सममित आकृतींचा शोध - भाग १

सममित आकृतींचा शोध

बालमोहन लिमये

भाग १

एकाचसारखे दिसणारे अनेक भाग सुसूत्रपणे जोडून एखादी आकृती बनली असेल तर ती सममित (symmetric) आहे असे आपण मानतो. अशा आकृतीत एक प्रकारचा सुसंवाद, सुबकता असते, व म्हणून ती सुंदर दिसते, आल्हाददायक ठरते. याचमुळे प्राचीन काळापासून मानवप्राणी सममित आकृतींकडे आकृष्ट झाला आहे. आजही बाजारात एखादी गोष्ट विकत घ्यायला गेल्यावर आपल्याला जी वस्तू जास्त सममित असते तीच पसंत पडते. मानवी चेहरादेखील डावी-उजवीकडे सममित असेल तर सुंदर वाटतो. या लेखात कागदावर सरळ रेषा काढून बनलेल्या आणि अवकाशात सपाट पृष्ठभागांनी बनलेल्या कोणत्या आकृती पूर्णतः सममित असतात याचा विचार आपण करणार आहोत.

द्विमितीय आकृती

दोन मितींच्या प्रतलावर (on a plane) म्हणजे कागदावर काही रेषाखंडांची (line segments) टोके एकमेकांना जोडून एक परिपथ (circuit) बनवून जी आकृती तयार होते तिला बहुभुज (polygon) असे म्हणतात. बहु म्हणजे बरेच आणि भुजा म्हणजे बाजू (side), म्हणून बऱ्याच बाजूंनी जो बनतो तो बहुभुज. रेषाखंडांचा परिपथ बनण्यासाठी तीन तरी रेषाखंड लागतात, म्हणून बहुभुजाला निदान तीन बाजू असतात. संस्कृत भाषेत एकवचन, द्विवचन, बहुवचन अशी तीन वचने आहेत. त्यांतील बहुवचन तीन किंवा तीनपेक्षा जास्त गोष्टींसाठी वापरायचे असते. तसेच इथेही आहे. बहुभुजाच्या दोन बाजू ज्या बिंदूत एकमेकींना जोडल्या जातात त्याला बहुभुजाचा कोपरा (corner) असे म्हणू या. ग्रीक भाषेतील polus म्हणजे खूप आणि gonia म्हणजे कोपरा किंवा कोन या शब्दांवरून polygon हा इंग्रजी शब्द बनला आहे. बहुभुजाची काही उदाहरणे अशी आहेत.


बहुभुज

वरीलपैकी पहिल्या तीन आकृतींतील बहुभुजांच्या कुठल्याही दोन बाजू एकमेकांना छेदून जात नाहीत, पण चौथ्या आकृतीत तसे नाही. आपण ज्या बहुभुजांच्या कुठल्याही दोन बाजू एकमेकांना छेदून जात नाहीत, असेच बहुभुज विचारात घेणार आहोत. अशा बहुभुजाचा एक आतला भाग असतो व एक बाहेरचा; आतल्या भागाला आंतरभाग (interior) असे म्हणू या. बहुभुजाच्या आंतरभागातील दोन बिंदू जोडणारी सरळ रेषा जर नेहमी आंतरभागातच राहत असेल तर तो बहुभुज बहिर्वक्र (convex) आहे असे म्हणतात. वरीलपैकी पहिल्या दोन आकृतींतील बहुभुज बहिर्वक्र आहेत. पण तिसरा बहुभुज बहिर्वक्र नाही. यापुढे आपण विचारात घेतलेले सगळे बहुभुज बहिर्वक्र असणार आहेत. बहुभुजाला p बाजू असल्या तर त्याला p-भुज असे म्हणू या. त्याच्या दोन बाजू जेथे एकमेकांना मिळतात त्या कोपऱ्यापाशी आतल्या बाजूने, म्हणजे आंतरभागात, जो कोन बनतो त्याला आंतरकोन (interior angle) असे नाव आहे. जितक्या बाजू तितकेच आंतरकोन. म्हणून p-भुजाला p आंतरकोन असतात; p = 3 असेल तर p-भुजाला आपण त्रिकोण म्हणतो, p = 4 असेल तर चौकोन, p = 5 असेल तर पंचकोन, p = 6 असेल तर षट्कोन वगैरे.

