्या दुप्पट आहे) बाजू १७ हून थोडी लहान असणार. किती लहान? तर २८९ छोटया चौरसांपैकी एक चौरस भरू शकेल इतक्या प्रमाणाने १७ वाला चौरस आकुंचित केल्यास जी लांबी उरेल तितकी लहान. ह्यासाठी थिबो १७ च्या चौरसाच्या पूर्व-पश्चिम (उभ्या) आणि उत्तर-दक्षिण (आडव्या) बाजूंमधून १/३४ रुंदीच्या पट्टया कापतात आणि त्या पट्टयांमधून १ लांबी आणि १/३४ रुंदी असलेले आयत कापून घेतात. असे ३४ आयत मिळतील आणि त्यांचे क्षेत्र २८९ पैकी एका चौरसाइतके असेल. ह्यामुळे बाजू १७ वरून कमी होऊन १६३३/३४ इतकी होईल पण हेहि इष्ट उत्तर नाही कारण दोन बाजूंनी पट्टया कापतांना एका बाजूमधून १/३४ गुणिले १/३४ इतका चौरस overlapping मुळे कमी निघेल. ह्याचाच अर्थ असा की overlapping ही लांबी इष्ट लांबीहून थोडया फरकाने वेगळी आहे. हाच 'विशेष' अथवा 'सविशेष'. हीच पद्धति अजून लांबवली आणि सविशेष काढून टाकण्याचा प्रयत्न केला तरी कोपर्यावरील overlapping मुळे अधिक सूक्ष्म असा सविशेष राहणारच आहे. शुल्बकारांनी १६३३/३४ + सविशेष इतकी सूक्ष्मता पुरेशी आहे असे ठरविले.
आता १६३३/३४ + सविशेष = १७ - १/३४ + सविशेष = १२ + १२/३ + १२/३*४ -१२/३*४*३४ + सविशेष = १२(१ + १/३ + १/३*४ -१/३*४*३४) + सविशेष
(हे सर्व थोडे क्लिष्ट आहे हे मी मान्य करतो. अधिक समजुतीसाठी 'Square Roots in the Sulbasutra' by David W. Henderson, Department of Mathematics, Cornell University ह्यांचा येथे उपलब्ध असलेला निबंध पहा. त्यांनी थिबो ह्यांचीच पद्धति थोडया वेगळ्या मार्गाने आणि सचित्र दाखविली आहे.)
थिबोंच्याच मार्गाने विचार करून मला एक अधिक सोपी पद्धत सुचली. माझ्या समजुतीनुसार ही पद्धत मी अन्यत्र कोठेच पाहिलेली नाही. थिबो ह्यांच्या जवळ संगणक नव्हता. माझ्याकडे तो आहे आणि त्यावर एक्सेलहि आहे. त्याचा उपयोग करून मी 'क्ष','क्ष'चा वर्ग, त्याची दुप्पट आणि त्या दुपटीचे वर्गमूल असे क्ष =१ पासून क्ष = ७०० असे लांबलचक कोष्टक क्षणार्धात तयार केले. त्यावरून नजर टाकताच माझ्या लक्षात आले की ४०८ ह्या संख्येसाठी वर्गाच्या दुपटीचे वर्गमूळ ५७७ पासून केवळ ०.०००९ इतक्या अंतराने कमी आहे. इतकी जवळीक पहिल्या ७०० आकडयापैकी दुसरा कोठलाच आकडा दर्शवीत नाही. तदनंतर ४०८ पासून ५७७ ला कसे पोहोचायचे ते वर दाखविलेच आहे.
शुल्बसूत्रकारांचे अंकगणिताच्या क्रियांचे ज्ञान आपल्याहून कमी होते हे वर म्हटलेले आहेच पण त्यांच्याजवळ वेळ आणि चिकाटी मुबलक असली पाहिजे. २ चे वर्गमूळ ह्याचे त्यांनी दिलेले उत्तर कदाचित काही पिढयांच्या आणि वर्षांच्या दशक-शतकांच्या कामाचे अंतिम फलित असू शकेल. मी जे संगणकाच्या मदतीने केले तेच वेळ आणि चिकाटी वापरून शुल्बकारहि करू शकले असतील. त्यांच्या अंकगणिताच्या आणि भूमितिज्ञानाच्या मर्यादेत राहूनहि त्यांना हे कसे जमले असेल हे वर दर्शविलेच आहे
तुमचा पुढचा प्रश्न <शून्य नक्की वापरात कधी आले? त्यापूर्वी ०,१,२,३,४,५,६,७,८,९ ह्या संख्या अशाच पद्धतीने वापरात नव्हत्या का?>
शून्य नक्की वापरात कधी आले ह्याला निश्चित उत्तर देणे अवघड आहे परंतु दत्ता आणि सिंग (History of Hindu Mathematics) ह्या अधिकारी विद्वज्जनांच्या मताने शून्य ही संकल्पना आणि स्थानमूल्य ह्या कल्पना इसवी सनाआधी ओढता येत नाहीत. त्यांचा सार्वत्रिक उपयोग - भारतात, युरोपात असा सार्वत्रिक उपयोग १०व्या ११व्या शतकानंतरच सुरू झाला - ५व्या ६व्या शतकांपासून ताम्रपट, शिलालेख ह्यांमध्ये दिसू लागतो. तत्पूर्वी संख्या होत्या पण त्या रोमन संख्यांप्रमाणे केवळ खुणा असणार आणि अंकगणितातील आकडेमोड त्यांच्यामार्गे शक्य नसणार. १,२,३,४,५,६,७,८,९ अशा आपल्या आजच्या चिह्नांचे मूळ ब्राह्मी लिपीमध्ये आहे. रुद्रप्रश्न ह्या यजुर्वेदातील प्रख्यात सूक्तामध्ये चमकविभागात एक-तीन-पाच-सात अशा क्रमाने तेहतीसपर्यंतचे अंक आणि चार-आठ-बारा अशा क्रमाने अठ्ठेचाळीसपर्यंतचे अंक मोजलेले दिसतात. म्हणजे त्या काळातहि भारतीयांना अंकज्ञान होते.