कोडं
कोणत्याही प्रकारचं शिक्षण-प्रशिक्षण घेतलं की आपल्याला एक प्रकारचं इंट्युशन त्या विषयात मिळतं. थोडक्यात एक प्रकारचा त्या विषयातला कॉमनसेन्स आपल्यात निर्माण झालेला असतो. तर ह्या कॉमनसेन्सचा विचार करून एक सोपं कोड तुम्हाला घालतो.
अ, ब, क, ड अशी चार गावं आहेत. ही चार गावं चौरसाच्या चार टोकांवरती वसलेली आहेत (म्हणजे अबकड हा चौरस आहे.) चौरसाची बाजू एक एकक आहे. ह्या चारही गावांना तुम्हाला रस्त्याने जोडायचं आहे. पण जोडताना ते अशा प्रकारे जोडायचं आहे की रस्त्याची एकूण लांबी किमान असेल.
कोणतीही आकडेमोड न करता कशा प्रकारे जोडल्यास उत्तर सर्वात कमी येईल? आणि हो, इंटरनेटवर शोध न घेता.
इथे आकडेमोड न करता म्हणजे कोणतीही सुत्रं न वापरता असा अर्थ अभिप्रेत आहे. (म्हणजे कॅल्क्युलस न वापरता). बेरजा, वजाबाक्या इ. प्राथमिक आकडेमोड करण्यास परवानगी आहे. उत्तराबरोबर कारणमिमांसा दिल्यास अधिक आवडेल.
डिस्क्लेमरः कोड्याची कल्पना आंतरजालावरून उचललेली आहे.
प्रतिक्रिया
circle
answer is circular road. Either outside the square or within the square. Explaination follows shortly
-१
circular or curvature distance between any two points will always be more than linear distance. Isn't it?
or something diff is there in your mind?
--मनोबा
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
माझं वरातीमागून घोडं
निळ्या, दोन कर्णांच्या लांबीपेक्षा छोटा रस्ता कसा हे समजत नाहीये.
मनोबा, चौकोनाच्या चार व्हर्टायसेस (मराठी?) ना जोडणार्‍या आर्क्स (मराठी?) जर ग्रेट सर्कल्स (मराठी?) असतील तर 'सरळ रेष' लांब असेल आणि या आर्क्स लहान असतील.
रश्याच्या पूर्व-पश्चिम टोकांना जोडणारा 'सरळ रेषे'चा रेल्वेमार्ग साधारण ८००० किमी लांबीचा असेल तर सर्वात लहान विमानमार्ग साधारण ६००० किमी लांबीचा.
---
सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.
व्हर्टायसेस= शिरोबिंदू आर्क्स
व्हर्टायसेस= शिरोबिंदू
आर्क्स = कंस
कोडे बघून मित्रांना विचारून परत आलो, तोपर्यंत उत्तर जाहीर झालेले.
बहुदा
कसंही सरळ रेषेत जोडा बहुदा रस्त्याची लांबी तेवढीच भरेल. ना?
- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!
.
.
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
डायगोनल. A\ /C \/ /\ B/
डायगोनल.
A\ /C
\/
/\
B/ \D
चौरस नीट आलेला नसला तरी समजून घेणे.
डायगोनल
डायगोनल हे उत्तर बरोबर असावे.
चौरसाच्या बाजूंवर रस्ते बनवायचे नाहीत. फक्त डायगोनल बनवायचे.
शेजारच्या कोपर्‍याकडे जायचे असले तरी मध्यभागी येऊनच जायचे.
प्रश्नातला पॉईंट "रस्त्यांची एकूण लांबी कमीतकमी" हवी असा आहे. कापलेले अंतर कितीही असो.
--------------------------------------------
ऐसीव‌रील ग‌म‌भ‌न इत‌रांपेक्षा वेगळे आहे.
प्रमाणित करण्यात येते की हा आयडी एमसीपी आहे.
इंग्रजी "सी" आकारात जोडावे?
अ->ब->क->ड असे जोडावे. अ आणि ड एकमेकांना थेट जोडायचे नाहीत. त्याने ३ एककच लांबी लागेल रस्त्याची. बाकी इतर मार्गाने चार एकक होते.
कर्णच.
चौरसाच्या दोन कर्णांवर रस्ते बांधायचे म्हणजे कुठल्याही गावातून कुठल्याही गावात जायला केवळ १.४१४ एकक इतकंच अंतर कापावं लागेल. रस्त्याची एकूण लांबी = २.८२८ एकक.