ज्याप्रमाणे अंतर मोजण्याचे मीटर यासारखे फूट हेसुद्धा एक माप आहे, त्याप्रमाणे कोन मोजायचे अंश (degree) यासारखे रेडिअन (radian) हेसुद्धा एक माप आहे. वर्तुळाच्या एका कमानीची (arch) लांबी त्याच्या त्रिज्येइतकी (radius) असली तर त्या कमानीने वर्तुळाच्या मध्यबिंदूपाशी संमुख केलेला (subtended) कोन 1 रेडिअनचा असतो. वर्तुळाचा परीघ त्याच्या त्रिज्येच्या पट असल्याने अंश आणि रेडिअन यांच्यातील संबंध 360 अंश = रेडिअन असा आहे; येथे π ही 3.14च्या जवळपासची एक विशिष्ट संख्या आहे.

आंतरकोनांची बेरीज

आपण शाळा-कॉलेजात शिकतो त्या युक्लिडने मांडलेल्या भूमितीप्रमाणे त्रिकोणाच्या तीन आंतरकोनांची बेरीज नेहमी 180 अंश म्हणजे π रेडिअन असते हे आपल्याला माहीत आहे. ह्या माहितीचा उपयोग करून कुठल्याही p-भुजाच्या p आंतरकोनांची बेरीज किती असते हे सहज शोधता येते. यासाठी p-भुजाच्या आंतरभागात एक बिंदू घेऊ या व तो p-भुजाच्या सगळ्या कोपऱ्यांना जोडू या.


आंतरकोनांची बेरीज

असे केल्याने आपला p-भुज p त्रिकोणांत विभागला जातो. या सगळ्या त्रिकोणांच्या सर्व आंतरकोनांची बेरीज
रेडिअन होते. त्यांपैकी आंतरभागात घेतलेल्या बिंदूभोवती झालेल्या सर्व कोनांची बेरीज आहे रेडिअन. म्हणून उरलेल्या सर्व कोनांची म्हणजेच आपल्या बहुभुजाच्या p आंतरकोनांची बेरीज होते pπ - 2π = (p - 2)π रेडिअन; p = 3 घेऊन त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज (3 - 2)π = π रेडिअन हा पडताळाही मिळतो.

समकोनी व समभुज बहुभुज

आपण सममित बहुभुजाचा शोध घेत आहोत. तेव्हा त्याचे सगळे आंतरकोन समान असावेत अशी अट घालणे साहजिक आहे. ही अट पाळणाऱ्या बहुभुजाला समकोनी (equiangular) म्हणतात. कोणत्याही p-भुजाच्या सर्व आंतरकोनांची बेरीज (p - 2)π रेडिअन असते, व तो समकोनी असेल तर त्याचा प्रत्येक आंतरकोन (p - 2)π भागिले p, म्हणजे (p - 2)π /p रेडिअनचा असतो. p = 3 असेल तर समकोनी त्रिकोणाचा प्रत्येक आंतरकोन π/3 रेडिअनचा म्हणजे 60 अंशांचा, p = 4 असेल तर समकोनी चौकोनाचा, म्हणजे आयताचा प्रत्येक आंतरकोन π/2 रेडिअनचा म्हणजे 90 अंशांचा, p = 5 असेल तर समकोनी पंचकोनाचा प्रत्येक आंतरकोन 3π/5 रेडिअनचा म्हणजे 108 अंशांचा, आणि p = 6 असेल तर समकोनी षट्कोनाचा प्रत्येक आंतरकोन 2π/3 रेडिअनचा म्हणजे 120 अंशांचा असतो.


समकोनी बहुभुज

वरील समकोनी आकृतींपैकी पहिली आकृती इतर आकृतींपेक्षा जास्त सममित दिसते, कारण तिच्या सगळ्या बाजू समान लांबीच्या आहेत, इतर आकृतींमध्ये तसे नाही. बहुभुजाच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या असणे ही गोष्ट देखील एक सममितीच्या दृष्टीने इष्ट आहे. ज्याच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या आहेत अशा बहुभुजाला समभुज (equilateral) असे म्हणतात.


समभुज बहुभुज

वरीलपैकी सर्व आकृती समभुज आहेत, पण त्रिकोण सोडून बाकीच्या समकोनी मात्र नाहीत. फक्त त्रिकोण हा एकच बहुभुज असा आहे की तो समकोनी असला तर आपोआप समभुज होतो, व समभुज असला तर आपोआप समकोनी होतो.

सुसम बहुभुज

जर एखादा बहुभुज समकोनी आणि समभुज असेल तर तो दिसायला पूर्णतः सममित वाटतो. अशा बहुभुजाला सुसम बहुभुज (regular polygon) हे नाव देऊ या. खाली काही उदाहरणे दाखवली आहेत.


सुसम बहुभुज

आता प्रश्न असा उभा राहतो की जर p हा दोनपेक्षा मोठा कोणताही पूर्णांक असेल, तर p बाजू असलेला सुसम बहुभुज असू शकतो का? याचे उत्तर होकारार्थी आहे. तो चित्रित करण्यासाठी प्रथम एक वर्तुळ काढायचे व त्याच्या मध्यबिंदूपाशी कोनमापकाच्या (protractor) साह्याने प्रत्येकी 2π/p रेडिअनचा एक असे p कोन काढून त्या कोनरेषा वर्तुळाला मिळेपर्यंत वाढवायच्या. वर्तुळावरील हे बिंदू एकामागून एक जोडले की आपल्याला सुसम p-भुज मिळतो. मात्र कोनमापक न वापरता फक्त सरळ पट्टी व कंपास (straight edge and compass) यांच्या साह्याने आकृती काढायची असेल तर काही ठरावीक सुसम p-भुजच काढता येतात आणि बाकीचे काढता येत नाहीत. उदाहरणे द्यायची झाली तर 3, 4 व 6 बाजूंचा सुसम बहुभुज सरळ पट्टी व कंपास वापरून काढणे सोपे आहे, पण 5 बाजूंचा सुसम बहुभुज काढणे त्या मानाने किचकट आहे. मात्र फक्त सरळ पट्टी व कंपास वापरून 7 बाजूंचा सुसम बहुभुज काढता येत नाही; ते शक्य नाही असे सिद्ध झाले आहे. फक्त ही उपकरणे वापरून आपण कोनाचे त्रिभाजन (trisection) करू शकत नाही किंवा वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतके क्षेत्रफळ असलेला चौरस काढू शकत नाही, तसेच आहे हे. कार्ल फ्राइड्रिच गाउस (Carl Friedrich Gauss) या महान गणितज्ञाने 1796 साली वयाच्या एकोणिसाव्या वर्षी 17 बाजूंचा सुसम बहुभुज केवळ सरळ पट्टी व कंपास वापरून कसा काढायचा ते दाखवले. तेव्हापासून या विषयाच्या प्रगतीला वेगळीच दिशा मिळाली.

उलटपक्षी, जर आपल्याला कोणी सुसम बहुभज काढून दिला असला तर त्याच्या सर्व कोपऱ्यांतून जाणारे एक वर्तुळ काढता येते. शेजारच्या दोन बाजूंचे लंब दुभाजक (perpendicular bisectors) काढून ते ज्या बिंदूत मिळतात तो बिंदू वर्तुळाचा मध्यबिंदू घेतला की काम झाले. याचा अर्थ असा होतो की सर्व सुसम बहुभुज एकचक्रीय (concyclic) असतात.