गावांतून सर्क्युलर रोड बांधल्यास एका गावातून (अ गावातून) शेजारच्या दोन गावांत ('ब' व 'ड' गावांत) जायला १.११ एकक अंतर होईल तर तिसर्‍या (क गावात) गावात जायला २.२२ एकक अंतर पडेल. आणि रस्त्याची लांबी ४.४३ एकक भरेल. (२*pi*r) तेव्हा हे उत्तर बाद.
हो
हेच बरोबर असावे. मी कर्णाबद्दल गणित करताना बहुधा झिंगलो होतो. sum of squares of both sides is equal to square of hypotenuese च्या ऐवजी sum of both sides is equal to hypotenuse असे वापरले आणि त्यामुळे वाटले की ते ही ४ एकक येइल
बलोब्बल!
गवि, नितिन व मंदार तुम्हा सर्वांना दोन पेले आईस्क्रीम!
डिटेन्शन!
आगाऊगिरी केल्याबद्दल खानाला दोन तास डिटेन्शन!
-Nile
उत्तर लवकरच
व्यनी, खरड, धाग्यात आणी इतर मार्गांनी उत्तर दिलेल्या सर्वांचे धन्यवाद.
अ-क आणि ब-ड असे (अबकड असा चौरस असल्यास) दोन कर्ण जोडून बनलेला रस्ता हे एक चांगले उत्तर आहे. मूळ उत्तराच्या खूप जवळही आहे.
अगदी अचूक उत्तर काढायला सुत्रांचा वापर करावा लागेल, पण सुत्रांचा वापर न करताही, इंट्युशनने, दोन कर्णांच्या लांबीपेक्षा (२.८२ या उत्तरापेक्षा) अचूक उत्तर मिळवणे शक्य आहे. अजून थोडा वेळ देतो. मग सविस्तर उत्तर देईन.
-Nile
पायथ्यॅगोरसचे थेरम पण हेच
पायथ्यॅगोरसचे थेरम पण हेच सांगते ना?
मधुमेहा विरुद्ध लढा
माझी जालवही
अ ला ब जोडला (लांबीच्या
नाईल वरील आकृतीमध्ये सर्व
नाईल वरील आकृतीमध्ये सर्व गावे एकमेकांना ३ एककांमध्ये जोडली गेली नाही आहेत का?
हो ३ एककात आहेत.
पण दोन कर्ण(डायगोनल्स) जोडले तर येणारं उत्तर २.८३ आहे. त्यामुळे ते ३ पेक्षा चांगलं उत्तर आहे.
-Nile
ओके ओके.
ओके ओके.
२.७३६०६८
पण हे आकडेमोडीशिवाय जमलं नाही. अब पाया घेऊन कडच्या मध्यभागी इ बिंदू घ्यायचा व अबइ त्रिकोण काढायचा. तसाच कड पाया घेऊन अबच्या मध्यभागी फ बिंदू जोडणारा कडफ त्रिकोण काढायचा. हे दोन त्रिकोण एकमेकांना चौरसाच्या मध्ये ग आणि ह बिंदूंमध्ये छेदतील. अगहड रस्ता तयार करायचा. तसंच कग आणि बह जोडायचे. अग, कग, बह, व डह यांची लांबी (वर्गमुळात १.२५)/२ इतकी येते. म्हणजे ०.५५९०१७. गह ची लांबी ०.५.
४* ०.५५९०१७ + ०.५ = २.७३६०६८
अ...........................क
|.............................|
|............ग...............|
|.............................|
फ............................इ
|.............................|
|.............ह..............|
|.............................|
ब............................ड
आकृती प्रमाणात नाही, क्षमस्व.
मला असं वाटतं की हे उत्तर २.८२ पेक्षा चांगलं असलं तरी शेवटचं उत्तर नसावं. ज्याअर्थी इंट्युइशन वापरायला सांगितली आहे, व आकडेमोड न करता उत्तर काढायला सांगितलं आहे त्यावरून ते अधिक सोपं असावं. पण इथे दोन कर्णांपेक्षा अधिक चांगलं उत्तर असू शकतं एवढंच दाखवायचं होतं. (माझा अनमानधपक्याचा अंदाज - २ + २/३ = २.६६६६६६६६ - माझा आतला आवाज सांगतो.)
उत्तर
कोड्याचं अचूक उत्तर आहे १+ वर्गमूळात(३) = २.७३२०५...