त्रिमितीय आकृती

अशा प्रकारे कागदावर काढता येणाऱ्या व पूर्णतः सममित वाटणाऱ्या भूमितीय आकृती कोणत्या हे आपण जाणून घेतले. आता दोन मितींचे प्रतल सोडून तीन मितींच्या अवकाशाकडे वळू या. तिथे आढळणाऱ्या भूमितीय आकृतींना घनाकृती (solids) असे म्हणतात. प्रतलावरील रेषाखंडांच्या परिपथाने बनवलेल्या चित्राकृतींचा जसा आपण विचार केला, तसा अवकाशात सपाट पृष्ठभागांनी बंदिस्त झालेल्या घनाकृतींचा विचार करू या. हे सपाट पृष्ठभाग असणार आहेत आपण आधी बघितलेले बहुभुज.

काही बहुभुजांच्या बाजू एकमेकांना जोडून जी बंदिस्त घनाकृती तयार होते तिला बहुफलक (polyhedron) असे म्हणतात; फलक किंवा hedron म्हणजे पृष्ठभाग (face), म्हणून बऱ्याच फलकांनी जो बनतो तो बहुफलक. कोणत्याही फलकाची बाजू दुसऱ्या एकाच फलकाची संपूर्ण बाजू असावी लागते.



वर डावीकडच्या आकृतीत चौरसाची एक बाजू दुसऱ्या एका त्रिकोणाची संपूर्ण बाजू आहे. पण उजवीकडच्या आकृतीत तसे नसल्याने ती अमान्य आहे. शिवाय बहुफलकाचे कुठलेही दोन फलक एकमेकांना छेदून जाता कामा नयेत. बहुभुज बंदिस्त होण्यासाठी चार तरी फलकांची जरूरी असते, म्हणून बहुफलकाला निदान चार फलक असतात. इथे बहु या शब्दाचा अर्थ करायचा किमान चार. बहुफलकाचे दोन फलक ज्या बाजूवर एकमेकांना जोडले जातात त्या बाजूला बहुफलकाची कडा (edge) असे म्हणू या, व ज्या बिंदूपाशी अनेक कडा एकत्र येतात त्या बिंदूला बहुफलकाचा शिरोबिंदू (vertex) असे म्हणू या.

आपण जास्तीत जास्त सममित (symmetric) दिसणारे बहुफलक शोधणार आहोत. अशा बहुफलकाचा प्रत्येक फलक सुसम बहुभुज असावा अशी किमान अपेक्षा ठेवणे साहजिक आहे. आपण आधीच सगळे सुसम बहुभुज शोधून काढलेले आहेत. ते एकमेकांना त्यांच्या बाजूंवर जोडून सममित दिसणारी बंदिस्त घनाकृती कशी बनवायची हा प्रश्न उरला आहे.

त्रिकोणी मेरू

आपण सर्वात कमी बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजापासून, म्हणजे समभुज त्रिकोणापासून, सुरुवात करू या. कागदावर असा एक त्रिकोण काढून त्याच्या प्रत्येक बाजूवर त्याच आकाराचा त्रिकोण काढला की आपल्याला खाली दाखवलेली आकृती मिळते.

आता ही आकृती कापून काढली व प्रथम काढलेल्या समभुज त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू मुडपून नंतर काढलेले तीन त्रिकोण वर घेतले आणि जवळजवळच्या (समान लांबीच्या) बाजू जोडून टाकल्या की त्या सर्व एका बिंदूशी एकत्र येतात. त्या बिंदूला शिखाग्र (apex) असे नाव आहे. या प्रकारे आपल्याला एक त्रिकोणी मेरू (triangular pyramid) मिळतो. या बंदिस्त घनाकृतीला चार फलक असल्याने तिला चतुष्फलक (tetrahedron) असे म्हटले जाते. वरील चित्रात उजवीकडे दाखवलेली ही घनाकृती दिसायला पूर्णतः सममित खचितच आहे, तिच्यात काही उणीव दाखवता येण्यासारखी नाही.

घन

त्रिकोण वापरून सममित बहुफलक बनवण्याचा प्रयत्न सफळ झाल्यावर आता चौकोन वापरून पाहू. कागदावर एक चौरस काढून त्याच्या प्रत्येक बाजूवर त्याच आकाराचा चौरस काढला की आपल्याला खाली दाखवलेली आकृती मिळते.

आता ही आकृती कापून काढली व प्रथम काढलेल्या चौरसाच्या चारही बाजू मुडपून नंतर काढलेले चार चौरस काटकोनात वर उचलले आणि जवळजवळच्या (समान लांबीच्या) बाजू जोडून टाकल्या की आपल्याला झाकण नसलेली चौरसाकृती डबी मिळते. तिला बंदिस्त करण्यासाठी प्रथम काढलेल्या चौरसाच्या आकाराचेच झाकण लावून टाकले की आपल्याला एक घन (cube) मिळतो. या बंदिस्त घनाकृतीला सहा फलक असल्याने तिला षट्फलक (hexahedron) असे म्हटले जाते. वरील चित्रात उजवीकडे दाखवलेली ही घनाकृतीदेखील दिसायला पूर्णतः सममित आहे, तिच्यातही काही उणीव दाखवता येण्यासारखी नाही.

चौरस पायथ्याचा मेरू

फक्त त्रिकोण आणि फक्त चौकोन वापरून सममित बहुफलक बनवण्याचे प्रयत्न सफळ झाल्यावर आता त्रिकोण आणि चौकोन दोन्हीचा वापर करू या. कागदावर एक चौरस काढून त्याच्या प्रत्येक बाजूवर तितक्याच लांबीच्या बाजू असलेला समभुज त्रिकोण काढला की आपल्याला खाली दाखवलेली आकृती मिळते.

आता ही आकृती कापून काढली व प्रथम काढलेल्या चौरसाच्या चारही बाजू मुडपून नंतर काढलेले चार त्रिकोण वर उचलले आणि जवळजवळच्या (समान लांबीच्या) बाजू जोडून टाकल्या की त्या एका बिंदूशी म्हणजे शिखाग्रापाशी एकत्र येतात. या प्रकारे आपल्याला एक चौरस पायथ्याचा मेरू (square pyramid) मिळतो. या बंदिस्त घनाकृतीला पाच फलक असल्याने पंचफलक (pentahedron) असे म्हटले जाते. तिचा प्रत्येक फलक सुसम बहुभुज आहे खरे, पण ही घनाकृती काही आधी मिळवलेल्या त्रिकोणी मेरू आणि घन या दोन घनाकृतींइतकी सममित दिसत नाही. काय खोट आहेत हिच्यात?

पहिली गोष्ट अशी की आधीच्या घनाकृतींपैकी प्रत्येकीच्या फलकांना समान बाजू होत्या, पहिलीचे सर्व फलक एकाच आकाराचे त्रिकोण होते व दुसरीचे सर्व फलक एकाच आकाराचे चौकोन होते. या उलट ही नवी घनाकृती बनवताना सुरूवातीलाच आपण एका चौरसाच्या बाजूंवर समभुज त्रिकोण काढले असल्याने तिचे चार फलक त्रिकोणी आहेत तर एक फलक चौकोनी आहे. दुसरी गोष्ट अशी की आधीच्या घनाकृतींपैकी प्रत्येकीच्या शिरोबिंदूंपाशी तीन फलक येऊन मिळत होते; या उलट नव्या घनाकृतीच्या पायथ्यावरील प्रत्येक शिरोबिंदूंपाशी तीन फलक येऊन मिळतात, तर शिखाग्रापाशी (apex) चार फलक येऊन मिळतात. या दोन्ही गोष्टींचे कारण आहे या मेरूचा चौकोनी पायथा.