कोड्यातल्या अटीप्रमाणे ज्यांनी कर्ण जोडण्याबद्दल सुचवले त्यांचे अभिनंदन. इतकं इंट्युशन असेल तर भुमितीची अन तुमची अजून मैत्री आहे असे म्हणायला हरकत नाही.
यापेक्षाही अचूक उत्तर मिळवणेही इंट्युशनने शक्य आहे असे मला वाटते. पण इंट्युशन हे सबजेक्टीव्ह प्रमाण असल्याने त्याबाबत मतभेद असू शकतात. तर माझं इंट्युशन या प्रमाणे;
दोन कर्ण जोडल्यानंतर येणारं उत्तर साधारण २.८३ आहे. जिथे दोन कर्ण एकमेकाला छेदतात त्याला ओरीजीन(ओ) म्हणूयात. ओ पासून जर अगदी लहान आडवी (किंवा उभी) रेघ ओढली आणि त्रिकोणाचे (अर्ध)कर्ण जिथे एकमेकाला छेदतात तिथून वेगळे करुन त्या रेघेच्या प्रत्येकी एका टोकाला जोडले. (चित्र पहा) थोडक्यात ही रेघ जर शून्य लांबीची असेल तर कर्ण एकमेकाला छेदतील.
मी विचार असा केला, जर मी ह्या आडव्या रेघेची लांबी अगदी थोडी वाढवली तर प्रत्येक अर्ध्या कर्णाची लांबी किंचित कमी होईल. टोकाची केस म्हणजे जेव्हा ही आडवी रेघ चौरसाच्या लांबी इतकी होईल तेव्हा अर्धकर्णाची लांबी चौरसाच्या बाजूच्या अर्धी होईल. ह्या परिस्थितीत रस्त्यांचा आकार इंग्रजी H प्रमाणे असेल. रस्त्याची एकूण लांबी = ३.
ह्या दोघांमध्ये उत्तर असणार असा विचार करून मी रेघेची लांबी .५ ठेवली आणि उत्तर काढले तर ते बरोबर १+वर्गमूळात(३) इतके येईल.
घासकडवी गुर्जी आणि 'न'वी बाजू, आणि निखिल जोशी (पॉप्युलरली नोन अ‍ॅज, रिकामटेकडा
) या तिघांनी स्वतंत्ररीत्या बरोबर उत्तर पाठवले आहे. गुर्जींच्या उत्तरातील किरकोळ बदल हा गणित करताना आलेला असावा. (वर्गमूळं तशीच ठेवली असता बरोबर उत्तर येईल.)
-Nile
वर्गमुळात ३ कुठून आले?
वरील चित्रात दिसणारा लहान कोन हा ३० अंशांचा नाही. तो टॅन इन्व्हर्स (०.५) इतका आहे. (साइन इन्व्हर्स(०.५) नाही). त्यामुळे थोडासा फरक पडतो. उत्तर
०.५ + (वर्गमुळात (१.२५))/२ * ४ असं येतं.
तसंच मिनिमा कुठे आहे याची सिद्धता आहे का? त्यासाठी थोडं डेरिव्हेशन करावं लागेल.
शेवटच्या वाक्यात गल्लत झाली.
.
माझ्या वरच्या प्रतिसादातील शेवटचं वाक्य. ०.५+वर्गमूळात(५) इतके येईल असे वाचावे.
०.५+वर्गमूळात(५)= २.७३६०
अचूक उत्तराची, म्हणजे १+वर्गमूळात(३), सिद्धता खाली दिली आहे.
मोठ्या आकारात चित्र इथे पहा: https://plus.google.com/u/0/photos/108328767412342305934/albums/56961436...
-Nile
आश्चर्य वाटले
उत्तर बघून मस्तच आश्चर्य वाटले. मला वाटले होते की रस्त्यांच्या नकाशाला पाय/२ रोटेशनल सिमेट्री असेल. ती अपेक्षा असण्याकरिता कुठला सिद्धांत नाही, म्हणा.
उलट येथे रस्त्याची बचत रोटेशनल सिमेट्री मोडल्यामुळेच (आणि मिरर सिमेट्री राहिल्यामुळे) येत आहे.
ढ
मी ढ असल्याची खात्री होतीच मात्र इतर सगळेच हुशार असल्याने माझे 'ढ'त्त्व इतके खुलून येईल असे वाटले नव्हते
- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!
हाहा. सेम थिंग हिअर. पण मी
हाहा. सेम थिंग हिअर. पण मी तोंड उघडायला कधीही कचरत नाही. मनात येईल ते बोलून टाकायचं