चौरस पायथ्याचा द्विमेरू
आता आपण मेरूचा चौकोनी पायथाच गाळून टाकला तर काय होईल? तर मग आपली आकृती बंदिस्त राहणार नाही, ती पोकळ बनेल. पण या चौकोनी पायथ्याच्या जागी दुसरी एखादी पोकळ आकृती जोडून दिली तर आपल्याला परत एक बंदिस्त घनाकृती मिळू शकेल. अशी कोणती पोकळ आकृती जोडता येईल? एक तर तिचा जोडायचा भाग चौरस असला पाहिजे आणि तिचे फलक समभुज त्रिकोण असले पाहिजेत. हे लक्षात घेतल्यावर पायथा गाळलेला चौरस मेरू उलटा करून जोडण्याशिवाय आपल्याकडे इतर पर्याय राहत नाही. तसे केल्यावर आपल्याला खाली दाखवलेला चौरसी द्विमेरू (square bipyramid) मिळतो. तिच्या शेजारी त्याच आकाराच्या फ्लोराइटचा स्फटिक (fluorite crystal) चित्रित केला आहे.

या बंदिस्त घनाकृतीला आठ फलक असल्याने तिला अष्टफलक (octahedron) असे म्हटले जाते. तिचे सर्व फलक एकाच आकाराचे समभुज त्रिकोण आहेत, व तिच्या प्रत्येक शिरोबिंदूपाशी चार फलक येऊन मिळतात. ती दिसायला पूर्णतः सममित आहे; तिच्यात काही उणीव दाखवता येण्यासारखी नाही.

सुसम बहुफलक
आतापर्यंत दिलेली उदाहरणे कोणत्या बहुफलकाला पूर्णतः सममित म्हणावे याची कल्पना द्यायला मदत करतात. मुळात बहुफलकाचा प्रत्येक फलक एक सुसम बहुभुज असला पाहिजे, म्हणजे तो समकोनी व समभुज असला पाहिजे. शिवाय त्याच्या सर्व फलकांच्या बाजूंची संख्या समान असली पाहिजे. मग सर्व फलकांच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या होतात, व सर्व फलक एकरूप (congruent) म्हणजे एकाच आकाराचे होतात. शेवटी, त्याच्या प्रत्येक शिरोबिंदूपाशी येऊन मिळणाऱ्या फलकांची संख्या समान असली पाहिजे. अशा बहुफलकाला सुसम बहुफलक (regular polyhedron) हे नाव देऊ या.

आपण तीन सुसम बहुफलक शोधले आहेत, चतुष्फलक, षट्फलक आणि अष्टफलक. आपण बघितलेला चौरस पायथ्याचा मेरू हा पंचफलक असा आहे की त्याचा प्रत्येक फलक सुसम बहुभुज आहे, पण तो उरलेल्या दोन्ही अटी पाळत नसल्याने सुसम नाही. सुसमतेच्या या दोन अटी एकमेकींवर अवलंबून नाहीत, त्या स्वतंत्र आहेत. पहिली अट पाळणारी पण दुसरी अट न पाळणारी एक घनाकृती खालील चित्रात डावीकडे दाखवली आहे; काचेच्या झुंबराचे त्रिकोणी लोलक असेच दिसतात. या बहुफलकाचे सहाही फलक सुसम त्रिकोणी आहेत व ते एकरूप आहेत, पण मध्यभागावरील तीन शिरोबिंदूंपाशी प्रत्येकी चार फलक मिळतात, तर वरील व खालील शिखाग्रांपाशी प्रत्येकी तीनच फलक येऊन मिळतात. त्याला त्रिकोणी द्विमेरू म्हणता येईल. याउलट पहिली अट न पाळणारी, पण


दुसरी अट पाळणारी एक घनाकृती वरील चित्रात उजवीकडे दाखवली आहे; तिला त्रिकोणचिती (triangular prism) असे म्हणतात. या बहुफलकाच्या प्रत्येक शिरोबिंदूपाशी तीन फलक येऊन मिळतात खरे, पण त्याचे दोन फलक सुसम त्रिकोणी तर तीन फलक चौरसाकृती आहेत.

बहुफलकाच्या फलककोनांची बेरीज

आतापर्यंत पण पाहिलेल्या सगळ्या बहुफलकांबद्दल नमूद करण्यासारखी गोष्ट अशी की त्यांच्या आंतरभागांतील कुठलेही दोन बिंदू जोडणारी सरळ रेषा आंतरभागातच राहते. हा गुणधर्म बाळगणारा बहुफलक बहिर्वक्र (convex) आहे असे म्हणतात. बहिर्वक्र नसलेल्या बहुफलकांची दोन उदाहरणे खाली दिली आहेत. त्यांपैकी पहिले बहिर्वक्र नसलेल्या बहुभुजाचे आपण सुरूवातीला जे उदाहरण दिले होते त्याचाच अवतार आहे.


आधी ज्याप्रमाणे आपण फक्त बहिर्वक्र बहुभुजांचाच विचार केला होता, त्याप्रमाणेच आपण फक्त बहिर्वक्र बहुफलकांचाच विचार यापुढे करणार आहोत,

बहुफलकाच्या शिरोबिंदूंपाशी येऊन मिळणारे फलक बहुभुज असतात. या बहुभुजांच्या आंतरकोनांना त्या बहुफलकाचे फलककोन (face angles) असे म्हणू या. कोणते बहुफलक सुसम असू शकतात हे पाहताना बहुफलकासंबंधी जी गोष्ट निर्णायक ठरणार आहे ती अशी. बहिर्वक्र बहुफलकाच्या कुठल्याही शिरोबिंदूपाशी होणाऱ्या सर्व फलककोनांची बेरीज वर्तुळाच्या मध्यबिंदूपाशी होणाऱ्या पूर्ण कोनापेक्षा, म्हणजे 360 अंशांपेक्षा किंवा रेडिअनपेक्षा कमी असते. हे विधान युक्लिडने त्याच्या ‘मूलतत्त्वे’ (Elements) या ग्रंथाच्या अकराव्या भागात (Book XI) सिद्ध केले आहे. त्याचा पडताळा घेण्यासाठी एक छान क्लृप्ती करून पाहता येते. बहिर्वक्र बहुफलकाच्या एका शिरोबिंदूपासून निघणारी एक कडा कापली आणि त्या शिरोबिंदूच्या जवळपासचा भाग हळुवारपणे सपाट केला (slay, flatten) तर कापलेल्या कडेच्या जागी एक फट निर्माण होते. त्यावरून समजते की शिरोबिंदूपाशी होणाऱ्या सर्व फलककोनांची बेरीज रेडिअनपेक्षा त्या फटीच्या कोनाने कमी असणार. खालील आकृतींवरून ही गोष्ट स्पष्ट होईल.



समारोप

पूर्णतः सममित आकृती शोधण्यात आपण बराच पल्ला गाठला आहे. दोन मितींच्या प्रतलावर दोनपेक्षा अधिक कितीही बाजू असलेली समकोनी व समभुज आकृती आपल्याला सापडली आहे. तिला आपण सुसम बहुभुज असे नाव दिले आहे. तसेच तीन मितींच्या अवकाशात 4, 6 , 8 फलक असलेली घनाकृती आपण मिळवली आहे, जिचे सर्व फलक सुसम बहुभुज आहेत, ते सर्व एकाच आकाराचे आहेत आणि कुठल्याही शिरोबिंदूपाशी येऊन मिळणाऱ्या फलकांची संख्या समान आहे. अशा प्रकारच्या घनाकृतीला आपण सुसम बहुफलक असे नाव दिले आहे. सुसम बहुफलकाला 4, 6 , 8 यांखेरीज आणखी किती फलक असू शकतील हा प्रश्न आता उभा राहतो. आतापर्यंत मिळालेल्या उदाहरणांवरून 10, 12, 14, … असे समसंख्यांक फलक असणारा सुसम बहुफलक तरी मिळावा असे वाटून जाणे साहजिक आहे. हा विचार बरोबर आहे की नाही ते पाहताना बहुफलकाच्या फलककोनांची बेरीज लक्षात घ्यावी लागणार आहे. हे सगळे पुढील भागात.

(क्रमशः)
---

बालमोहन लिमये

(balmohan.limaye@gmail.com)

Balmohan Limaye 2020

लेखकाचा अल्प-परिचय : मुंबईच्या आय्. आय्. टी.मधील गणित विभागात ४२ वर्षे काम केल्यानंतर आता गुणश्री प्राध्यापक (Professor Emeritus). पवईलाच रहिवास.

बालमोहन लिमये यांचे इतर लिखाण

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
0
No votes yet

प्रतिक्रिया

लेख नेहमीप्रमाणेच आवडला. पुढील लेखांच्या प्रतीक्षेत.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

पुढच्या लेखांच्या प्रतीक्षेत.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

लेखामध्ये सरळ पट्टी व कंपास वापरून काढण्यायोग्य आकारांबाबत काही विवेचन आहे. येथे मला नेहमी सुचतो तो प्रश्न असा की सरळ पट्टी व कंपास वापरून काढण्यायोग्य आकारांचे असे कोणते वैशिष्ट्य आहे की ज्यामुळे हे आकार त्या वर्णनास पात्र ठरतात?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

हा गणितातला एक मनोरंजक प्रांत आहे. नेमकं उत्तर द्यायचं तर field theory आणावी लागेल, पण त्यापेक्षा जास्त प्राथमिक पातळीवर लिहिण्याचा प्रयत्न करतो.

पट्टी आणि कंपास वापरून कुठल्या रचना करणं शक्य आहे आणि कुठल्या नाहीत याचं विश्लेषण केलं तर निष्कर्ष निघतो तो मोघमपणे असा: समजा आपल्याला एक इंच लांबीचा रेषाखंड दिलेला आहे. (अर्थात ‘इंच’ या मोजमापाला तसं विशेष स्थान नाही. काहीतरी एक निश्चित लांबी समजून पुढे जाऊ.) तर पट्टी-कंपास वापरून २, ३, ४, ५,… इंच यातली कुठलीही लांबी काढता येते. पण एवढंच नव्हे तर दिलेल्या लांबीचं वर्गमूळ काढता येतं: म्हणजेच √२, √३, .. यापैकी कुठलीही लांबी काढता येते. पण बेरीज देखील करता येते, त्यामुळे उदाहरणार्थ, ५ + √३ ही लांबी काढता येते.

हे तत्व एकदा सिद्ध केलं की कितीही वेळा वापरता येतं. म्हणजे उदाहरणार्थ, ७ + √२ + √(५ + √३) ही लांबी काढता येते. वेगळ्या शब्दात सांगायचं तर १ ह्या संख्येपासून सुरू करून बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार आणि वर्गमूळ काढणे ह्यापैकी कुठल्याही क्रिया कुठल्याही क्रमाने कितीही वेळा करता येतात. हे सगळं करून ज्या काही संख्या मिळतात त्यांना एकत्रितपणे constructible numbers (रचनेच्या आवाक्यातल्या संख्या) म्हणतात.

आता ‘अमुक समभुज पट्टी-कंपास वापरून काढता येतो का?’ हा प्रश्न आणि ‘त्या समभुजाची बाजू constructible number’ आहे का?’ हा प्रश्न एकच आहेत. उदाहरणार्थ, १७ बाजूंचा समभुज असेल तर त्याची बाजू constructible असते (त्यामुळे तो पट्टी-कंपास वापरून काढता येतो), पण १९ बाजूंच्या समभुजाची नसते (आणि त्यामुळे तो काढता येत नाही). दुर्दैवाने १७ आणि १९ मधला फरक इथे समजावणं शक्य नाही, कारण त्यात field theory, Galois theory, cyclotomic polynomials वगैरे गहन प्रकार येतात.

(पट्टी-कंपास वापरून) आकृती काढणं आणि रेषाखंड काढणं ह्या वेगळ्या गोष्टी आहेत असं प्रथमदर्शनी वाटेल, पण तसं नाही. पहिला प्रश्न दुसऱ्यात रूपांतरित करता येतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- जयदीप चिपलकट्टी

(होमपेज)